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第十章 线性电路过渡过程的时域分析,内容提要,1.初始值、换路定律、时间常数等概念。 2.一阶电路的零输入响应、零状态响应、全响应、一阶电路全响应的三要素法。 3.一阶电路阶跃响应和冲激响应 。 4.简介二阶电路的零输入响应。,1,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,一电路的过渡过程, 稳定状态（稳态）：电路中所有的响应或是恒定不变，或是按周期规律变化的这种工作状态称为电路的稳定状态。, 过渡过程（动态、暂态）：电路由原来的稳态转变到另一个稳态，这种转变一般说来不是即时完成的，需要一个过程，这个过程称为电路的过渡过程。,任何系统的状态都有相对稳定和不稳定两种状态在电路中，稳定状态是指在给定条件下电路中电压、电流已达到稳定值。不稳定状态是指动态。例如：电容C 的充电过程。,2,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,三分析暂态的方法,二产生暂态的原因,内因：电路为动态电路，即电路中含储能元件L，C ； 外因：电路换路，即开关通断、电源变化、元件参数变化等。,暂态分析中的电路方程是以电流、电压为变量的微分方程。因此，暂态的分析有两种方法：, 经典法（时域分析）：以时间作为变量，直接求解微分方程的方法。, 运算法（复频域分析）：采用积分变换求解微分方程的方法。例如通过拉普拉斯变换，将自变量转换为复频率变量。,3,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,10.1 换路定律和初始条件的计算,一 换路定律, 换路：电路中支路的接通、切断、短路或电路参数的突然改变及电路连接方式改变的统称。并认为换路是即时完成的。, 能量只能连续变化而不能跃变,4,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,原因是：储能元件中能量的改变是需要时间的。即动态电路在换路后一般不能由原来的稳定状态立刻到达新的稳定状态 。, 换路定律,在换路瞬间，当电容元件的电流为有限值时，电容电压一般不能跃变；当电感元件的电压为有限值时，电感电流一般不能跃变。,5,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,换路定律的数学表达为：,二 初始条件的计算, 初始值：电路中的响应在换路后的最开始一瞬间（即 时）的值。初始值组成解电路微分方程的初始条件。,相关初始值：用独立初始值及KCL，KVL和欧姆定律来确定的其它初始值。,独立初始值： 和 。由换路前决定。,6,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,电容元件用值为 的电压源代替,电感元件用值为 的电流源代替, 等效电路画法：,解：换路前,7,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,根据换路定律得： ，,可画 电路图。从而可计算其它相关初始值，即：,8,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,10.2 一阶电路的零输入响应,一 电路的零输入响应,零输入响应：仅由储能元件初始储能所引起的响应。,在图示电流、电压的参考方向下，由KVL得换路后的电路方程,将元件的电压电流关系,代入方程得,一阶电路：可用一阶微分方程描述的电路。,9,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,这是一阶常系数线性齐次常微分方程，它的通解为,特征方程为,特征根为,所以,将初始条件 ，代入得积分常数,10,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,求得满足初始条件的微分方程的解，即电容的零输入响应电压、电流分别为,换路后，电容电压和电流均按指数规律衰减到0。,11,第十章 线性电路过渡过程的时域分析, 时间常数,在响应表达式中，令 ，则有,SI单位：,称 为电路的时间常数。 的大小反映了电路过渡过程的进展速度，它是反映过渡过程特征的一个重要的量。,12,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,在时间坐标轴上次切距的长度等于时间常数,时间常数就是按照指数规律衰减的量衰减到它的初始值的36.8% 时所需时间。, 时间常数的意义,13,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,将不同时刻的电容电压值列于下表,工程上认为：经过 时间过渡过程即告结束。,时间常数越大，衰减越慢，过渡过程持续的时间越长。,14,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,电阻在电容放电过程中消耗的全部能量为,说明：电容在放电过程中释放的能量的全部转换为电阻消耗的能量。,例：一组 的电容器从高压电路断开，断开时电容器电压 ，断开后，电容器经它本身的漏电阻放电。如电容器的漏电阻 ，问断开后经过多长时间，电容器的电压衰减为 ？,解：电路为零输入响应，所以有,15,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,将 代入，得,例：图示电路中，换路前电路已处于稳态。在 时将开关闭合，求 时电压 和电流 、 及 。,解：,16,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,17,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,二 电路的零输入响应,将元件的电压电流关系,代入方程得,图示电路，原已处于稳态， 时开关闭合。在图示电流、电压的参考方向下，由KVL得换路后的电路方程,18,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,这是一阶常系数线性齐次常微分方程，它的通解为,特征方程为,特征根为,所以,将初始条件 ，代入得积分常数,19,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,求得满足初始条件的微分方程的解，即电感的零输入响应电压、电流分别为,换路后，电感电压和电流均按指数规律衰减到0。其曲线如图所示。,20,第十章 线性电路过渡过程的时域分析, 时间常数,令 ，则有,SI单位：,称 为 电路的时间常数。同样 的大小反映了电路过渡过程的进展速度。时间常数越大，过渡过程持续的时间越长。,21,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,在过渡过程中，电感不断放出能量为电阻所消耗，最后，原来储存在电感中的磁场能量全部被电阻吸收而转换成热能。,例： 图示电路中，一个继电器线圈的 ， ，电源电压 ， ，已知此继电器释放电流为 ，问开关S闭合后，经过多少时间，继电器才能释放？,解： 时,将 代入，得,22,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,10.3 一阶电路的零状态响应,一 电路的零状态响应,直流电压源通过电阻对电容充电如图。在图示电流、电压的参考方向下，由KVL得换路后的电路方程,零状态响应：由外施激励所引起的响应。,把元件约束关系 、 代入，得,23,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,其解有两部分组成,方程的通解,第一部分为方程的特解,将初始条件 ，代入得积分常数,又称强制分量 或稳态分量,又称自由分量 或瞬态分量,第二部分为对应齐次方程的通解,24,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,最后得到响应的完全解为,响应过程：电容电压由零初始值开始以指数形式趋近于它的最终值，即直流电压源电压US，而电流在换路后瞬间，跃变到最大值，然后以此初始值开始按指数规律衰减到零。,电路接通直流电压源的过程也即是电源通过电阻对电容充电的过程。在充电过程中，电源供给的能量一部分转换成电场能量储存在电容中，一部分被电阻转换为热能消耗。,25,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,充电效率,在充电过程中，电源提供的能量只有一半转换成电场能量储存于电容中，另一半则为电阻所消耗，也就是说，充电效率为有50%。,26,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,例：图示电路中，换路前电容为充电。于 时将开关闭合，求 时电压 。,解：对换路后的电路求电容两端的戴维宁等效电路，如图。,其中,于是，得电路响应为,27,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,二 电路在直流激励下的零状态响应,把元件约束关系 、 代入，得,图中换路前电感无电流， 时闭合开关。在图示电流、电压的参考方向下，由KVL得换路后的电路方程,其解仍由两部分组成,28,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,其中稳态分量,其瞬态分量形式为,所以,代入初始条件 ，得 ，故,并得,29,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,响应过程：电感电流由零初始值开始以指数形式趋近于它的稳态值，而电压在换路后，电压达到最大值，并以此初始值开始按指数规律衰减到零。到达该值后，电压和电流不再变化，电感相当于短路，其电压为零，达到新的稳态。此时， 电感的磁场储能为 。,注意：直流激励下的 及 电路的零状态响应，若外加激励增加K倍，则其零状态响应也增加K倍，即零状态响应与外加激励成线性关系或称零状态线性。,30,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,解：对换路后的电路求电感支路两端的戴维宁等效电路，如图。,例：图示电路中，已知 ，设开关在 时接通，电感电流的初值为零，求电流 和 。,其中,31,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,于是，得电路响应为,及,32,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,三 电路在正弦激励下的零状态响应,图中， 时闭合开关，使电路与正弦电压 接通。电路的初始状态为零。 为接入相位角（合闸角）。,换路后的电路方程为,其解仍由两部分组成,其中稳态分量 按正弦电流电路计算。,33,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,所以,电路阻抗为,于是，稳态分量为,瞬态分量为,代入初始条件 ，得,34,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,最后得响应为, 方程的稳态分量与外加激励具有相同的形式，即按与外加激励同频率的正弦规律变化。而暂态分量仍按指数规律衰减，随时间增长趋于零。,35,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,两种特殊情况：, ，,响应：, ，,36,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,解：合闸后的电路的阻抗为,例：有一电磁铁，其电路模型如图所示，已知：正弦工频电源电压 及 ，若接通电源的瞬时电压初相角 ，求接通电源后电路电流 。,电路的时间常数为,37,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,稳态分量为,合闸后瞬态分量为,电路零状态响应为,38,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,10.4 一阶电路的全响应,全响应：当非零初始状态的电路受到外加激励作用时，电路的响应。,一 电路的全响应,如图电路中，设 ，电压源电压为 ，换路后 的方程仍为,其解仍为,39,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,代入初始条件 ，得,故电容电压的全响应为,及电流,时的全响应曲线,40,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,二 一阶电路全响应的两种分解,全响应 = 稳态分量 + 暂态分量,全响应 = 零输入响应 + 零状态响应,41,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,三 分析一阶电路全响应的三要素法,无论是把全响应分解为稳态分量和暂态分量之和，还是分解为零输入响应和零状态响应之和，都不过是不同分法，而且上述的分量或响应均是全响应的特例。全响应，它是由初始值、特解和时间常数三个要素决定的。,在同一个一阶电路中的各响应的时间常数都是相同的。对只有一个电容（或电感）元件的电路， （ ）， 为换路后该电容（或电感）元件 所接二端电阻性网络除源后的等效电阻。,42,第十章 线性电路过渡过程的时域分析, 直流电源激励下的三要素法公式,全响应 = 稳态分量 + 暂态分量,设：电路响应为 ，其中,则：一阶电路全响应为,代入初始值 ，有 ，从而得全响应为,三要素法 公式,三要素,43,第十章 线性电路过渡过程的时域分析, 正弦电源激励下的三要素法公式,全响应 = 稳态分量 + 暂态分量,正弦激励时全响应仍是稳态分量与暂态分量之和，但此时,稳态分量： ，是同频率的正弦量。,暂态分量：,所以：一阶电路全响应为,代入初始值 ，有 ，从而得全响应为,稳态分量 的初始值,44,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,解：,例：图中，设电路已达稳态。于 时断开开关，求断开开关后电流 。,45,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,解：,例：图中，电路已达稳态。于 时开关闭合，求 。,46,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,解：先求电感中电流。,例：图示电路， 时开关由1投向2，设换路前电路已达稳态，求电流 和 。,47,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,求电流,列 电路左边网孔KVL方程,得,所以，响应为,48,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,换路前的稳态电路中的电流为,故电感电流初始值为,解：,49,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,换路后的稳态电路中的电流为,稳态电流为,其初始值为,换路后的电流为,50,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,10.5 阶跃函数和一阶电路的阶跃响应,一 阶跃函数,阶跃幅度等于1,阶跃幅度等于,单位阶跃函数：是一种奇异函数，其数学定义和波形如下,51,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,阶跃幅度等于, 单位阶跃函数可以用来“起始”任意一个函数,52,第十章 线性电路过渡过程的时域分析, 单位阶跃函数可以用来表示阶梯波形,53,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,阶跃函数在电路中的作用,阶跃函数的“起始”性在电路中表现为具有开关特性，故又称为开关函数。,例如，电路在 时接通到一个电压为 的直流电压源，则此换路动作可用阶跃函数表示为 。,54,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,二 一阶电路的阶跃响应,把直流激励下电路的零状态响应中的激励量改为阶跃量，其响应就成为阶跃响应。,例：RC串联电路在阶跃电压 激励下，电路的零状态响应为,55,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,解：脉冲电压可以分解为两个阶跃电压之和，即,例：求脉冲电压 在 电路中产生的响应 。,两个阶跃响应分别为,56,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,电路的零状态响应为两个阶跃响应的叠加，即,57,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,10.7 串联电路的零输入响应,二阶电路：可用二阶微分方程描述的电路。,在二阶电路中，给定的初始条件应有两个，它们由储能元件的初始值决定。RLC串联电路是最典型的二阶电路。,一 方程和特征根,设各元件电压与电流的参考方向如图所示，换路后由KVL得,58,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,其中,代入方程中，得,其特征方程为,59,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,两个特征根为,零输入响应为,这里只分析电路的一种初始条件情况，即,两个特征根仅与电路参数和结构有关，与激励无关。 特征根的不同情况，响应的形式也随着不同。,60,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,特征的三种情况,二 ，非振荡放电,61,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,方程通解：,代入初条件得,电压为,62,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,电路响应为,63,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,响应过程： 电容电压和电流始终不改变方向，表明电容在整个过渡过程中恒处于放电状态，其电压单调地下降到零。 电流的初始值为零，稳态值也为零，放电过程中电流必然要经历一次最大值。电流达最大值的时间发生在电感电压为零的时刻。 电感电压的初始值为U0，稳态值为零，在电流达到最大值时，电感电压为0。所以电感电压必有一个负的最大值，发生在2tm处。,电流达到最大值的时间,64,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,能量转换情况：在整个过渡过程中，电容一直释放其电场能量。 以前，电流增加，电容释放的能量除一部分被电阻消耗外，另有一部分转变为电感的磁场能量。 时电感储能达到最大，电感电压为零。 以后，电流减小，电感释放其存储的磁场能量，电容仍继续放电，直到电场储能和磁场储能全部被电阻所耗尽，放电结束，。 在过渡过程中，电感的能量没有回馈给电容，不存在电场与磁场之间能量往返授受，即不能形成振荡。因此称为非振荡放电放电。,65,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,解：,是非振荡放电。,66,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,67,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,三 ，振荡放电,68,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,代入初始条件,得：,69,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,于是，电路响应为：,衰减系数：越大，衰减越快。 自由振荡角频率 ：是一个与电路参数有关与激励无关的量，表明衰减振荡快慢。 谐振角频率0：是RLC串联电路在正弦激励下的谐振角频率。,70,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,、 都是振幅按指数规律衰减的正弦函数，这种放电过程称为振荡放电。在整个过渡过程中，电压、电流将周期性地改变方向，储能元件也将周期性地交换能量。,71,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,振荡放电过程：在0tt1 期间，uC 减小，i 增大，电容释放的能量 除被电阻消耗外，一部分转换磁场能量存储于电感中； 在 t1tt2 期间， uC及i及都在减小，电容和电感都释放其储能。此时间内的情况与非振荡放电过程相似。在 t = t2 时， uC为零，i 的量值不为零,即，此瞬间，电容储能已完全释放，但电感储能尚未放尽； 在 t2tt3 期间， uC反向增大，i减小，电感释放能量，一部分被电阻所消耗外，另一部分给电容反向充电。到 t = t3 时，i =0，充电结束，磁场能量已放尽 。,能量转换、吸收概况表,72,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,以后电容又开始反方向放电，其过程与上述一样，只不过是因能量已在电阻中消耗了一部分，总能量较前半周期为小，所以再次放电时，电容的初始电压要小于U0 。电容如此往复充电和放电，就形成了振荡放电的物理过程。 这种过程理论上将无限期地进行下去，不过到一定时间以后能量已基本耗尽，工程上可以认为电路中各电压、电流已衰减到零，电路中的过渡过程也就算结束了。,能量转换、吸收概况表,73,第十章 线性电路过渡过程的时域分析, 等幅振荡,条件： ，则有,等幅振荡放电过程：电压、电流的振幅不衰减。等幅振荡放电的产生，其实质是由于电容的电场储能在放电时转换成电感中的磁场储能，而当电流减小时，电感中的磁场储能又反过来向电容充电而转换为电容中的电场储能，如此反复而无能量损耗，因而，在电路中就形成了等幅振荡。,74,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,解：,，电路为振荡放电情况。,例：RLC串联电路中，电容C已充电至U0=100V，并已知 C=1F，R =1000，L=1H，求换路后的 、 、 以及 。,得：,75,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,所以，响应为,当 ，即 时，电流最大为,76,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,四 ，临界放电,电容电压、电流为,代入初始条件,77,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,于是，电路响应为：,响应过程：电容电压从U0开始保持正值逐渐衰减到零。 电流先从零开始，保持正值，最后等于零。电流达最大值的时间发生在电感电压等于零处。放电为非振荡的。,电流达极值的时间：,78,第十章 线性电路过渡过程的时域分析,再 见 ！,79,
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