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第一章3平均值不等式,第1课时平均值不等式,学习目标1.理解并掌握平均值不等式的特征结构.2.了解平均值不等式的推广.3.会用平均值不等式解决相关问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一二元平均值不等式,思考回顾a2b22ab的证明过程，并说明等号成立的条件.,答案a2b22ab(ab)20，即a2b22ab，当且仅当ab时，a2b22ab.,梳理(1)重要不等式定理1：对任意实数a，b，有a2b22ab(当且仅当ab时取“”号).(2)二元平均值不等式定理2：对任意两个正数a，b，有_(当且仅当时取“”号).定理2的应用：对两个正实数x，y，()如果它们的和S是定值，则当且仅当时，它们的积P取得最值；()如果它们的积P是定值，则当且仅当时，它们的和S取得最值.,ab,xy,大,xy,小,知识点二三元平均值不等式,思考类比二元平均值不等式：(a0，b0)，请写出a，b，cR时，三元平均值不等式.,梳理(1)定理3：对任意三个正数a，b，c，有a3b3c33abc(当且仅当abc时取“”号).(2)定理4：对任意三个正数a，b，c，有(当且仅当abc时取“”号).(3)平均值不等式的推广,算术平均值,几何平均值,题型探究,A.B.C.D.,类型一平均值不等式成立的条件,答案,解析,解析在中，lgxR，sinx1,1，不能确定lgx0，sinx0，因此错误；,当且仅当x0时取等号，故正确；,反思与感悟平均值不等式成立的条件(1)各项均为正数.(2)当且仅当各项均相等时，“”才能成立.,跟踪训练1设a，b为实数，且ab0，下列不等式中一定成立的个数是,A.1B.2C.3D.4,当a，b0时，不成立；,当a1，b2时，不成立.因此，成立，故选B.,答案,解析,类型二用平均值不等式证明不等式,当且仅当abc时等号成立.,证明,引申探究,证明,当且仅当abc时取等号.,证明,证明,当且仅当abc时等号成立.,反思与感悟证明不等式的方法(1)首先观察所要证的式子结构特点及题目所给条件，看是否满足“一正、二定、三相等”的条件.若满足即可利用平均值不等式证明.(2)若题目不满足该条件，则可灵活利用已知条件构造出能利用三个正数的基本不等式的式子.,跟踪训练2(1)已知a，b，cR，求证：a4b4c4a2b2b2c2c2a2；,证明,证明a4b42a2b2，同理a4c42a2c2，b4c42b2c2，将以上三个不等式相加，得a4b4a4c4b4c42a2b22a2c22b2c2，即a4b4c4a2b2a2c2b2c2，当且仅当abc时，等号成立.,当且仅当abc时，等号成立.,证明,类型三证明不等式的技巧“1”的代换,证明,证明方法一a，b，c为正实数，且abc1，,方法二a，b，cR，且abc1，,当且仅当abc时，等号成立.,引申探究,证明,证明a2b22ab，,证明a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac，a2b2b2c2a2c22ab2bc2ac，即2(a2b2c2)2ab2bc2ac，2(a2b2c2)a2b2c2a2b2c22ab2bc2ac(abc)21，,证明,证明a2b22ab，2(a2b2)(ab)2.,证明,反思与感悟用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明.,证明a，b，cR且abc1，,由于上述三个不等式两边均为正，分别相乘,证明,达标检测,1,2,4,3,5,1.下列不等式中，正确的个数是,答案,解析,A.0B.1C.2D.3,1,2,4,3,5,解析显然不正确；正确；,不正确，如a1，b4.,1,2,4,3,5,2.下列不等式的证明过程正确的是,答案,解析,1,2,4,3,5,解析对于A，a，b必须同号；对于B，cosx不一定大于0；对于C，由x0，,1,2,4,3,5,当且仅当ab2时，等号成立.,答案,解析,1,2,4,3,5,答案,解析,3,故函数的最小值为3.,1,2,4,3,5,证明a2b22ab，2(a2b2)a2b22ab(ab)21，,证明,规律与方法,1.应用平均值不等式证明问题时，如果能熟练掌握一些常见结论，可使应用更加灵活快捷.对于二元平均值不等式有以下结论.,(5)a2b2c2abbcca.,2.对于三元平均值不等式有以下结论.,上式中a，b，c均为正数，等号成立的条件均为abc.,本课结束,
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