地下水运动基本定律、基本微分方程和数学模型.ppt

第二章地下水运动基本定律、基本微分方程和数学模型,介质：地下水赋存于岩土的空隙中，并在其中运动。我们将赋存地下水的岩土称为介质。渗透：地下水在岩土空隙中的运动称为渗透。,第一节地下水运动的基本定律:达西定律,一、渗透水流,实际水流,渗透水流,第一节地下水运动的基本定律:达西定律,一、渗透水流,（1）不考虑渗流途径的迂回曲折，只考虑地下水流的主要流向。,（2）不考虑岩土的颗粒存在，假想渗透水流充满全部空间（包括骨架）。,两个假设:,假设水流必须符合下列条件：,对于同一过水断面，假想水流的流量等于通过该断面的真实水流流量；作用于任一面积上的假想水流的压力等于真实水流的压力；假想水流在体积内所受的阻力和真实水流所受的阻力相同。,渗透水流，简称渗流,地下水流运动的驱动力是什么？其流动的速度与什么有关？,思考：,二、达西定律,1856年法国水力学家达西(Dacy)开展了大量实验,达西定律，又称线性渗透定律,实验结果：渗流量或渗流速度与水力坡降成正比,用微分来表示，即：,此流速是假想水流的流速，实际水流的流速，根据过水断面可得,达西定律的实质是水流在流动过程中消耗的能量与流速和渗流长度成正比，与含水层的渗透系数成反比。,达西定律的适用范围,当雷诺数Re100时，不适用；在天然情况下，绝大多数地下水运动服从达西定律。,渗透系数K水力坡度为1时的渗透流速。,三、渗流中的几个概念（水文地质参数）,导水系数T当水力坡度为1时，通过整个含水层上的单位宽度流量。即：,T=KM,意义：潜水位上升(下降)一个单位时,从单位面积含水层增加(减少)的水量。,潜水给水度,弹性释水系数*,意义：水平面为一个单位面积，高为含水层全厚度M的含水层柱体中，当水头降低一个单位时弹性释放出来的水量。,潜水给水度与弹性释水系数的区别,释水机理：潜水释水过程完全是重力释水；而承压水是由于含水层骨架压缩和地下水体膨状共同作用的释水。,第二节渗流的基本微分方程和数学模型,释水率s取一处于平衡状态的承压含水层土体，研究其在水头变化时所引起的弹性释水或储存的过程。抽水前含水层上覆岩层的总压力为P，含水层内的水压力为Pw，岩层颗粒骨架的反作用力为Ps，,1.几个概念,抽水后，水头降低H，此时上覆岩层总压力不变，为保持平衡，水头降低减少的压力与骨架增加的压力相等，,此时水体积由于水压力减小而膨胀，从而释放出一定的水量，同时因含水层骨架被压缩而挤出一部分水量，合称弹性释水。,对于含水层骨架有：,对于水有：,Vs含水层体积Vw水的体积Pw水的压力Ps骨架的压力水弹性压缩系数骨架压缩系数,当水头降低总共可得到的弹性水量为：,由于含水层中dPs=dPw=gdH，Vw=nVs，n为孔隙率，有：,定义：水头降低一个单位时，从单位体积含水层中，因水体积膨胀和含水层骨架压缩挤出的弹性释放水量，称释水率。,意义：水平面为一个单位面积，高为含水层全厚度M的含水层柱体中，当水头降低一个单位时弹性释放出来的水量。,释水系数*释水率乘以该含水层的厚度，称为释水系数。,意义：潜水位上升(下降)一个单位时,从单位面积含水层增加(减少)的水量。,潜水给水度,导水系数T当水力坡度为1时，通过整个含水层上的单位宽度流量。即：,T=KM,水的状态方程对于给定质量的水体积，增加一个压力dPw，水体积产生一定的压缩，根据质量守恒定律：Vw=常数取全微分有：dVw+Vwd=0由于dPw=dH,水的状态方程,颗粒骨架的状态方程颗粒骨架在压力的作用下主要表现为垂直方向的空隙变形，而颗粒本身体积基本不变，因此，颗粒的体积为一常量：Vs-nVs=常量取全微分dVs-ndVs-Vsdn=0,假定含水层骨架仅在垂直方向变形有：,d(Z)=(Z)dPwdn=(1-n)dPw,颗粒骨架的状态方程,（2）渗流连续性方程根据对渗流的假说，渗流场全部空间都被连续水流充满。在渗流场中取任一微小单元体，其坐标为（X、Y、Z），边长分别为x、y、z，地下水的密度为，在X、Y、Z方向上的渗流速度为u、v、w。在t时间内，沿X方向，流入单元的水量为：Qxt=uyzt,而沿X方向流出的水量为：,两者之差为X方向增加的水量，即：,沿Y方向增加的水量,沿Z方向增加的水量,因此，在t时间内，单元体增加的水量为：,单元体内水占的体积为nxyz，n为孔隙率，其水量为nxyz。在t内，单元体的水量变化为,根据达西定律，水流流速在X、Y、Z方向有,地下水渗流连续性方程表示：在渗流场中的任何局部，都必须满足质量守恒和能量守恒。,对于稳定渗流，且假定n、不变，则为地下水稳定流的连续性方程：,（3）承压含水层的基本微分方程在承压含水层中，含水层产生变形时，主要是在垂直方向（z）上，而x、y近似为不变，因此，连续性方程为,（用到水的状态方程、含水层骨架压缩的状态方程）,承压含水层三维非稳定渗流的微分方程,若承压含水层水平等厚，渗透水流作水平二维流，则有：,对均质各向同性的承压水作二维非稳定流时,对均质各向同性的承压水作二维稳定流时,对于有注水或抽水时，表示单位时间对单位面积含水层抽出或注入的水量，则,均质各向同性非稳定承压二维流,（4）潜水含水层的基本微分方程潜水含水层的顶部是潜水面，在非稳定渗流的过程中潜水面的位置在不断变化中，因此要精确处理这类问题比较困难，但实际问题中，地下水流接近水平流动，潜水面也比较平缓.因此，可作出一定假定条件来近似求解，即裘布衣假定。,潜水面比较平缓，为缓变流；渗流速度的水平分量u、v沿z高度没有变化，仅为x、y坐标和时间t的函数，即垂直流速可忽略不计或水头不随深度变化；过水断面近似为一个垂直平面。,裘布衣假设：,dx,H,h,x,z,dt时间内，从上游断面流入的水量：,从下游断面流出的水量：,从地表水渗的水量：,x土体水量增量是：,水量的变化会引起潜水面的上升或下降，在dt时间内潜水面变化：,其对应的dx含水层水的体积变化量：,水量平衡：,潜水二维流的微分方程：,布西涅斯克方程,承压水二维流的微分方程：,形式相似，意义有所差别,当水头变化很小时，即H0.1h时，对均质各向同性的潜水有,T=Khh为潜水含水层平均厚度,若隔水底板水平，以隔水底板为基准面，此时有，H=h，当无其他补给和排泄时，均质各向同性的潜水二维稳定流方程为：,（5）定解条件和数学模型初始条件开始时刻水头函数在渗流场的分布规律，如果开始时刻渗流场内任意一点的水头已知为H0，则初始条件的数学表达式为：,注：对于稳定流来说，定解条件中没有初始条件，因为地下水作稳定流时其运动要素是不随时间而变化的。边界条件是指在各个计算时刻，边界上某些函数的变化规律是已知的。边界条件主要有两种：,第一类边界条件（已知水头边界，Dirichlet条件）是指待求的水头函数H(x,y,z)在边界1上的变化规律是已知的，其数学形式为如：河流作为含水层的边界，其水位已知，就可作为一类边界处理。,第二类边界（已知流量边界,Neumann条件）边界上单位宽度的流量是已知的即为二类边界2，其数学表达式为：q-单位宽度流量；n-边界2的内法线方向（指向渗流场）,当边界为隔水边界时，则,当内边界为抽水井壁时，抽水流量已知：,微分方程与定解条件结合在一起称为数学模型或定解问题。数学模型的求解方法有：1、解析解：用数学方法直接求出数学模型的解，这种解称解析解，也是数学模型的精确解。2、数值解：把数学模型中的连续变量离散成离散变量，再进行求解，这种方法称数值解，求得的解为近似解。,第三节含水层中地下水的稳定流,承压含水层地下水的一维渗流有一承压含水层均质，水平等厚，地下水的流线为相互平行的水平直线，两端水头已知，上游断面x1处水头为H1，下游断面x2处的水头为H2，此时地下水为一维渗流，求渗流过程中的水头变化规律与x2处的流量。,承压含水层中地下水的二维渗流若承压含水层的隔水顶板和底板不水平，含水层厚度沿水流方向作直线变化，而渗流宽度B不变，此时地下水为二维渗流。通常在实际计算时常取含水层上下游二断面的平均厚度，求得的单位宽度流量的近似值：,若承压含水层的顶板和底板相互平行，含水层厚度不变，而渗流宽度B为直线变化，地下水位平面二维流。,例：沿承压水流向有两个参照钻孔，孔1含水层厚度为18.00米，稳定水位标高150.75米，孔2含水层厚度为25.00米，水位标高149.3米。两孔相距1000米，含水层渗透系数45米/日。试求每公里宽度上承压含水层的天然流量。,均质潜水含水层地下水的二维渗流某潜水含水层均质，各向同性，隔水地板水平，且渗流宽度不变。流动状态满足裘布衣假定。因此潜水含水层的微分方程适用的。求浸润曲线和流量。,?如何运用潜水含水层的微分方程求浸润曲线和流量,例：河岸边剖面2处，隔水顶板标高为10.52米，河水位为50.12米，向距500米处剖面1处，隔水层标高10.52米，潜水位标高为50.82米，含水层的渗透系数为10.00米/日。求在宽度为200米的断面上流向河流的潜水流量，离剖面1为110米的潜水标高。,双层结构含水层河谷双层结构，上层的渗透系数往往比下层的小得多，此时可将地下水分成两部分考虑，上部当作潜水，下部当作承压水考虑，通过整个含水层的单宽流量为上层和下层流量的总和。,岩层透水性沿水平方向急剧变化的含水层根据水流连续性原理，通过二种透水性不同的岩层流量应当相等。,达西定律：理解达西定律的涵义、适用范围地下水运动微分方程：推导过程、承压水与潜水运动方程的异同地下水模型：微分方程+定解条件,