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第八章专题拓展8.3类比拓展探究型,中考数学(河南专用),解答题1.(2018湖北武汉,23,10分)在ABC中,ABC=90.(1)如图1,分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线,垂足分别为M、N,求证:ABMBCN;(2)如图2,P是边BC上一点,BAP=C,tanPAC=,求tanC的值;(3)如图3,D是边CA延长线上一点,AE=AB,DEB=90,sinBAC=,=,直接写出tanCEB的值.,好题精练,解析(1)证明:M=N=ABC=90,MAB+MBA=NBC+MBA=90,MAB=NBC,ABMBCN.(2)过点P作PMAP交AC于点M,过点M作MNPC交BC于点N,则PMNAPB.=tanPAC=,设PN=2t,则AB=t.BAP+APB=MPC+APB=90,BAP=C,MPC=C,CN=PN=2t.易得ABPCBA,AB2=BPBC,(t)2=BP(BP+4t),BP=t,BC=5t,tanC=.,(3)在RtABC中,sinBAC=,tanBAC=.过点A作AGBE于点G,过点C作CHBE交EB的延长线于点H,DEB=90,CHAGDE,=,同(1)的方法得,ABGBCH,=,设BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,GH=BG+BH=4m+3n,AB=AE,AGBE,EG=BG=4m,=,n=2m,EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m,在RtCEH中,tanCEB=.,思路分析(1)利用同角的余角相等判断出MAB=NBC,即可得出结论;(2)作PMAP,MNPC,先判断出PMNAPB,得出=,设PN=2t,则AB=t,再判断出ABPCBA,设PN=2t,根据相似三角形的性质可求得BP=t,则BC=5t,即可得出结论;(3)作AGBE,CHBE,先判断出=,同(1)的方法得,ABGBCH,所以=,设BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,进一步得出关于m,n的等式,解得n=2m,最后得出结论.,方法指导几何中的类比探究关键在于找到解决每一问的通法,本题涉及的相似三角形,要寻找的比例关系或添加的辅助线均类似.同时要注意挖掘题干中不变的几何特征,根据特征寻方法.,2.(2018陕西,25,12分)问题提出(1)如图,在ABC中,A=120,AB=AC=5,则ABC的外接圆半径R的值为.问题探究(2)如图,O的半径为13,弦AB=24,M是AB的中点,P是O上一动点,求PM的最大值.问题解决(3)如图所示,AB、AC、是某新区的三条规划路,其中,AB=6km,AC=3km,BAC=60,所对的圆心角为60.新区管委会想在路边建物资总站点P,在AB、AC路边分别建物资分站点E、F,也就是,分别在、线段AB和AC上选取点P、E、F.由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按PEFP的路径进行运输,因此,要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP.为了快捷、环保和节约成本,要使得线段PE、EF、FP之和最短,试求PE+EF+FP的最小值.(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计),解析(1)5.(2分)详解:如图,设O是ABC的外接圆的圆心,OA=OB=OC,又AB=AC,AOBAOC,BAO=CAO,BAC=120,BAO=60,ABO是等边三角形,AB=OA=OB=5.即ABC的外接圆半径R的值为5.(2)如图,连接MO,并延长与O相交于点P,连接OA,OP.,M是弦AB的中点,OMAB,AM=AB=12.在RtAOM中,OM=5.(4分)PMOM+OP=OM+OP=MP=18,当点P运动到P时,PM取得最大值,为18.(5分)(3)如图,设P为上任意一点,分别作点P关于直线AB、AC的对称点P1、P2,连接P1P2,分别与AB、AC相交于点E、F,连接PE,PF,PEF的周长=P1E+EF+P2F=P1P2,对于点P及分别在AB、AC上的任意点E、F,有PEF的周长PEF的周长=P1P2.即PEF周长的最小值为P1P2的长.(7分)连接AP1,AP,AP2,则AP1=AP=AP2,P1AB=PAB,P2AC=PAC,P1AP2=2BAC=120,P1P2=AP1=AP.(8分)要使P1P2最短,只要AP最短即可.设O为所在圆的圆心,连接OB、OC、OP、OA,且OA与相交于点P,则AP+POAO.APAP.(9分)连接BC,易证ACB为直角三角形,且ABC=30,ACB=90,BC=ACtan60=3km.BOC=60,OB=OC,BO=BC=3km,OBC=60,ABO=ABC+OBC=90.在RtABO中,AO=3km.(11分)AP=(AO-OP)=(3-3)=(3-9)km.P1P2的最小值为AP=(3-9)km.PE+EF+FP的最小值为(3-9)km.(12分),思路分析(1)设O是ABC的外接圆的圆心,根据全等三角形的判定与性质和圆的半径相等可证ABO是等边三角形,所以AB=OA=OB=5;(2)当PMAB时,PM有最大值,根据垂径定理可得AM=AB=12,再根据勾股定理求得OM=5,进而由PMOM+OP=OM+OP=MP=18得解;(3)分别以AB、AC所在的直线为对称轴,作出P关于AB的对称点为P1,关于AC的对称点为P2,易得PEF的周长为P1P2的长,根据P1P2=AP,可知要使P1P2最短,只要AP最短,OA与交于点P,此时使得线段PE、EF、FP之和最短,然后先判定ABC为直角三角形,求出BC的长,在RtABO中由勾股定理求出AO的长,进而求出AP的值,最后求得PE+EF+FP的最小值.,难点分析本题难点在于第(3)问如何确定P点的位置及何时PE+EF+FP取得最小值.读懂题目信息也就明确了可以利用轴对称确定最短路线问题,同时结合圆半径和线段OA的长度求出AP的最小值.,3.(2017四川成都,27,10分)问题背景:如图1,等腰ABC中,AB=AC,BAC=120,作ADBC于点D,则D为BC的中点,BAD=BAC=60,于是=;图1迁移应用:如图2,ABC和ADE都是等腰三角形,BAC=DAE=120,D,E,C三点在同一条直线上,连接BD.,图2,求证:ADBAEC;请直接写出线段AD,BD,CD之间的等量关系式;拓展延伸:如图3,在菱形ABCD中,ABC=120,在ABC内作射线BM,作点C关于BM的对称点E,连接AE并延长交BM于点F,连接CE,CF.图3证明:CEF是等边三角形;若AE=5,CE=2,求BF的长.,解析迁移应用证明:ABC和ADE都是等腰三角形,AD=AE,AB=AC,又DAE=BAC=120,DAE-BAE=BAC-BAE,即DAB=EAC.ADBAEC(SAS).DC=AD+BD.详解:由问题背景可知,在ADE中,有DE=AD,由可知,BD=EC,DC=DE+EC=AD+BD.拓展延伸证明:如图所示,连接BE.,C,E关于BM对称,BE=BC,FE=FC,EBF=CBF,EFB=CFB,四边形ABCD是菱形,且ABC=120,AB=BC=BE.过B作BGAE,则AG=GE,ABG=GBE,GBF=GBE+EBF=ABC=120=60.CFB=EFB=30,即EFC=60.CEF为等边三角形.AE=5,GE=GA=,EF=CE=2,GF=GE+EF=,在RtGBF中,GFB=30,BF=3.,思路分析迁移应用:根据SAS证全等.由问题背景可知,DE=AD,由可得,EC=BD,DC=DE+EC=AD+BD.拓展延伸:要证明CEF为等边三角形,根据对称性可知,FE=FC,EFB=CFB,那么我们只需证明EFB=30即可.在的基础上,易得GE=AE=,EF=2,则GF=GE+EF=.在RtGBF中,BF=3.,4.(2017江西,23,12分)我们定义:如图1,在ABC中,把AB绕点A顺时针旋转(0180)得到AB,把AC绕点A逆时针旋转得到AC,连接BC.当+=180时,我们称ABC是ABC的“旋补三角形”,ABC边BC上的中线AD叫做ABC的“旋补中线”,点A叫做“旋补中心”.特例感知(1)在图2,图3中,ABC是ABC的“旋补三角形”,AD是ABC的“旋补中线”.如图2,当ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD=BC;如图3,当BAC=90,BC=8时,则AD长为.猜想论证(2)在图1中,当ABC为任意三角形时,猜想AD与BC的数量关系,并给予证明.,拓展应用(3)如图4,在四边形ABCD中,C=90,D=150,BC=12,CD=2,DA=6.在四边形内部是否存在点P,使PDC是PAB的“旋补三角形”?若存在,给予证明,并求PAB的“旋补中线”长;若不存在,说明理由.图4,解析(1).(1分)4.(3分)(2)猜想:AD=BC.(4分)证明:证法一:如图,延长AD至E,使DE=AD,连接BE,CE.AD是ABC的“旋补中线”,BD=CD,四边形ABEC是平行四边形,ECBA,EC=BA,ACE+BAC=180.由定义可知BAC+BAC=180,BA=BA,AC=AC,ACE=BAC,EC=BA.ACECAB.AE=CB.(6分)AD=AE,AD=BC.(7分)证法二:如图,延长BA至F,使AF=BA,连接CF.BAC+CAF=180.由定义可知BAC+BAC=180,BA=BA,AC=AC,CAB=CAF,AB=AF,ABCAFC,BC=FC.(6分),BD=CD,BA=AF,AD是BFC的中位线,AD=FC,AD=BC.(7分)证法三:如图,将ABC绕点A顺时针旋转CAC的度数,得到AEC,此时AC与AC重合,设D的对应点为D,连接AD.由定义可知BAC+BAC=180,由旋转得BAC=EAC,BAC+EAC=180,E,A,B三点在同一直线上.(6分),AB=AB=AE,ED=DC,AD是EBC的中位线,AD=BC,AD=BC.(7分)(注:其他证法参照给分)(3)存在.(8分)如图,以AD为边在四边形ABCD的内部作等边PAD,连接PB,PC,延长BP交AD于点F,则有ADP=APD=60,PA=PD=AD=6.,CDA=150,CDP=90.过点P作PEBC于点E,易知四边形PDCE为矩形,CE=PD=6,tan1=,1=30,2=60.(9分)PEBC,且易知BE=EC,PC=PB,3=2=60,APD+BPC=60+120=180.又PA=PD,PB=PC,PDC是PAB的“旋补三角形”.(10分)3=60,DPE=90,DPF=30.ADP=60,BFAD,AF=AD=3,PF=AD=3.,在RtPBE中,PB=4.BF=PB+PF=7.在RtABF中,AB=2.(11分)PDC是PAB的“旋补三角形”,由(2)知,PAB的“旋补中线”长为AB=.(12分)求解“旋补中线”补充解法如下:如图,分别延长AD,BC相交于点G,ADC=150,BCD=90,GDC=30,GCD=90.在RtGDC中,GD=2=4.GC=GD=2,GA=6+4=10,GB=2+12=14.过A作AHGB交GB于点H,在RtGAH中,AH=GAsin60=10=5,GH=AG=5.HB=GB-GH=14-5=9,在RtABH中,AB=2.(10分)PDC是PAB的“旋补三角形”,由(2)知,PAB的“旋补中线”长为AB=.(12分)(注:其他解法参照给分),5.(2016四川达州,24,10分)某数学兴趣小组在数学课外活动中,研究三角形和正方形的性质时,做了如下探究:在ABC中,BAC=90,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合),以AD为边在AD右侧作正方形ADEF,连接CF.(1)观察猜想如图,当点D在线段BC上时,BC与CF的位置关系为.BC,CD,CF之间的数量关系为(将结论直接写在横线上);(2)数学思考如图,当点D在线段CB的延长线上时,结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明;(3)拓展延伸如图,当点D在线段BC的延长线上时,延长BA交CF于点G,连接GE.若AB=2,CD=BC,请求出GE的长.,解析(1)BCCF.BC=CD+CF.(2)结论仍然成立,不成立.证明:BAC=DAF=90,BAD=CAF.又AB=AC,AD=AF,ABDACF.ACF=ABD=180-45=135.ACB=45,BCF=90,即BCCF.结论为BC=CD-CF.证明:ABDACF,BD=CF.BC=CD-BD,BC=CD-CF.,(3)过点E作EMCF于点M,作ENBD于点N,过点A作AHBD于点H,如图,AB=AC=2,BC=4,AH=BC=2.CD=BC,CD=1.BAC=DAF=90,BAD=CAF.又AB=AC,AD=AF,ABDACF.ACF=ABC=45.ACB=45,BCF=90.ABC=AGC=45.BC=CG=4.ADE=90,ADH+EDN=EDN+DEN=90.ADH=DEN.又AHC=DNE,AD=DE,AHDDNE.DN=AH=2,EN=DH=3.CM=EN=3,ME=CN=3,则GM=CG-CM=4-3=1.EG=.,6.(2015湖北随州,24,10分)问题:如图(1),点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,EAF=45,试判断BE、EF、FD之间的数量关系.【发现证明】小聪把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图(1)证明上述结论;【类比引申】如图(2),四边形ABCD中,BAD90,AB=AD,B+D=180,点E、F分别在边BC、CD上,则当EAF与BAD满足关系时,仍有EF=BE+FD;【探究应用】如图(3),在某公园的同一水平面上,四条道路围成四边形ABCD.已知AB=AD=80米,B=60,ADC=120,BAD=150,道路BC、CD上分别有景点E、F,且AEAD,DF=40(-1)米,现要在E、F之间修一条笔直道路,求这条道路EF的长(结果取整数,参考数据:=1.41,=1.73).,解析发现证明:将ABE绕点A逆时针方向旋转90至ADG,ABEADG,BAE=DAG,B=ADG,AE=AG,BE=DG,EAF=45,BAE+FAD=45,FAG=45,在正方形ABCD中,B=ADC=90,ADG+ADF=180,即点G、D、F在一条直线上,在EAF和GAF中,EAFGAF,EF=GF,又GF=DG+DF=BE+DF,EF=BE+FD.类比引申:EAF=BAD,理由如下:如图,将ABE绕点A逆时针方向旋转至ADG,使AB与AD重合,ABEADG,BAE=DAG,B=ADG,AE=AG,BE=DG,在四边形ABCD中,B+ADF=180,ADG+ADF=180,即点G、D、F在一条直线上,在EAF和GAF中,EAFGAF,EF=GF,又GF=DG+DF=BE+DF,EF=BE+FD.探究应用:连接AF,延长BA、CD交于点O,在RtAOD中,易得ODA=60,OAD=30,又AD=80米,AO=40米,OD=40米,OF=OD+DF=40+40(-1)=40米,AO=OF,OAF=45,DAF=45-30=15,EAF=90-15=75,EAF=BAD.由类比引申的结论可得EF=BE+DF=40(+1)=109米.,7.(2014江苏镇江,28,10分)我们知道平行四边形有很多性质.现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折,会发现这其中还有更多的结论.【发现与证明】ABCD中,ABBC,将ABC沿AC翻折至ABC,连接BD.结论1:BDAC;结论2:ABC与ABCD重叠部分的图形是等腰三角形.请利用图1证明结论1或结论2(只需证明一个结论).【应用与探究】在ABCD中,已知B=30,将ABC沿AC翻折至ABC,连接BD.(1)如图1,若AB=,ABD=75,则ACB=,BC=;(2)如图2,AB=2,BC=1,AB与边CD相交于点E,求AEC的面积;(3)已知AB=2,当BC长为多少时,ABD是直角三角形?,解析【发现与证明】证明:如图1,设AD与BC相交于点F,ABC沿直线AC翻折至ABC,ABCABC,ACB=ACB,BC=BC,四边形ABCD为平行四边形,AD=BC,ADBC,图1BC=AD,ACB=CAD,ACB=CAD=,AF=CF,(1分)BF=DF,CBD=BDA=.AFC=BFD,ACB=CBD,BDAC.(2分)【应用与探究】(1)45;(3分)+.(4分)(2)过点C分别作CGAB,CHAB,垂足分别为G、H,CG=CH.在RtBCG中,BGC=90,BC=1,B=30,CG=,BG=.CH=CG=.AB=2,AG=,由AGCAHC,得AH=AG=.设AE=x,则CE=x,由CE2=CH2+HE2,得x2=+,解得x=,则AE=.(5分)ACE的面积=AECH=.(6分),按ABD中的直角分类:当BAD=90时,如图3,ACB=30,BC=6;如图4,BAC=30,BC=2;当ABD=90时,如图5,ACB=60,BC=4;当ADB=90时,如图6,ACB=90,BC=3.综上,BC的长为6,2,4或3.(10分图3图4,图5图6,8.(2016浙江湖州,24,10分)数学活动课上,某学习小组对有一内角为120的平行四边形ABCD(BAD=120)进行探究:将一块含60角的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转,且60角的顶点始终与点C重合,较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB,AD于点E,F(不包括线段的端点).(1)初步尝试如图1,若AD=AB,求证:BCEACF,AE+AF=AC;(2)类比发现如图2,若AD=2AB,过点C作CHAD于点H,求证:AE=2FH;(3)深入探究如图3,若AD=3AB,深究得:的值为常数t,则t=.,解析(1)证明:平行四边形ABCD中,BAD=120,D=B=60.AD=AB,ABC和ACD为正三角形,B=CAD=60,ACB=60,BC=AC.(2分)ECF=60,BCE+ACE=ACF+ACE=60,BCE=ACF,(3分)BCEACF(ASA).(4分)BCEACF,BE=AF,AE+AF=AE+BE=AB=AC.(5分)(2)证明:设DH=x,由已知,得CD=2x,CH=x,AD=2AB=4x,AH=AD-DH=3x.CHAD,AC=2x,AC2+CD2=AD2,ACD=90,BAC=ACD=90,(6分),CAD=30,ACH=60.ECF=60,HCF+ACF=ACE+ACF,HCF=ACE,(8分)ACEHCF,=2,AE=2FH.(9分)(3).(12分),9.(2016洛阳一模,22)在ABC中,A=90,点D在线段BC上,EDB=C,BEDE,垂足为E,DE与AB相交于点F.(1)当AB=AC时(如图1),EBF=;探究线段BE与FD的数量关系,并加以证明;(2)当AB=kAC时(如图2),求的值(用含k的式子表示).,图1图2,解析(1)22.5.AB=AC,A=90,ABC=C=45,EDB=C,EDB=22.5,又E=90,EBD=67.5,EBF=67.5-45=22.5.(2分)FD=2BE.证明:在BEF和DEB中,BED=FEB=90,EBF=EDB=22.5,BEFDEB,如图,作BG平分ABC,交DE于G点,BG=GD,BGE是等腰直角三角形,设EF=x,BE=y,则BG=GD=y,FD=y+y-x.BEFDEB,=,即=,得x=(-1)y,FD=y+y-(-1)y=2y,FD=2BE.(7分),(2)如图,过点D作DGAC,交BE的延长线于点G,与BA交于点N,DGAC,GDB=C.EDB=C,EDB=GDE,BEDE,BED=DEG,又DE=DE,DEGDEB,BE=EG,BE=GB.易知BND=GNB=90,又EBF=NDF,GBNFDN,=,即=.DGAC,BNDBAC,=,即=k,=.(10分),
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