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2.3.2平面与平面垂直的判定,课标要求:1.了解二面角及其平面角的定义,并会求简单二面角的大小.2.理解两个平面互相垂直的定义.3.理解两个平面垂直的判定定理,并能用定理判定面面垂直.,自主学习新知建构自我整合,导入(实例导入)建筑工人在准备砌墙时,常常在较高处固定一条端点系有铅锤的线,再沿着该线砌墙,就能保证所砌的墙面和水平面垂直.,【情境导学】(教学备用),想一想实例中墙面满足什么条件时和水平面垂直?(墙面经过水平面的一条垂线),1.二面角(1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫二面角的,这两个半平面叫二面角的.图中的二面角可记作:二面角-AB-或-l-或P-AB-Q.,知识探究,棱,面,(2)二面角的平面角:如图,在二面角-l-的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面和内分别作的射线OA,OB,则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角.平面角是的二面角叫做直二面角.,垂直于棱l,直角,探究1:教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角?答案:可以构成三个二面角,如图所示.分别是-a-,-c-,-b-.这三个二面角都是90.,2.平面与平面垂直(1)定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是,就说这两个平面互相垂直.平面与垂直,记作.(2)判定定理,直二面角,另一个平,面的垂线,探究2:过平面外一点,可以作多少个与已知平面垂直的平面?答案:无数多个.过平面外一点可以作平面的一条垂线,过此垂线可以作出无数个平面,这些平面都与已知平面垂直.,自我检测,1.(二面角)下列结论:(1)两个相交平面组成的图形叫做二面角;(2)异面直线a,b分别和一个二面角的两个半平面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补.(3)二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个半平面内作射线所成角的最小角;(4)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.其中正确的是()(A)(B)(C)(D),B,2.(判定定理)对于直线m,n和平面,能得出的一个条件是()(A)mn,m,n(B)mn,=m,n(C)mn,n,m(D)mn,m,n3.(面面垂直的判定)在正方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中,与面ABCD垂直的平面有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个,C,D,4.(面面垂直判定定理)在三棱锥P-ABC中,已知PAPB,PBPC,PCPA,则在三棱锥P-ABC的四个面中,互相垂直的面有对.,答案:3,5.(二面角)如图,P是边长为2的正方形ABCD所在平面外一点,PAAB,PABC,且PC=5,则二面角P-BD-A的余弦值为.,答案:,题型一,求二面角,【例1】如图所示,在正方体ABCD-ABCD中:(1)求二面角D-AB-D的大小;,课堂探究典例剖析举一反三,解:(1)在正方体ABCD-ABCD中,AB平面ADDA,所以ABAD,ABAD,因此DAD为二面角D-AB-D的平面角,在RtDDA中,DAD=45.所以二面角D-AB-D的大小为45.,解:(2)因为M是CD的中点,所以MA=MB,取AB的中点N,连接MN,则MNAB.取CD的中点H,连接HN,则HNAB.从而MNH是二面角M-AB-D的平面角.MNH=45.所以二面角M-AB-D的大小为45.,(2)若M是CD的中点,求二面角M-AB-D的大小.,方法技巧,(1)二面角的平面角满足:顶点在二面角的棱上;两边分别在二面角的两个半平面内;两边分别与二面角的棱垂直.(2)二面角的平面角是两条射线所成的角,因此二面角不一定是锐角,其范围为0180.,即时训练1-1:(2018辽宁实验中学高一测试)正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角C1-AB-C的平面角等于.,解析:因为ABCD-A1B1C1D1为正方体,所以AB平面BCC1B1,因为BC平面BCC1B1,BC1平面BCC1B1,所以ABBC,ABBC1,所以CBC1为二面角C1-AB-C的平面角,又ABCD-A1B1C1D1为正方体.所以C1BC=45.答案:45,【备用例1】在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为a的正方形,PD平面ABCD,PD=a.(1)求证:AC平面PBD;,(1)证明:因为四边形ABCD为正方形,所以ACBD,又PD平面ABCD,所以ACPD,又PDBD=D,所以AC平面PBD.,(2)求二面角P-BC-D的平面角;,(2)解:因为四边形ABCD为正方形,所以BCCD,又PD平面ABCD,所以BCPD.又CDPD=D,所以BC平面PCD,所以BCPC,所以PCD为二面角P-BC-D的平面角,在RtPCD中,因为PD=DC=a,所以PCD=45,即二面角P-BC-D的平面角为45.,(3)求二面角P-AC-D的平面角的正切值.,题型二,平面与平面垂直的判定,【例2】(1)如图(1)在四面体ABCD中,BD=a,AB=AD=CB=CD=AC=a.,求证:平面ABD平面BCD;,(2)如图(2),在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为BC的中点,点E在AC上,且DEA1E.求证:平面A1AD平面BCC1B1;,证明:(2)因为三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱,所以BB1平面ABC,又AD平面ABC,所以ADBB1,又D为BC的中点,所以ADBC,又BCBB1=B,所以AD平面BCC1B1.又AD平面ADA1,所以平面A1AD平面BCC1B1.,求证:平面A1DE平面ACC1A1.,证明:因为三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱,所以AA1平面ABC,又DE平面ABC,所以AA1DE,又DEA1E,A1EAA1=A1,所以DE平面ACC1A1,又DE平面A1DE,所以平面A1DE平面ACC1A1.,变式探究:若本例中(2)改为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,F为A1C1的中点,求证:平面AB1F平面ACC1A1.,证明:因为三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱,所以AA1平面A1B1C1,又FB1平面A1B1C1,所以AA1FB1,又A1B1C1为等边三角形,F为A1C1的中点,所以B1FA1C1,又A1C1AA1=A1,所以B1F平面ACC1A1,又B1F平面AB1F,所以平面AB1F平面ACC1A1.,判定两平面垂直的常用方法:(1)定义法:即说明两个平面所成的二面角是直二面角;(2)判定定理法:其关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直,即把问题转化为“线面垂直”;(3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面.,方法技巧,即时训练2-1:(2018石家庄期末)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,E为PD的中点.若PA平面ABCD,PA=AD,求证:平面AEC平面PDC.,证明:因为PA平面ABCD,CD平面ABCD,所以PACD,又ADCD,且ADPA=A,所以CD平面PAD,又AE平面PAD,所以CDAE.因为PA=AD,E为PD中点,所以AEPD.又CDPD=D,所以AE平面PDC,又AE平面AEC,所以平面AEC平面PDC.,【备用例2】如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点.证明:平面ABM平面A1B1M.,【备用例3】(2014北京卷)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,ABBC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.(1)求证:平面ABE平面B1BCC1;,(1)证明:因为在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面所以BB1AB,又因为ABBC,BB1BC=B,所以AB平面B1BCC1,因为AB平面ABE.所以平面ABE平面B1BCC1.,(2)求证:C1F平面ABE;,(2)证明:取AB的中点G,连接EG,FG.因为E,F分别是A1C1,BC的中点,所以FGAC,且FG=AC.因为ACA1C1,且AC=A1C1,所以FGEC1,且FG=EC1.所以四边形FGEC1为平行四边形,所以C1FEG.又因为EG平面ABE,C1F平面ABE,所以C1F平面ABE.,(3)求三棱锥E-ABC的体积.,题型三,线面垂直、面面垂直的综合问题,【思考】如何作二面角的平面角?,提示:作二面角的三种常用方法:(1)定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图,则AOB为二面角-l-的平面角.,(2)垂直法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.如图,AOB为二面角-l-的平面角.(3)垂线法:过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线,垂足为B,由点B向二面角的棱作垂线,垂足为O,连接AO,则AOB为二面角的平面角或其补角.如图,AOB为二面角-l-的平面角.,【例3】如图,在三棱锥P-ABC中,PA平面PBC,PA=PB=2,PC=4,BC=2.(1)求证:平面PAB平面ABC;,(2)E为BA的延长线上一点,若二面角P-EC-B的大小为30,求BE的长.,(2)解:如图,取AB的中点F,连接PF.因为PA=PB,所以PFAB.由(1)知平面PAB平面ABC,又平面PAB平面ABC=AB,PF平面PAB,所以PF平面ABC,PFEC.过F作FGEC于G,连接PG.因为PFEC,PFFG=F,所以EC平面FPG.因为PG平面FPG,所以ECPG.,(1)证明垂直关系时要注意利用线面垂直、线线垂直、面面垂直之间的转化.(2)求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角,这就需要紧扣它的三个条件,即这个角的顶点是否在棱上;角的两边是否分别在两个半平面内;这两边是否都与棱垂直.在具体作图时,还要注意掌握一些作二面角的平面角的方法技巧,如:线面的垂直,图形的对称性,与棱垂直的面等.,方法技巧,即时训练3-1:如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE平面ABCD.(1)证明:平面AEC平面BED;,(1)证明:因为四边形ABCD为菱形,所以ACBD.又BE平面ABCD,所以BEAC,又BDBE=B,所以AC平面BED,又AC平面AEC,所以平面AEC平面BED.,(2)若ABC=120,AEEC,三棱锥E-ACD的体积为,求该三棱锥的侧面积.,谢谢观赏！,
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