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3.2数学归纳法的应用,学习目标,1.会用数学归纳法证明与正整数有关的不等式，特别是绝对值不等式、平均值不等式和柯西不等式.2.了解贝努利不等式，学会贝努利不等式的简单应用.3.会用数学归纳法证明贝努利不等式.,预习自测,1.对任何实数x1和任何正整数n，有(1x)n1nx.2.设为有理数，x1，如果01，则(1x)_1x，当且仅当_时等号成立.,x0,典例剖析知识点1用数学归纳法证明绝对值不等式,【例1】设x1，x2，xn为实数，证明：|x1x2xn|x1|x2|xn|.,1.证明不等式|sinn|n|sin|(nN).,证明(1)当n1时，上式左边|sin|右边，不等式成立.(2)假设当nk(k1)时，命题成立，即有|sink|k|sin|.当nk1时，|sin(k1)|sin(k)|sinkcoscosksin|sinkcos|cosksin|sink|sin|k|sin|sin|(k1)|sin|.即当nk1时不等式成立.由(1)(2)可知，不等式对一切正整数n均成立.,知识点2用数学归纳法证明平均值不等式,【反思感悟】用数学归纳法证明不等式的第二步，设nk时命题成立，证nk1时命题也成立时，往往要通过放缩法来实现nk1时命题所需要的形式.,2.证明：如果n(n为正整数)个正数a1，a2，an的乘积a1a2an1，那么它们的和a1a2ann.,a3a4akak1ka1a2a1a2akak1(k1)a1a2ka1a2k1a1a2a1a21(a11)(a21)a11，a20a1a2akak1k10，即a1a2akak1k1，当nk1时命题成立由(1)(2)可知，对一切正整数n，如果n个正数a1，a2，an的乘积a1a2an1，那么它们的和a1a2ann成立.,知识点3用数学归纳法证明柯西不等式,【反思感悟】用数学归纳法证明不等式，难点不在于数学归纳法的原理，而在于如何变形.放缩以便于用上假设，再经过变形运算使命题得证.,课堂小结,数学归纳法能证明与正整数n有关的不等式，但并不是所有与正整数n有关的不等式都能用数学归纳法证明.证明不等式的难点在于对命题的变形.在推证nk1命题成立时，往往利用放缩法通过增加一些项(或舍去一些项)或利用二项式定理后舍去一些项达到满足nk1时所需要的形式.有时也会利用比较法证明nk1时命题成立.,随堂演练,
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