资源描述
教学目标,知识与能力,初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法，初步了解“属于”关系的意义，初步了解有限集、无限集、空集的意义.,过程与方法,重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养，启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题，通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.,情感态度与价值观,激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.,教学重难点,重点,集合的含义与表示方法.,难点,表示法的恰当选择.,初中接触过的集合，还有印象吗？（1）正分数的集合；（2）x2-4=0的解集为2，-2；（3）不等式3x-20的所有解;（8）函数y=x+1图像上的所有点;（9）线段AB的垂直平分线上的所有点.,下列各种说法中,是集合吗？,军训前学校通知:8月15日8点,高一年级在体育馆进行军训动员.试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？,想一想,一般地，我们把研究对象统称为元素（element）;把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）.,集合的三要素：1.确定性：给定的集合，他的元素必须是确定的，也就是说给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.,知识要点,2.互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不能相同.,3.无序性：集合中的元素是无先后顺序的，即集合里的任何两个元素可以交换位置.,（1）我们班的高个子学生;（2）咱们班所有短头发的同学.,它们是集合吗？为什么？,它们当中的元素都具有不确定性.,只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.,元素与集合的从属关系：如果a是集合A中的元素,说a属于A,记作aA；如果a不是集合A中的元素,说a不属于A,记作aA,知识要点,集合的表示方法之一：通常用大写拉丁字母A,B,C,表示集合;通常用小写拉丁字母a,b,c,表示集合中的元素.,常用数集及其记法：(1)自然数集与非负整数集是相同的,也就是说,自然数集包括数0.(2)非负整数集内排除0的集.记作N*或N+.,注意,不确定性,不确定性,例1下面各组对象能否构成集合？并说明理由（1）所有的好人；（2）小于2003的数；（3）和2003非常接近的数；（4）参加数学比赛的年龄较小的同学；（5）亚洲所有的国家；（6）立方根等于自身的数；（7）西湖里的漂亮的鱼；（8）较大的数,不确定性,不确定性,例2用符号“”或”填空：,例3xR，则3，x，x-2x中的元素应满足什么条件？,解：由集合中元素的互异性知,分析：根据集合的三要素：确定性，互异性，无序性,解得x-1，x0，且x3,例5若1,2=a2,2h，则求a,h？,例4集合A=1,3,5与集合B=3,1,5是同一集合吗？,解：根据集合的三要素，可以知道两个集合是同一集合,解：由集合的三要素知道，,或,所以得到a=3或4，h=1或0.5,1.地球上的七大洲这一集合可以表示成什么呢？2.12的所有约数可以表示成什么呢？3.方程x1=0的解的集合可以表示成什么呢？,1.地球上的七大洲可表示为亚洲，非洲，南极洲，北美洲，南美洲，欧洲，大洋洲2.12的所有约数可表示为1，2，3，4，6，12.3.方程x-1=0的解集可以表示为1.,集合的表示方法之二：像这样把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举,知识要点,解：（1）设大于10小于30的所有3的倍数组成的集合为A，那么A=12，15，18，21，24，27，或A=12，15，21，24，18，27等等（2）方程的解组成的集合为B，那么B=-1,-2.（3）设小于100的所有奇数组成的集合为C，那么C=1，3，5，7，9，11，99.,例6用列举法表示下列集合：（1）大于10小于30的所有3的倍数；（2）方程的解；（3)小于100的所有奇数,（1）大括号不能缺失.（2）有些集合元素个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可如下表示：从1到100的所有整数组成的集合：1，2，3，100自然数集N：1，2，3，4，,n,（3）区分a与a：a表示一个集合，该集合只有一个元素.a表示这个集合的一个元素.（4）用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序.相同的元素不能出现两次.,注意,所有的集合都可以用列表法来表示吗？比如：不等式2x-83的解集；（2）不超过30的所有非负偶数的集合；（3）方程的所有实数根组成的集合；（4）所有的菱形；（5）方程组的解集.,解：（1）设满足不等式2x-13的解为x，满足条件，用描述法表示为（2）设不超过30的非负偶数为x,且满足用描述法表示为（3）设方程的实数根为x，且满足条件，用描述法表示为,（4）设菱形为x,则用描述法表示为（5）设此方程组的解为（x,y）,且满足则用描述法表示为,所有菱形的集合可以表示为：,（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分.如：直角三角形、大于104的实数.（2）错误表示法：实数集、全体实数.,注意,例7中的集都不可以用列表法吗？显然不是，那么何时用列举法，何时用描述法更容易一些呢？,有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法,有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法,知识要点,有限集与无限集1、有限集：含有有限个元素的集合2、无限集：含有无限个元素的集合3、空集：不含任何元素的集合，记作,如：,做一做,集合与集合是同一集合吗？,集合的表示方法之四：文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合.,有些集合的公共属性不明显,难以概括,不便用描述法表示,只能用列举法.,知识要点,1集合的有关概念（集合、元素、属于、不属于、有限集、无限集、空集）.2集合的四种表示方法（大写字母、列举法、描述法、文氏图共四种）.3常用数集的定义及记法.,课堂小结,课堂练习,(1)设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国_A；美国_A；印度_A；英国_A.(2)若A=方程x=1的解则1_A；(3)若B=方程x+x-6=0的解则2_B；(4)若C=满足1x10的自然数则8_C；9.5_C.,1.用符号“”或”填空：,2,2.填空：（1）由实数所组成的集合，最多含有个元素；,（2）用列举法表示（3）用列举法表示,(3.5，-1.5),用列举法表示为,(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(6,0),(5,1),(4,2),5用使当的方法表示下列集合:（1）抛物线上的点；（2）抛物线上点的横坐标；（3）抛物线上点的纵坐标；（4）大于-1且小于7的自然数；（5）平方等于2的数；（6）24的约数,解:（1）（2）（3）（4）0，1，2，3，4，5，6（5）（6）1，2，3，4，6，8，12，24,1.正整数1,2,3,;2.中国古典四大名著;3.高10班的全体学生;4.我校篮球队的全体队员;5.到线段两端距离相等的点.,知识点,集合,一般地，指定的某些对象的全体称为集合，简称“集”.,1.集合的概念:,集合中每个对象叫做这个集合的元素.,练习1.下列指定的对象，能构成一个集合的是很小的数不超过30的非负实数直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点的近似值高一年级优秀的学生所有无理数大于2的整数正三角形全体,(B),A.B.C.D.,练习1.下列指定的对象，能构成一个集合的是很小的数不超过30的非负实数直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点的近似值高一年级优秀的学生所有无理数大于2的整数正三角形全体,(B),A.B.C.D.,2.集合的表示:,集合常用大写字母表示，元素常用小写字母表示.,2.集合的表示:,集合常用大写字母表示，元素常用小写字母表示.,2.集合的表示:,3.集合与元素的关系:,集合常用大写字母表示，元素常用小写字母表示.,2.集合的表示:,如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作aA.如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作aA.,3.集合与元素的关系:,集合常用大写字母表示，元素常用小写字母表示.,2.集合的表示:,如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作aA.如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作aA.,3.集合与元素的关系:,例如：A表示方程x21的解.2A，1A.,4.集合元素的性质:,确定性:集合中的元素必须是确定的.如:xA与xA必居其一.,4.集合元素的性质:,确定性:集合中的元素必须是确定的.如:xA与xA必居其一.互异性:集合的元素必须是互异不相同的.如:方程x2x0的解集为1而非1，1.,4.集合元素的性质:,确定性:集合中的元素必须是确定的.如:xA与xA必居其一.互异性:集合的元素必须是互异不相同的.如:方程x2x0的解集为1而非1，1.无序性:集合中的元素是无先后顺序的.如:1，2，2，1为同一集合.,4.集合元素的性质:,确定性:集合中的元素必须是确定的.如:xA与xA必居其一.互异性:集合的元素必须是互异不相同的.如:方程x2x0的解集为1而非1，1.无序性:集合中的元素是无先后顺序的.如:1，2，2，1为同一集合.,那么(1，2)，(2，1)是否为同一集合?,4.集合元素的性质:,5.集合的表示方法:,5.集合的表示方法:,描述法、列举法、图表法,5.集合的表示方法:,问题1：用集合表示x230的解集;所有大于0小于10的奇数;不等式2x13的解.,描述法、列举法、图表法,6.集合的分类:,6.集合的分类:,有限集、无限集,6.集合的分类:,有限集、无限集,问题2：我们看这样一个集合：x|x2x10，它有什么特征？,显然这个集合没有元素.我们把这样的集合叫做空集，记作.,6.集合的分类:,有限集、无限集,问题2：我们看这样一个集合：x|x2x10，它有什么特征？,显然这个集合没有元素.我们把这样的集合叫做空集，记作.,6.集合的分类:,有限集、无限集,问题2：我们看这样一个集合：x|x2x10，它有什么特征？,练习2：0(填或)0(填或),显然这个集合没有元素.我们把这样的集合叫做空集，记作.,6.集合的分类:,有限集、无限集,问题2：我们看这样一个集合：x|x2x10，它有什么特征？,练习2：0(填或)0(填或),7.重要的数集:,N：自然数集(含0)N+：正整数集(不含0)Z：整数集Q：有理数集R：实数集,例1若xR，则数集1，x，x2中元素x应满足什么条件.,例题,例1若xR，则数集1，x，x2中元素x应满足什么条件.,解：,x1且x21且x2x，,例题,例1若xR，则数集1，x，x2中元素x应满足什么条件.,解：,x1且x21且x2x，,x1且x1且x0.,例题,例2设xR，yR，观察下面四个集合Ayx21Bx|yx21Cy|yx21D(x,y)|yx21它们表示含义相同吗?,例3若方程x25x60和方程x2x20的解为元素的集为M，则M中元素的个数为,A.1B.2C.3D.4,(C),例3若方程x25x60和方程x2x20的解为元素的集为M，则M中元素的个数为,A.1B.2C.3D.4,(C),例4已知集合Ax|ax24x40，xR，aR只有一个元素，求a的值与这个元素.,例4已知集合Ax|ax24x40，xR，aR只有一个元素，求a的值与这个元素.,解：,当a0时，x1.,例4已知集合Ax|ax24x40，xR，aR只有一个元素，求a的值与这个元素.,解：,当a0时，x1.,当a0时，1644a0.,a1.,此时x2.,例4已知集合Ax|ax24x40，xR，aR只有一个元素，求a的值与这个元素.,解：,当a0时，x1.,当a0时，1644a0.,a1.,此时x2.,a1时这个元素为2.,a0时这个元素为1.,一、为什么要学数学？,1.提高思维能力，增长聪明才智；,2.学习与实践的基础；,马克思说：“一种科学只有在成功运用数学时，才算达到了真正完善的地步。”,“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。”,一、为什么要学数学？,3.“高考市场”的拳头产品。,1.提高思维能力，增长聪明才智；,2.学习与实践的基础；,74,二、高中数学为什么难学？,3.应用的广泛性,2.严密的逻辑性,1.高度的抽象性,三、高中学哪些数学？,76,知识回顾,空间与图形,方程、不等式,初中数学,统计,实数,概率,函数,图形与变换,图形与坐标,图形与证明,图形的认识,课题学习,实践活动,综合应用,实践与应用,数与代数,统计与概率,代数式,77,三、高中学哪些数学？,1.必修课程：5个模块,2.选修课程：4个系列,系列1：2个模块（文科选修）系列2：3个模块（理科选修）系列3：6个专题（自主选修）系列4：10个专题（自主选修）,78,模块说明,79,教学安排,80,四、如何学好高中数学？,良好的学习数学习惯包括课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。,关键是养成良好的学习习惯，寻找最佳的学习方法。,81,四、如何学好高中数学？,课前自学不仅能培养自学能力，而且能提高学习新课的兴趣，掌握学习主动权。自学不能搞走过场，要讲究质量，力争在课前把教材弄懂，上课着重听教师讲课的思路，把握重点，突破难点，尽可能把问题解决在课堂上。课前自学过的学生上课更能专心听课，他们知道什么地方该详，什么地方可略；什么地方该精雕细刻，什么地方可以一带而过，该记的地方才记下来，而不是全抄全录，顾此失彼。,82,四、如何学好高中数学？,及时复习是高效率学习的重要一环，通过反复阅读教材，多方查阅有关资料，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，将所学的新知识与有关的旧知识联系起来，进行分析比较，一边复习一边将复习成果整理在笔记上，才能使所学的新知识由“懂”到“会”。,83,四、如何学好高中数学？,独立作业是学生通过自己的独立思考，灵活地分析问题、解决问题，进一步加深对所学新知识的理解和对新技能的掌握的过程。这一过程是对学生意志毅力的考验，通过运用使学生对所学知识由“会”到“熟”。,84,四、如何学好高中数学？,解决疑难一定要有锲而不舍的精神，做错的作业再做一遍。对错误的地方没弄清楚要反复思考，实在解决不了的要请教老师和同学，并要经常把易错的地方拿出来复习强化，作适当的重复性练习，把从老师及同学获得的东西消化变成自己的知识，长期坚持可对所学知识由“熟”到“活”。,85,四、如何学好高中数学？,经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然；经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题归纳于同一知识方法。,86,四、如何学好高中数学？,学习数学一定要讲究“活”，只看书不做题不行，埋头做题不总结积累也不行，对课本知识既要能钻进去，又要能跳出来，结合自身特点，寻找最佳学习方法。方法因人而异，但学习的四个环节（预习、上课、整理、作业）和一个步骤（复习总结）是少不了的。,87,六、对数学学习有什么要求？,2.勤思多练;,1.专注认真;,“学而不思则罔，思而不学则殆”，在听讲的过程中一定要有积极的思考和参预，勤于思考，善于思考，是对我们学习数学提出的最基本的要求。一般来说，要尽力做到以下两点。1、善于发现问题和提出问题；2、善于反思。,88,六、对数学学习有什么要求？,2.勤思多练;,1.专注认真;,思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。,89,六、对数学学习有什么要求？,2.勤思多练;,1.专注认真;,阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课外题，加大自学力度，拓展自己的知识面。,90,六、对数学学习有什么要求？,3.常做笔记;,记数学笔记，特别要记对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。,91,六、对数学学习有什么要求？,5.反思评价.,4.规范作业;,92,六、对数学学习有什么要求？,建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药；解答问题完整、推理严密。,93,六、对数学学习有什么要求？,无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，这是学好数学的关键所在。,94,把该做的事情做完；,把能做的事情做好；,把想做的事情做成；,希望同学们：,喜欢数学，会学数学，学好数学。,95,1.正整数1,2,3,;2.中国古典四大名著;3.高一（7）班的全体学生;4.我校篮球队的全体队员;5.到线段两端距离相等的点.,知识点,集合,96,一般地，指定的某些对象的全体称为集合，简称“集”.,1.集合的概念:,集合中每个对象叫做这个集合的元素.,97,练习1.下列指定的对象，能构成一个集合的是很小的数不超过30的非负实数直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点的近似值高一年级优秀的学生所有无理数大于2的整数正三角形全体,(B),A.B.C.D.,98,集合常用大写字母表示，元素常用小写字母表示.,2.集合的表示:,一般用大括号”表示集合,也常用大写的拉丁字母A、B、C表示集合.用小写的拉丁字母a,b,c表示元素,注:组成集合的元素可以是物,数,图,点等,99,如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作aA.如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作aA.,3.集合与元素的关系:,例如：A表示方程x21的解.2A，1A.,100,用符号“”或“”填空：(1)3.14_Q(有理数集)(2)_Q(3)0_N(4)0_N+(5)(-0.5)0_Z(6)2_R,练一练：,101,确定性:集合中的元素必须是确定的.如:xA与xA必居其一.互异性:集合的元素必须是互异不相同的.如:方程x2x0的解集为1而非1，1.无序性:集合中的元素是无先后顺序的.如:1，2，2，1为同一集合.,那么(1，2)，(2，1)是否为同一集合?,4.集合元素的性质:,102,任意性：集合中的元素可以是任意的对象，无论是数、式、点、线、人，还是其它的某种事或物，只要它们具有某种共同属性，集中在一起就能组成一个集合，我们把集合的这一性质称为元素的任意性；在中学，我们主要研究对象是一系列的数的集合或点的集合,103,4.集合元素的性质:,只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的,判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由；(1)大于3小于11的偶数；(2)我国的小河流。,思考：,104,中国的直辖市身材较高的人著名的数学家高一(3)班眼睛很近视的同学,判断下列例子能否构成集合,注:像”很”,”非常”,”比较”这些不确定的词都不能构成集合,105,5.集合的表示方法,1、列举法：,将集合中的元素一一列举出来，并用花括号括起来的方法叫做列举法,互异,无序,106,例1用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合；(3)由120以内的所有质数组成的集合。,思考题(P4)(1)你能用自然语言描述集合2,4,6,8吗?(2)你能用列举法表示不等式x-73吗?,5.集合的表示方法,107,2、描述法：,将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成xp(x)的形式,特征性质,5.集合的表示方法,108,例2试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合；(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合。,思考题结合此例,试比较用自然语言、列举法和描述法表示集合时各自的特点和适用的对象。,109,显然这个集合没有元素.我们把这样的集合叫做空集，记作.,6.集合的分类:,有限集、无限集,问题2：我们看这样一个集合：x|x2x10，它有什么特征？,练习2：0(填或)0(填或),110,集合的分类,有限集：含有限个元素的集合,无限集：含无限个元素的集合,空集：不含任何元素的集合,111,7.重要的数集:,N：自然数集(含0)N+或N*：正整数集(不含0)Z：整数集Q：有理数集R：实数集,112,例1若xR，则数集1，x，x2中元素x应满足什么条件.,解：,x1且x21且x2x，,x1且x1且x0.,例题,113,例2设xR，yR，观察下面四个集合Ayx21Bx|yx21Cy|yx21D(x,y)|yx21它们表示含义相同吗?,114,例3若方程x25x60和方程x2x20的解为元素的集为M，则M中元素的个数为,A.1B.2C.3D.4,(C),115,例4已知集合Ax|ax24x40，xR，aR只有一个元素，求a的值与这个元素.,解：,当a0时，x1.,当a0时，1644a0.,a1.,此时x2.,a1时这个元素为2.,a0时这个元素为1.,116,例5、已知A=a-2,2a2+5a,10,且-3A，求a。,例6、若A=x|x=3n+1,nZ,B=x|x=3n+2,nZC=x|x=6n+3,nZ,（）对于任意aA，bB，是否一定有a+bC？并证明你的结论；,(1)若cC，问是否有aA，bB，使得c=a+b；,117,1.集合的定义2.集合元素的性质3.集合与元素的关系4.集合的表示和表示方法5.集合的分类6.重要的数集,课堂小结,11.1集合的含义与表示,例1下列各组对象：接近于0的数的全体；比较小的正整数全体；平面上到点O的距离等于1的点的全体；正三角形的全体；的近似值的全体其中能构成集合的组数是()A2组B3组C4组D5组,分析集合中的元素必须是确定的解析“接近于0的数”、“比较小的正整数”标准不明确，即元素不确定，所以、构不成集合同样，“的近似值”没有给出取近似值的标准(如“四舍五入法”、“收尾法”、“去尾法”等)和位数，因此很难判定一个数，比如1.5，是不是它的近似值，所以也不是一个集合、能构成集合选A.,下列各条件中，能够成为集合的是()A与非常接近的正数B世界著名的科学家C所有的等腰三角形D全班成绩好的同学答案C解析对于选项A、B、D没有明确的标准来衡量，故选C.,分析本题重在考查元素的互异性，需要结合实数的性质去思考，尤其是要准确认识根式的意义,若x1,3，x3，则有()Ax0或x1Bx1或x3Cx0或x1或x3Dx0或x3答案C解析x1,3，x3x1或3或x3当xx3时x0，1，由于x31,3，x1，故x0，1,3，故选C.,例3若集合1，|x|与x，x2相等，求实数x的值解析1，|x|与x，x2两集合相等，两集合含有相同的元素即x，x2一定含有1这个元素由于x20，x1.,例4将下列集合改为用符号语言描述：(1)非负奇数集(2)能被3整除的整数的集合(3)第一象限和第三象限内的点的集合(4)一次函数y2x1与二次函数yx2的图象交点的集合分析从集合中元素(数或点)所满足的条件、具有的属性入手，联想有关的数学表达形式,解析(1)x|x2k1，kN*；(2)n|n3k，kZ；(3)(x，y)|xy0；点评要重视同一数学对象的不同形态语言的表达方法及互译练习(如，普通语言符号语言)，这对今后学习大有裨益.,例5用适当的方法表示下列集合：(1)24的正约数组成的集合；(2)大于3小于10的整数组成的集合；(3)方程x2axb0的解集；(4)平面直角坐标系中第二象限的点集；分析首先搞清楚集合的元素是什么，然后选用适当的方法表示集合,解析(1)1,2,3,4,6,8,12,24；(2)大于3小于10的整数xZ|3x104,5,6,7,8,9；(3)x|x2axb0；(4)(x，y)|x3且x2n，nZ；(3)P|P在平面内且PAPB,例6下面三个集合：x|yx21；y|yx21；(x，y)|yx21(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？分析对于用描述法给出的集合，首先要清楚集合中的代表元素是什么，元素满足什么条件,解析(1)由于三个集合的代表元素代表的对象互不相同它们是互不相同的集合(2)集合x|yx21的代表元素是x，当xR时，yx21有意义x|yx21R；集合y|yx21的代表元素是y，满足条件yx21的y的取值范围是y1，y|yx21y|y1,集合(x，y)|yx21的代表元素是(x，y)，可以认为是满足yx21的数对(x，y)的集合；也可以认为是坐标平面内的点(x，y)构成的集合，且这些点的坐标满足yx21，(x，y)|yx21P|P是抛物线yx21上的点,总结评述：用描述法表示的集合，认识它一要看集合的代表元素是什么，它反映了集合元素的形式；二要看元素满足什么条件对符号语言所表达含义的理解在数学中要求是很高的，希望同学们能逐步提高对符号语言的认识.,总结评述：用列举法表示集合，就是要根据集合的一般特性(确定性、互异性、无序性)和集合本身的特征，把集合中的元素不重复、不遗漏、不计顺序地一一表示出来,例8已知集合A是由方程ax22x10(aR)的实数解作为元素构成的集合(1)1是A中的一个元素，求集合A中的其它元素；(2)若A中有且仅有一个元素，求a的值组成的集合B；(3)若A中至多有一个元素，试求a的取值范围,若a0，则当且仅当方程的判别式44a0，即a1时，方程有两个相等的实根x1x21，此时集合A中有且仅有一个元素，所求集合B0,1；(3)集合A中至多有一个元素包括两种情况：A中有且只有一个元素，由(2)知此时a0或a1；A中一个元素也没有，即A，此时a0，且44a0，a1；综合、知所求a的取值范围是a|a1或a0,已知集合AxR|ax2x20，若A中至少有一个元素，则a的取值范围是_,分析题中给出数集A满足的条件解答此题就从此条件入手逐步推出结论,例10集合Ax|x3n1，nZ，Bx|x3n2，nZ，Cx|x6n3，nZ，对任意的aA，bB，是否一定有abC？并证明你的结论错解由aA，有a3n1(nZ)，由bB，有b3n2(nZ)，则ab6n3(nZ)，故abC,辨析集合A是所有被3除余1的整数所组成的集合集合B是所有被3除余2的整数所组成的集合，集合C是所有被6除余3的整数所组成的集合，易知1A,5B，而156C，则aA，bB，不一定有abC.错解的根源在于将A，B中的n看成同一个数，即a，b不是任意的，而是互相制约的，从而破坏了a与b的独立性,正解设a3m1(mZ)，b3t2(tZ)，则ab3(mt)3，当mt是偶数时，设mt2k(kZ)，有ab6k3(kZ)，则abC；当mt为奇数时，设mt2k1(kZ)，有ab6k(kZ)，则abC综上可知不一定有abC.,第二章集合,2.1集合论的基本概念2.2集合上的运算2.3归纳法和自然数2.4语言上的运算2.5集合的笛卡儿乘积,2.1集合论的基本概念,2.1.1集合的概念集合在某些场合又称为类、族或搜集,它是数学中最基本的概念之一,如同几何中的“点”、“线”等概念一样,不可精确定义,现描如下:一个集合是能作为整体论述的事物的集体。如;(1)“高二(1)班的学生”是一集合。;(2)硬币有两面正面和反面,“正面、反面”构成一集合。;(3)计算机内存之全体单元构成一集合。;(4)1,2,3,n,构成正整数集合。;(5)所有三角形构成三角形集合。;(6)坐标满足方程x2+y2R2的全部点构成图2.1-1所示的点集。,图2.1-1,组成集合的每个事物叫做这个集合的元素或成员。通常用大写字母A,B,C,代表集合;用小写字母a,b,c,代表元素。如果a是集合A的一个元素,则记为aA读做“a属于A”,或说“a在A中”。;如果a不是集合A的一个元素,则记为aA读做“a不属于A”,或说“a不在A中”。;任一元素,对某一集合而言,或属于该集合,或不属于该集合,二者必居其一,不可兼得。,通常采用3种方法表示集合。;第一种是列举法。就是把集合中的元素一一列举出来。例如“所有小于5的正整数”这个集合的元素为1,2,3,4,除这4个元素外,再没有别的元素了。如果把这个集合命名为A,就可记为A=1,2,3,4在能清楚表示集合成员的情况下可使用省略号,例如,从1到50的整数集合可记为1,2,3,50,偶数集合可记为,-4,-2,0,2,4,。,第二种是描述法。就是用谓词描述出集合元素的公共特征来表示这个集合。例如,上述各例可分别写成A=a|aI0aa5,a|aI1a50和这里I表示整数集合。一般地S=a|P(a)表示aS当且仅当P(a)是真。,集合的元素可以是一个集合,例如A=a,b,c,D,而D=0,1。仅含有一个元素的集合称为单元素集合。应把单元素集合与这个元素区别开来。例如A与A不同,A表示仅以A为元素的集合,而A对A而言仅是一个元素,当然这个元素也可以是一个集合,如A=1,2。称含有有限个元素的集合为有限集合。称不是有限集合的集合为无限集合或无穷集。有限集合的元素个数称为该集合的基数或势第五章将给出有限集、无限集、基数等概念的更精致的陈述。集合A的基数记为|A|,例如若A=a,b,则|A|=2,又|A|=1,外延公理两个集合A和B相等,即A=B,当且仅当它们有相同的成员(也就是,A的每一元素是B的一个元素而B的每一元素也是A的一个元素)。;用逻辑符号表达是:,或,外延公理断言:如果两个集合有相同的元素,那么不管集合是如何表示的,它们都相等。因此,(1)列举法中,元素的次序是无关紧要的。例如x,y,z与z,x,y相等。(2)元素的重复出现无足轻重。例如,x,y,x、x,y、x,x,x,y是相同的集合。(3)集合的表示不是唯一的。例如,x|x2-3x+2=0、x|xI1x2和1,2均表示同一集合。,这样,我们导致了一个类似于谎言悖论的矛盾:既非SS也非SS是真。一个“集合”,诸如S,它能导致矛盾的称为非良定的。罗素悖论起因于不受限制的定义集合的方法,特别,集合可以是自己的元素的概念值得怀疑。康脱以后创立的许多公理化集合论都直接地或间接地限制集合成为它自己的元素,因而避免了罗素悖论。公理化集合论用某个方法避免了罗素悖论,但怎能确信没有其它悖论潜伏在这些形式结构中呢?回答是悲观的,业已证明,应用现今有效的数学技术,没有方法能证明新的悖论不会产生。,2.1.3集合间的包含关系定义2.1-1设A和B是集合,如果A的每一元素是B的一个元素,那么A是B的子集合,记为AB,读做“B包含A”或“A包含于B中。用逻辑符表示为:,有时也记作,称B是A的扩集。,定义2.1-2如果AB且AB,那么称A是B的真子集,记作AB,读作“B真包含A”。;用逻辑符表示为:,要注意区分从属关系“”及包含关系“”。从属关系是集合元素与集合本身的关系,包含关系是集合与集合之间的关系。,定理2.1-1对任意集合A有,证对任意元素x,xU是真,所以,是真。由全称推广规则得,所以,(这是一个平凡证明的例子),定理2.1-2设A和B是集合,A=B当且仅当AB和BA。证,推论2.1-2对任何集合A,恒有AA。;定理2.1-3设A、B、C是集合,若AB且BC,则AC。证设x是论述域中任意元素,因为,所以,xAxB=xBxC由前提三段论得xAxC由全称推广规则得,即,定义2.1-3没有元素的集合叫空集或零集,记为。定理2.1-4对任意集合A有。证设x是论述域中任意元素,则,常假,所以,无义地真，由全称推广规则得,即,定理2.1-5空集是唯一的。证设和都是空集,由定理2.1-4得和,根据定理2.1-2得。注意与不同,后者是以空集为元素的一个集合,前者没有元素。能用空集构造不同集合的无限序列。在序列中,每一集合除第一个外都确实有一元素,即序列中前面的集合。在序列中,如果我们从0开始计算,则第i项有i个元素。这一序列的每一集合,以序列中在它之前的所有集合作为它的元素。,例1(a)集合p,q有4个不同子集:p,q、p、q和,注意pp,q但pp,q,pp,q但pp,q。再者p,q,但(b)集合q是单元素集合,它的唯一元素是集合q。每一单元素集合恰有两个子集,q的子集是q和。一般地,n个元素的集合有2n个不同的子集合.,2.2集合上的运算,2.2.1并、交和差运算;定义2.2-1设A和B是集合。(a)A和B的并记为AB,是集合。AB=x|xAxB(b)A和B的交记为AB,是集合。AB=x|xAxB(c)A和B的差,或B关于A的相对补,记为A-B,是集合。A-B=x|xAxB,例1设A=a,b,c,d)和B=b,c,e,那么AB=a,b,c,d,eAB=b,c;A-B=a,d;B-A=e,定义2.2-2如果A和B是集合,AB=,那么称A和B是不相交的。如果C是一个集合的族,使C的任意两个不同元素都不相交,那么C是(两两)不相交集合的族。;例2如果C=0,1,2,=i|iN,那么C是不相交集合的族。定理2.2-1集合的并和交运算是可交换和可结合的。也就是对任意A、B和C。;(a)AB=BA;(b)AB=BA;(c)(AB)C=A(BC);(d)(AB)C=A(BC);我们仅证明(a)和(c),(b)和(d)是类似的。,证(a)设x是论述域U的任意元素,那么,因为x是任意的,得,即AB=BA,(c)设x是任意元素,那么xA(BC)xAx(BC)的定义xA(xBxC)的定义(xAxB)xC的结合律x(AB)xC的定义x(AB)C的定义因为x是任意的,得出x(xA(BC)x(AB)C)因此,A(BC)=(AB)C。,定理2.2-2对任意集合A、B和C有:;(a)A(BC)=(AB)(AC);(b)A(BC)=(AB)(AC)=即集合运算和,在上可分配,在上可分配。;证设x是任意元素,那么xA(BC)xAx(BC)的定义xA(xBxC)的定义(xAxB)(xAxC)在上可分配(xAB)(xAC)的定义x(AB)(AC)的定义因此,A(BC)=(AB)(AC)。,定理2.2-3设A、B、C和D是论述域U的任意子集合,那么下列断言是真:;(a)AA=A;(b)AA=A;(c)A=A;(d)A=;(e)A-=A;(f)A-BA;(g)如果AB和CD,那么,(AC)(BD);(h)如果AB和CD,那么,(AC)(BD);(i)AAB;(j)ABA;(k)如果AB,那么,AB=B;(l)如果AB,那么,AB=A,(g)设x是AC的任意元素,那么xAxC。现在分情况证明。情况1:设xA,因为AB,得xB,所以xBxD,因此xBD。情况2:设xC,用与情况1相似的论证得xBD。因此,xAC,那么xBD。所以ACBD。(k)因AB,又BB根据(g)得ABBB,但BB=B,因此ABB。另一方面由(i)得BAB。所以,AB=B。,定理2.2-5(补的唯一性)设A和B是论述域U的子集,那么B=A当且仅当AB=U和AB=。证必要性从定理2.2-4直接得到。现证明充分性。;设AB=和AB=U,那么,B=UB=(A)B=(AB)(B)=(B)=(A)(B)=(AB)=U=,定理2.2-8设A、B是U的任意子集,若,证,根据逆反律得,x是任意的,所以,图2.2-1,另外,根据并、交、补等定义,亦知命题演算中的、T、F等分别与集合论中的、-、U、等有对应关系,因此,有关它们的公式也有相似性。例如命题演算中有公式,集合论中有对应公式,2.2.3并和交运算的扩展扩展后并和交运算都定义在集合的搜集上。;定义2.2-4设C是某论述域子集的搜集。;(a)C的成员的并、记为,是由下式指定的集合,(b)如果C,C的成员的交,记为,是下式指定的集合,定义说明如果,那么x至少是一个子集SC的元素;如果,那么x是每一个子集SC的元素。注意对的定义来说,C必须非空,否则,由于,蕴含式SCxS对每一S将是无义地真。这样,谓词s(SCxS)对每一x是真。因此,所定义的集合就是全集合U。要求,这个可能消除。,设D是一集合,如果给定D的任一元素d,就能确定一个集合Ad,那么d叫做Ad的索引,搜集C=Ad|dD叫做集合的加索引搜集;而D叫做搜集的索引集合。当D是一个搜集C的索引集合,符号表示,而表示。,如果加索引搜集C的索引集合是前n+1个自然数0,1,2,n,或全体自然数0,1,2,那么C的成员的并和交能用类似于和式概念的符号表示。例如,一般地,索引集合不必须是N的子集,可以是任意集合,例如R+。,例4设论述域是实数R。;(a)如果C=1,2,4,3,4,5,4,6,那么=1,2,3,4,5,6和。(b)我们用0,a)表示集合x|0xa。如果Sa=0,a),aR+,C=Sa|aR+,那么如果Sa=0,a),aI+,C=Sa|aI+,那么(c)设C=Ai|ip,q,r,其中Ap=2,3,Aq=3,4,Ar=4,6;a,b表示x|axb,那么,2.2.4环和与环积定义2.2-5A、B两集合的环和AB,是集合,参看图2.2-2。环和又叫对称差(SymmetricDifference)。,定理2.2-9,证因为,但,所以,推论2.2-9,定理2.2-10,定理2.2-11,以上两个定理留给读者自证。但注意并在环和上不可分配,环和在交上不可分配。即,通常,定义2.2-6A、B两集合的环积AB,是集合,图2.2-2,定理2.2-12,定理2.2-13,证,所以,根据定理2.2-10得,两边取补,即得,定理2.2-14,请读者自证,2.2.5幂集合,定义2.2-7设A是一集合,A的幂集(A),是A的所有子集的集合,即,一个给定集合的幂集是唯一的,因此求一个集合的幂集是以集合为运算对象的一元运算。,例5,(a)如果A=,那么(A)=。(b)如果A=a,b,那么(A)=,a,b,a,b。(c)如果A是任意自然数集合,那么A(A),(A)。,下面说明子集的二进制数表示和幂集合的个数。,在集合的定义里,没有规定集合中元素的次序,但为了便于在计算机上表示集合,亦可给集合元素编定次序。例如,A=a,b,c,不妨认为a,b,c分别是第一、二、三个元素。于是可用三位二进制数做足标表示A的任意子集:二进制数的第i位表示第i个元素是否属于该子集,1表示属于,0表示否。例如可用S101表示a,c,S011表示b,c,三位二进制数可与其子集一一对应。因而(A)=Si|iJ,这里J=000,001,111。为了书写方便,可用十进制数代替二进制数,于是J=0,1,2,7。一般地,n个元素的集合A,可用n位二进制数与其子集一一对应。因而,由此可知,n个元素的集合A,其幂集的元素个数是2n。;如果A是无限集,则(A)的元素个数也是无限的。,*2.2.6有限集的计数定理2.2-15设A和B都是有限集合,则以下公式成立:,证A和B之间可能有公共元素,公共元素个数是|AB|,在计算|AB|时每个元素只计算一次,但在计算|A|+|B|时,公共元素计算了二次,一次在算|A|时,一次在算|B|时,因此,右边减去|AB|才能相等。证毕。;公式(a)可以推广,三个集合时为,图2.2-3,一般地成立以下公式:,证用归纳法证明(未学过归纳法的同学可在学完下节后,再看此证明)。n=2时,已证明成立,即,设n-1(n3)时公式成立,现证明n时也成立。,根据归纳假设得,例6(a)在一个班级50个学生中,有26人在第一次考试中得到A,21人在第二次考试中得到A,假如有17人两次考试都没有得到A,问有多少学生在两次考试中都得到A?解设第一次考试得A的是集合A1,第二次考试得A的是集合A2。则,但,所以,答:两次考试都得A的14人。,(b)某教研室有30名老师,可供他们选修的第二外语是日语、法语、德语。已知有15人进修日语,8人选修法语,6人选修德语,而且其中3人选修三门外语,我们希望知道至少有多少人一门也没有选修。解设A1、A2、A3分别表示选修日语、法语和德语的人,因此,因为,我们得,即至多有23人在进修第二外语,因此至少有7人没有进修第二外语。,2.3归纳法和自然数,2.3.1集合的归纳定义在2.1节介绍了指定集合的两种最常用方法列举法和描述法。但仍然有许多集合难以用这两种方法表示出来,诸如算术表达式集合,命题演算公式集合,ALGOL程序集合等等,这些集合用归纳定义来指定较为方便。归纳定义习惯上称为递归定义。,(1)基础条款(简称基础)。它指出某些事物属于集合。它的功能是给集合以基本元素,使所定义的集合非空。;(2)归纳条款(简称归纳)。它指出由集合的已有元素构造新元素的方法。归纳条款的形式总是断言:如果事物x,y,z是集合的元素,那么用某种方法组合它们而成的一种新事物也在集合中。它的功能是指出为了构造集合的新元素,能够在事物上进行的运算。(3)极小性条款(简称极小性)。它断言一个事物除非能有限次应用基础和归纳条款构成外,那么这个事物不是集合的成员。,集合S的归纳定义的极小性条款还有其它形式,常见的有:;(i)“集合S是满足基础和归纳条款的最小集合”。;(ii)“如果T是S的子集,使T满足基础和归纳条款,那么T=S”。其意义是:S满足基础和归纳条款,但没有S的真子集满足它们。这些极小性条款虽然形式不同,结果是等价的,全部服务于一个目的,即指明崐所定义的集合是满足基础和归纳条款的最小集合,即通常所谓极小性。,例1如果论述域是整数I,那么能为3整除的正整数集合S的谓词定义如下:,同样集合能归纳地定义如下:;(1)(基础)3S,;(2)(归纳)如果xS和yS,那么x+yS,;(3)(极小性)没有一个整数是S的元素,除非它是有限次应用条款1和2得出的。,设表示一个有限的非空的符号(字符)集合、我们称为字母表。由字母表中有限个字符拼接起来的符号串叫做字母表上的一个字(或叫串)。,设x是上的一个字,如果x=a1a2an,这里nN,对每一1in,ai,那么x中的符号个数n称为x的长度,记为x。长度为0的串表示为,叫做空串。注意空串不是空白符,前者长度为0,后者长度是1。如果x和y都是在上的符号串,x=a1a2an和y=b1b2bm,这里,对所有i和j,ai和bj,那么x连结(或叫并置,毗连)y,记为xy,是串,如果x=,那么xy=y,如果y=,那么xy=x。如果z=xy,那么x是z的词头,y是z的词尾。如果xz,那么x是真词头;如果yz,那么y是真词尾。如果w=xyz,那么y是w的子串,如果yw,那么y是真子串。,定义2.3-1设是一个字母表,上的非空串的集合+定义如下:(1)(基础)如果a,那么a+。(2)(归纳)如果x+且a,那么ax+。(ax表示串,它由符号a和串x连结组成)。;(3)(极小性)集合+仅包含这些元素:它能由有限次应用条款1和2构成。集合+包含长度为1,2,3,的串,所以是无限集合。然而,在+中没有一个串包含无限数目的符号,这是极小性条款限制的结果。,例3如果=a,b,那么+=a,b,aa,ab,ba,bb,aaa,aab,。上的所有有限符号串的集合记为*。集合*包含空串,其归纳定义如下:定义2.3-2设是字母表,那么*定义如下:(1)(基础)*。(2)(归纳)如果x*和a,那么ax*。(3)(极小性)没有一个串可以是集合*的元素,除非它能有限次应用条款1和条款2构成。当然,*也可这样定义:*=+,例4(a)如果=a,b,那么*=,a,b,aa,ab,。(b)如果=0,1,那么*是有限二进制序列的集合,包括空序列。归纳定义常用来刻画数学中的合式公式,或叫成形公式(Well-FormedFormula)。这方面我们已见过一些例子。如第一章的命题公式定义和谓词公式定义等。,例5为简明起见,我们将算术表达式集合限制于仅包含整数,一元运算+和-,和二元运算+、-、*和/。(1)(基础)如果D=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9和xD+,那么x是一算
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