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第六节方向导数与梯度,二、方向导数的定义,三、梯度的概念,一、问题的提出,实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？,问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行,一、问题的提出,二、方向导数的定义,回顾函数在点处关于的偏导数定义：,（如图）,讨论函数在一点沿任意方向的变化率问题就是方向导数问题,当沿着趋于时，,是否存在？,1、方向导数的定义,依定义，函数在点沿着轴正向、轴正向的方向导数分别为.,沿着轴负向、轴负向的方向导数分别是：.,2、方向导数的计算,证明,由于函数可微，则增量可表示为,注：,(1)仅由函数在一点可偏导，未必可推出函数在该点处沿各方向的方向导数存在.,此例同时也说明函数在一点连续也未必能推出函数在该点处沿各方向的方向导数都存在.,(2)函数在一点处沿各方向的方向导数都存在，也未必在该点处连续.,此例同时也说明函数可微并不是函数沿任一方向的方向导数存在的必要条件.,解,解,由方向导数的计算公式知,故,3、方向导函数,若在区域内任何一点方向的方向导数都存在，则是上的一个函数，称为方向导函数.,4、推广可得三元函数方向导数的定义,*5、方向导数的几何意义：,是函数沿方向的变化率,*6、二阶方向导数,如果在沿仍有方向导数,就把它称为在沿的二阶方向导数并记作.,二阶方向导数几何意义：，则说明在的近旁的切线斜率沿方向单调增加，曲线为下凸；，的切线斜率沿方向单调减少，曲线为上凸.,三、梯度的概念1、定义,方向：f(x,y)变化率最大的方向,模:f(x,y)的最大变化率之值,2、方向导数与梯度的关系,2、方向导数与梯度的关系,2)在点处沿与梯度垂直方向的方向导数等于零.,3)在点沿方向的方向导数等于梯度在方向上的投影.,在几何上表示一个曲面,曲面被平面所截得,所得曲线在xoy面上投影如图,等高线,梯度为等高线上的法向量,3、梯度的概念可以推广到三元函数,类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.,解,由梯度计算公式得,故,4、梯度应用实例,*四、物理意义,函数,数量场(数量值函数),场,向量场(向量值函数),可微函数f(P),梯度场gradf(P),(势),如:温度场,电位场等,如:力场,速度场等,(向量场),注意:任意一个向量场不一定是梯度场.,1、方向导数的概念,2、梯度的概念,3、方向导数与梯度的关系,（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）,（注意梯度是一个向量）,五、小结,1、方向导数的概念,（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）,五、小结,二元函数f(x,y)在点P(x,y)沿方向(方向角为)的方向导数为:,三元函数f(x,y,z)在点P(x,y,z)沿方向(方向角为)的方向导数为:,2、梯度的概念,（注意梯度是一个向量）,二元函数f(x,y)在点P(x,y)的梯度为:,三元函数f(x,y,z)在点P(x,y,z)的梯度为:,3.关系,方向导数存在,偏导数存在,可微,梯度在方向上的投影.,思考题,思考题解答,练习题,练习题答案,
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