函数与方程及函数的应用问题.ppt

第3讲函数与方程及函数的应用问题1.函数的零点与方程的根（1）函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数f(x)的零点.（2）函数的零点与方程根的关系函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根，即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标.,（3）零点存在性定理如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)1，,B,（2）（2009福建文，11）若函数f（x）的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是()A.f(x)=4x-1B.f(x)=(x-1)2C.f(x)=ex-1D.解析g(x)=4x+2x-2在R上连续且,设g(x)=4x+2x-2的零点为x0,则又f(x)=4x-1的零点为f(x)=(x-1)2的零点为x=1;f(x)=ex-1的零点为x=0;的零点为故选A.答案A,二、函数与方程的综合应用例2已知函数f（x）=-x2+8x，g（x）=6lnx+m，是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.思维启迪f(x)与g(x)图象的交点的问题可以转化为研究(x)=g(x)-f(x)的零点问题，即研究(x)的图象的变化趋势.解函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点,即函数(x)=g(x)-f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点.,(x)=x2-8x+6lnx+m,当x(0,1)时,(x)0,(x)是增函数;当x(1,3)时,(x)0,(x)是增函数;当x=1,或x=3时,(x)=0.(x)极大值=(1)=m-7,(x)极小值=(3)=m+6ln3-15.当x充分接近0时,(x)0,要使(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点,必须且只须即7mg(2)，所以只要g(1)ag(2)，即可以使方程(1+x)-2ln(1+x)=a在0，2上恰有两个相异实根，即a(2-2ln2,3-2ln3.,三、函数的实际应用例3某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B及CD的中点P处，已知AB=20km,CB=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且与A，B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm.（1）按下列要求写出函数关系式：设BAO=(rad),将y表示成的函数关系式；设OP=x（km），将y表示成x的函数关系式.（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短.,思维启迪本题可以根据图形，利用解三角形的知识求得y关于及x的函数关系式，而后根据解析式特点选择恰当方法求函数的最小值.解(1)由条件知PQ垂直平分AB,若BAO=(rad),则故所以故所求函数关系式为,若OP=x(km),则OQ=(10-x)(km),所以故所求函数关系式为(2)选择函数模型,令y=0,得因为所以当时，y0，y是的增函数，,所以当时，这时点O位于线段AB的中垂线上，且距离AB边处.探究提高解决函数实际应用题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景；然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；二是要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解.,变式训练3某物流公司购买了一块长AM=30米，宽AN=20米的矩形地块AMPN，规划建设占地如图中矩形ABCD的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，B、D分别在边AM、AN上，假设AB长度为x米.（1）要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，AB长度应在什么范围？（2）若规划建设的仓库是高度与AB长度相同的长方体建筑，问AB长度为多少时仓库的库容量最大？（墙体及楼板所占空间忽略不计）,解（1）依题意三角形NDC与三角形NAM相似，所以即矩形ABCD的面积为定义域为0x30,要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，即化简得x2-30 x+2160，解得12x18,所以AB长度应在12，18内.,（2）仓库体积为V=40 x-2x2令V=0，得x=0或x=20.当00,当20x30时V0,所以x=20时V取最大值即AB长度为20米时仓库的库容量最大.,规律方法总结1.函数与方程（1）函数f(x)有零点方程f(x)=0有根函数f(x)的图象与x轴有交点.（2）函数f(x)的零点存在性定理.如果函数f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)f(b)0.2.函数综合题的求解往往应用多种知识和技能.因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件.要认真分析，处理好各种关系;把握问题的,主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决.3.应用函数模型解决实际问题的一般程序与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程和不等式的有关知识加以综合解答.,读题（文字语言）,求解（数学应用）,一、选择题1.(2009青岛模拟)方程mx2+2(m+1)x+m+3=0仅有一个负根，则m的取值范围是()A.（-3，0）B.-3，0）C.-3，0D.-1，0解析当m=0时，符合题意,当m0时，-3m0,验证：当一根为零即x1x2=0时，另一根为负m=-3也符合,-3m0.故选C.答案2.（2009湖北文，8）在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（）A.2000元B.2200元C.2400元D.2800元,C,解析设需甲型货车x辆,乙型货车y辆,由题意知作出其可行域如图，可知目标函数z=400 x+300y在点A处取最小值，z=4004+3002=2200(元).答案B,3.已知函数f（x）=x|x-4|-5，则当方程f（x）=a有三个根时，实数a的取值范围是()A.-5-1解析在平面直角坐标系中画出函数f（x）=x|x-4|-5=的图象，由图象可得当-5a0时有9个交点，故总共有18个交点.方程f(x)=lg|x|有18个解.,B,5.设函数y=x3与的图象的交点为(x0,y0)，则x0所在的区间是（）A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）解析在同一坐标系中，分别画出y=x3与的图象，观察易知图象的交点存在且唯一，又所以两函数交点横坐标x0(1,2).,B,二、填空题6.某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，则总利润L（Q）的最大值是万元.解析总利润L（Q）=K（Q）-10Q-2000故当Q=300时，总利润L（Q）的最大值为2500万元.,2500,7.如图是用二分法求方程2x+3x=7在（1，2）内近似解的程序框图，要求解的精确度为0.01，则框图中（1）处应填，（2)处应填.,f(a)f(m)0，且a1)和函数y=x+a，则函数f(x)=ax-x-a(a0,且a1)有两个零点，就是函数y=ax(a0，且a1)与函数y=x+a有两个交点，由图象可知当01时，因为函数y=ax(a1)的图象过点（0，1），而直线y=x+a所过的点一定在点（0，1）的上方，所以一定有两个交点，所以实数a的取值范围是a1.,a1,三、解答题9.某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件.（1）设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p=f(x)的表达式；（2）当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？,解（1）当0x100时，p=60;当100x600时，p=60-(x-100)0.02=62-0.02x.（2）设利润为y元，则当0x100时，y=60 x-40 x=20 x;当100x600时，y=(62-0.02x)x-40 x=22x-0.02x2.,当02000.所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6050元.,10.如图，已知等腰梯形ABCD的三边AB、BC、CD分别与函数x-2,2的图象切于点P、Q、R，且点P的横坐标为t(0t2).(1)试求直线AB的方程；（2）试求点P的坐标，使得梯形ABCD的面积最小，并求出梯形面积的最小值.解（1）由题意直线AB的方程为,(2)设其面积为S,由（1）知，令y=0得令y=2得当且仅当即时取等号.当时，S最小且此时当P的坐标为时，梯形ABCD的面积有最小值，最小值为,返回,