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第六章数理统计的基本概念,第一节随机样本,第二节抽样分布,上一页,下一页,返回,数理统计是以概率论为理论基础,根据试验和观察所得到的数据,对研究对象的客观规律性作出种种合理的估计和推断的一门学科.,总体,抽样,样本,数据,测试,估计,上一页,下一页,返回,第一节随机样本,1.总体与个体,在数理统计中，将研究对象的全体称为总体。构成总体的每个元素称为个体。,由于总体就是一个随机变量X（或向量X）或一个概率分布，因此研究总体就是要研究X的概率分布或某些特征量。,从总体中按一定规则抽出一部分个体的过程称为抽样。所抽得的个体称为样本。,2.样本,上一页,下一页,返回,定义1.设总体X是具有分布函数F(x)的随机变量，若X1，X2，Xn是与X具有同一分布函数F(x)的相互独立的随机变量，则称X1，X2，Xn为来自总体X的样本容量为n的(简单随机)样本，它们的观察值x1，x2，xn称为样本值。,对于有限总体,采用放回抽样就能得到简单随机样本.当总体中个体的总数N比要得到的样本的容量n大得多时,10时），在实际中可将不放回抽样近,（一般当,似地当作放回抽样来处理.,上一页,下一页,返回,对于简单随机样本X1，X2，Xn，其联合概率分布可以由总体X的分布完全确定。若总体X的分布函数为F(x),则样本X1，X2，Xn的联合分布函数为,又若总体X具有概率密度f(x)，则X1，X2，Xn的联合概率密度为,则X1，X2，Xn的联合分布律为,若总体X的分布律为,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,例1设总体Xb(1,p)，X1，X2，Xn为取自总体X的样本，求样本X1，X2，Xn的联合分布（称为样本分布）。,解:X的分布律为,所以样本X1，X2，Xn的联合分布律为,上一页,下一页,返回,3.频数分布表,在搜集资料时,如果未经组织和整理,通常是没有什么价值的,为了把这些有差异的资料组织成有用的形式,我们应该编制频数表(即频数分布表).,例2某工厂的劳资部门为了研究该厂工人的收入情况,首先收集了工人的工资资料,下表记录了该厂30名工人未经整理的工资数值：,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,以例2为例介绍频数分布表的制作方法.,将30个工人月工资的原始数据记为x1，x2，x30,对于这些观测数据，,第一步确定最大值xmax和最小值xmin,根据上表,有,xmax=640，xmin=420.,第二步分组，即确定每一收入组的界限和组数,在实际工作中,第一组下限一般取一个小于xmin的数,例如,我们取400,最后一组上限取一个大于xmax的数,例如取650,然后从400元到650元分成相等的若干段,比如分成5段,每一段就对应于一个收入组.上表资料的频数分布表如下表所示.,上一页,下一页,返回,为了研究频数分布,我们可用直方图表示.,直方图是垂直条形图,条与条之间无间隔,用横轴上的点表,示组限,纵轴上的单位数表示频数.与一个组对应的频数,用,以组距为底的矩形(长条)的高度表示,上表资料的直方图如,下:,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,不同的问题构造样本的适当函数,利用这些样本的函数进,用上述方法对抽取数据加以整理,编制频数分布表,作,直方图,画出频率分布曲线,这就可以直观地看到数据分布,的情况,在什么范围,较大较小的各有多少,在哪些地方分布,得比较集中,以及分布图形是否对称等等,所以,样本的频率,分布是总体概率分布的近似.,样本是总体的反映,但是样本所含的信息不能直接用,于解决我们所要研究的问题,而需要把样本所含的信息进,行数学上的加工使其浓缩起来,从而解决我们的问题.针对,行统计推断.,上一页,下一页,返回,定义2设X1,X2,Xn为来自总体X的样本,g(X1,X2,Xn)是X1,X2,Xn的函数,若g中不含任何未知参数,则称g(X1,X2,Xn)为统计量.,设x1,x2,xn是相应于样本X1,X2,Xn的样本值,则称g(x1,x2,xn)是g(X1,X2,Xn)的观察值.,4.统计量,样本平均值,样本方差,上一页,下一页,返回,设X1,X2,Xn为来自总体X的样本,x1,x2,xn是相应于样本X1,X2,Xn的样本值,则定义,常见统计量:,样本标准差,样本k阶(原点)矩,样本k阶中心矩,上一页,下一页,返回,它们的观察值分别为,上一页,下一页,返回,例3设总体X的期望、方差分别为X1，X2，Xn为来自总体X的样本，其样本均值和样本方差分别记为。求,上一页,下一页,返回,由于,所以,上一页,下一页,返回,第二节抽样分布,分布的概率分布密度为,1.分布,上一页,下一页,返回,统计量的分布称为抽样分布。数理统计中常用到如下三个抽样分布：2分布、F分布和t分布。,上一页,下一页,返回,分布具有以下性质:,上一页,下一页,返回,这一性质称为,分布的可加性.,对不同的分布的上分位点的值已制成表格，可以查用。,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,例如对于=0.05,n=16,查附表5得,=26.296.,当n45时,近似地有,其中u是标准正态分布的上分位点.例如,)2=67.221.,但该表只详列到n=45为止.,2.t分布,t(n)分布的概率密度函数为,上一页,下一页,返回,t(n)分布的概率密度函数关于t=0单峰对称,上一页,下一页,返回,当n很大时t(n)分布接近于标准正态分布，利用函数的性质可以证明,当n较小时，t(n)分布与N(0,1)分布之间有较大差异。,t(n)分布的上分位点记为，即满足,上一页,下一页,返回,由t分布的上分位点的定义及h（t）图形的对称性知t1-（n）=-t（n）.,上一页,下一页,返回,t分布的上分位点可由附表4查得。当n45时，有,3.F分布,F(n1,n2)分布的概率密度函数为,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,的上分位点记为，即它满足,上一页,下一页,返回,F分布的上分位点有表可查（见附表6）.,若FF(n1,n2),则,F分布的上分位点有如下的性质：,上一页,下一页,返回,事实上:,上一页,下一页,返回,这个性质常用来求F分布表中没有包括的数值.例如由附表6查得F0.05(9,12)=2.80，则可利用上述性质求得,4.正态总体的样本均值与样本方差的分布,设正态总体的均值为，方差为2，X1，X2，Xn是来自正态总体X的一个样本，则总有,）=2/n，,上一页,下一页,返回,对于正态总体N(,2）的样本方差S2，有以下的性质.,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,本节所介绍的三个分布以及三个定理,在下面各章中都起着重要的作用.应注意，它们都是在总体为正态总体这一基本假定下得到的.,例设总体X服从正态分布N（62，100），为使样本均值大于60的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多大？,上一页,下一页,返回,解设需要样本容量为n，则,P（,60）=,查标准正态分布表，得（1.64）0.95.,所以0.2,1.64,n67.24.故样本容量至少应取68.,
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