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1.1.1变化率问题,第一章导数及其应用,一个变量相对于另一个变量的变化而变化的快慢程度叫做变化率,问题1:如图,是一座山的剖面示意图,并在上面建立平面直角坐标系,A是出发点,H是山顶,爬山路线用函数y=f(x)表示.,探究1.如图,哪段路线最陡峭?探究2.你怎样描述其陡峭程度?探究3.如何用数学式刻画这个陡峭程度?,问题2:如图是一天当中气温变化的曲线图。,探究1.从ABC中,哪个时间段温度变化大?探究2.如何用数学式刻画温度变化情况?,问题气球的平均膨胀率,一、变化率问题,吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?,气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是：,如果将半径r表示为体积V的函数,那么,问题、气球变化率问题,当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为,当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为,显然0.620.16,问题高台跳水问题,在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系：h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?,请计算,h(t)=-4.9t2+6.5t+10,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。,高台跳水运动中，,二、跳水问题,平均变化率定义:,2.若设x=x2-x1,f=f(x2)-f(x1)（即y）则平均变化率为,1.上述两个问题中的变化率可用式子来表示,我们称之为函数f(x)从x1到x2的平均变化率,注意：这里“x”是一个整体符号，而不是与x的积。它表示：对于x1的一个“增量”，故：x2x1+x同样f=y=f(x2)-f(x1)，故：y2y1+y,探究活动,气球的平均膨胀率，跳水运动员的平均速度是特殊的情况，我们把这一思路延伸到函数上，归纳一下得出函数的平均变化率,直线AB的斜率,A,B,平均变化率,曲线陡峭程度,数,形,变量变化的快慢,平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”,理解：1、式子中x、y的值可正、可负，但x值不能为0，y的值可以为02、若函数f(x)为常函数时，y=03、变式,探究活动,例1某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率。,知识运用,解：从出生到第3个月，婴儿体重的平均变化率为,从第6个月到第12个月，婴儿体重的平均变化率为,比较它们的实际意义，你能从中得出什么结论？,例2、已知函数分别计算在区间-3，-1，0，5上及的平均变化率。,思考：y=kx+b在区间m，n上的平均变化率有什么特点？,知识运用,一次函数y=kx+b在区间m,n上的平均变化率就等于斜率k.,例3.已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率：,（1）1，3；（2）1，2；（3）1，1.1；（4）1，1.001。,4,3,2.1,2.001,（5）0.9，1；（6）0.99，1；（7）0.999，1.,1.99,1.9,1.999,知识运用,例求函数f(x)=x2+1的平均变化率。,解：y=f(x+x)-f(x)=2xx+(x)2,例4.请分别计算出下面两个图象表示的函数h(t)在区间0，3上的平均变化率。,观察这三个数据你有什么发现？,1、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=()A、3B、3x-(x)2C、3-(x)2D、3-x,D,2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。2x0+x,练习,4.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.,A,练习,练习：,5.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q(1+x,1+y)作曲线的割线，求出当x=0.1时割线的斜率.,小结：,1.函数的平均变化率,2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量f=y=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率,3.平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，是一种粗略的刻画,-导数,微积分的创始人牛顿，莱布尼兹,导数的产生1、由s=f(t)求速度和加速度。2、求已知曲线的切线。导数的作用：可以研究函数的增减性，变化快慢，最值问题，可以描述任何事物的瞬时变化率如效率、GDP、CPI增长率等等。积分的的作用：可以求平面图形的面积，变速直线运动的路程，变力做功等问题，积分在生活生产科研等很多领域都有广泛应用。,微积分的创立是数学史上划时代的里程碑。,
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