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2020/6/603:45,性质1：设群G中元a的阶为n。则,性质2：设群G中元a的阶为无限。则,一：元素阶的性质,性质3：设群G中元a的阶为n。则ak的阶,2020/6/603:45,推论2：设群G中元a的阶为n。则ak的阶为n的充分必要条件是(n,k)=1。,推论3：设群G中元a的阶为n。则a的逆元a-1=an-1，且a-1阶也为n。,推论1：设群G中元a的阶为st，则as的阶为t，其中s,t均为正整数。,2020/6/603:45,在群中，若,，,，则当,且,时，,证明：,于是,若,性质4,2020/6/603:45,补充：在群G中，若a的阶是m，b的阶是n，ab=ba，则1.若=e时，ab的阶是m,n,其中m,n是m和n的最小公倍数;2.|ab|整除m,n,例1：模24的剩余类加群中每个元的逆元及其阶。,2020/6/603:45,性质2,二、循环置换的逆元和阶,性质1设a，b是群的两个元，则(ab)-1=b-1a-1。,性质3k循环置换的阶为k.,证明：设是一个k-循环置换。则,2020/6/603:45,性质4两个不相连的循环置换是可以交换的.,证明：设和是有限集合A上的两个不相连的循环置换。,任取A中元k，考虑k在下面循环置换乘积下的象,第1种情况：k等于某个i，不妨设i1。,第2种情况：k等于某个j，不妨设j1。,第3种情况：k即不等于某个j，也不等于某个i。,2020/6/603:45,性质5(鲁菲尼定理)不相连的循环置换乘积的阶为循环置换阶的最小公倍数.,例：求(1234)(5678910)的阶。(4,6)=12,2020/6/603:45,再看习题给出下列6元置换：,求（1）循环置换分解，（2）逆元，（3）阶,（4）,2020/6/603:45,1：求模24剩余类加群中每一个元的逆元和阶。,解答作业,2：设G是全体n阶可逆方阵集合，设N是一个可逆n阶方阵。设G上带有如下代数运算：任取方阵A，B。令,试用定义法和同态法证明G对于上述运算构成群。,2020/6/603:45,3：在非零复数集合C*中规定下面两个关系。,试证明R1，R2是等价关系，分别给出相应的分类，并且给出一个全体代表团。,4：设,那么，,不可能同构。,2020/6/603:45,5：试分别列举满足下面条件的关系。(1)：满足对称律推移律，不满足反射律；(2)：满足反射律推移律，不满足对称律；(3)：满足反射律对称律，不满足推移律。,6.教材第2章第2节后作业1，2,
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