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随机过程与排队论,数学科学与计算技术学院胡朝明Email：math_hu20002020年6月6日星期六,2020/6/6,胡朝明,372,上一讲内容回顾,齐次马氏链状态的分类互通首达常返与非常返正常返与零常返状态空间分解不可约马氏链状态的周期性,2020/6/6,胡朝明,373,本讲主要内容,连续参数马尔可夫链转移概率函数、转移矩阵连续参数齐次马氏链初始分布、绝对分布、遍历性、平稳分布转移概率函数的性质状态转移速度矩阵生灭过程,2020/6/6,胡朝明,374,3.4连续参数马尔可夫链,类似离散参数马氏链，只是把离散的时间参数改为连续的时间参数，便可得到类似的结果。,设随机过程X(t),t0，状态空间E=0,1,2,。若对于0t1t20，使得对任意i,jE，都有pij(t0)0，则此齐次马氏链X(t),t0为遍历的齐次马氏链。即,存在且与i无关，并且极限分布j,jE是唯一的平稳分布：,对固定的i,j，函数pij(t)是t0的一致连续函数。,满足连续性条件的连续参数齐次马氏链X(t),t0存在下列极限,其中qi表示在时刻t时通过状态i的通过速度(或通过强度)；qij表示时刻t时从状态i转移到状态j的速度(或强度)，qij统称转移速度。,2020/6/6,胡朝明,3710,状态转移速度矩阵,设连续参数齐次马氏链X(t),t0，状态空间E=0,1,2,s，下面s+1阶方阵：,称为齐次马氏链X(t),t0的状态转移速度矩阵，简称Q-矩阵。,由连续性条件和导数的定义，显然有,即P(+0)Q。,2020/6/6,胡朝明,3711,转移概率函数的性质(续2),设齐次马氏链X(t),t0，状态空间E=0,1,2,s，其转移速度,设X(t),t0为连续参数齐次马氏链，当qi0，,2020/6/6,胡朝明,3721,有限状态生灭过程的平稳分布,有限状态E=0,1,2,N的生灭过程X(t),t0是遍历的齐次连续参数马氏链。生灭过程存在极限分布即为平稳分布j,jE。Q0即,2020/6/6,胡朝明,3722,有限状态生灭过程的平稳分布的解,解得生灭过程X(t),t0，E=0,1,2,N的平稳分布j,jE为：,当01N-1，12N时，有,2020/6/6,胡朝明,3723,无限状态生灭过程的平稳分布,无限状态E=0,1,2,的生灭过程X(t),t0若满足,是遍历的齐次连续参数马氏链。生灭过程存在极限分布即为平稳分布j,jE。Q0即,及,2020/6/6,胡朝明,3724,无限状态生灭过程的平稳分布的解,解得生灭过程X(t),t0，E=0,1,2,的平稳分布j,jE为：,特别，当01=2，123时，只要/1，则j,jE存在，且有,2020/6/6,胡朝明,3725,注,由生灭过程X(t),t0的平稳分布可得：jjj-1j-1此式的概率解释为：当群体大小X(t)处于统计平衡时，在一个很小的时间区间t时，群体大小增加1的概率(j-1j-1)等于群体大小减少1的概率(jj)。,当j=0时，生灭过程X(t),t0为纯生过程，即“灭”是不可能的；当j=0时，生灭过程X(t),t0为纯灭过程，即“生”是不可能的,2020/6/6,胡朝明,3726,例1,泊松过程N(t),t0是生率为的纯生过程。,状态空间E0,1,2,状态转移速度图,状态转移速度矩阵,2020/6/6,胡朝明,3727,例1(续),前进方程：P(t)P(t)Q，P(+0)=I即,解得转移概率,也可直接按转移概率的定义来求Pij(t)：(平稳独立增量过程),Pij(t)PN(t+s)=j|N(s)=i,PN(t+s)-N(s)=j-i|N(s)-N(0)=i-0PN(t+s)-N(s)=j-i,PN(t)=j-i,独立增量,增量的平稳性,2020/6/6,胡朝明,3728,例2机器维修问题,一部机器正常工作时间服从参数为的负指数分布，,若出故障，维修时间服从参数为的负指数分布，二者独立。令X(t)表示时刻t出故障的机器数，则X(t),t0是一个状态空间E0,1的生灭过程。,状态转移速度图,状态转移速度矩阵,前进方程：P(t)P(t)Q，P(+0)=I即,2020/6/6,胡朝明,3729,例2(续1),解得,极限分布,2020/6/6,胡朝明,3730,例2(续2),平稳分布(等于极限分布),2020/6/6,胡朝明,3731,例3,设有2个通信通道，每个通道正常工作时间服从参数为,的负指数分布。2个通道出故障是统计独立的，若通道出故障，由2个维修人员独立维修。修理的时间服从参数为的负指数分布。假设2个通道在t=0时正常工作，设X(t)表示时刻t时出故障的通道数，则X(t),t0是状态空间E0,1,2的生灭过程。,状态转移速度图,状态转移速度矩阵,2020/6/6,胡朝明,3732,例3(续),平稳分布Q0，,即,解得,即平稳分布(0,1,2),2020/6/6,胡朝明,3733,例4电话问题,考虑有3条线路的电话交换台。呼唤次数是参数为的,泊松过程；通话时间服从参数为的负指数分布，二者相互独立。用户不等待。设X(t)表示时刻t时通话线路数，则X(t)，t0是状态空间E0,1,2,3的生灭过程。,状态转移速度图,状态转移速度矩阵,2020/6/6,胡朝明,3734,例4(续),平稳分布Q0，,即,解得,即平稳分布(0,1,2,3)，其中,2020/6/6,胡朝明,3735,本讲主要内容,连续参数马尔可夫链转移概率函数、转移矩阵连续参数齐次马氏链初始分布、绝对分布、遍历性、平稳分布转移概率函数的性质状态转移速度矩阵生灭过程,2020/6/6,胡朝明,3736,下一讲内容预告,排队论简介排队的概念基本的排队系统排队系统的基本组成经典排队系统的符号表示方法无限源的简单排队系统M/M/1/,2020/6/6,胡朝明,3737,P156-15728.31.33.,习题四,
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