《运动方程的积分》PPT课件.ppt

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第三章:运动方程的积分(体系的不变量),1:运动方程:Euler-Lagraingian方程:2s个,2:体系的几种不变性:,相应地有运动积分(不变量),注意:对特定的s个自由度体系,状态量为2s个,运动积分有2s-1个,而上面几个则是普遍的,联系着时空的对称性。,Now:可以设想,对自由度比较少的体系,不需要考虑运动方程而只需要应用不变量关系,就可求解其运动关系,或者,对多自由度体系,即使运动积分不能完全确定体系的运动解,也可以至少给出一部分内容。自由度:1,2,3。有趣的具体体系:一维运动(周期)、有心立场,Note:不变量关系和约束的区别前者不能用来简化L,后者可以。原因:前者在虚位移小变,不变的只是真实位移下的时间的依赖关系,后者在虚位移下不变。,一维体系:,运动积分:能量守恒条件,VS动力学方程,由能量这个运动积分表达式可得,这里虽然没有明显求解出路径,但是求出了其反函数关系,这是重点。,性质:,动能大于0可能的运动区间动能为0的位置;周期运动;运动的定域相关性,周期运动:振动x1-x2-x2,时间可逆,Now:逆问题,类比于傅立叶变换等已知周期关于能量函数,如何反推势能曲线?寻找投影算符,X1,x2相同势能点而中间皆有动能非唯一函数=分段处理,且只有1个势能最小点,U(x)的不确定性,附加空间反演对称性要求,二体问题:,对称性能量、动量、角动量守恒,应用动量守恒,选取参照系,使得该参照系下总动量为0=总动量相应的质心不动,并平移至原点。,得到新的坐标(广义坐标,物理意义不直观),新坐标下的L,其中定义,折合质量、质心的概念是一个层次上,退耦合,由此,通过动量守恒,等价到单质点问题;进一步,应用其他守恒关系来化间广义坐标,给定初始角动量后,“质点”只在垂直于该角动量的平面内运动!,平面运动,由此平移到该平面,应用极坐标,角动量守恒:,几何意义,书上解释欠妥(or书上P30页的解释不够清晰),能量守恒,2个一阶微分方程,可解,(1),(2),注意性质:(唯象工作、应用工作时候特别注意的地方),(2)反应了整体轨道;(1)反应了长度随时间关系,进一步,r方向运动等效于一维运动,Vs.一维运动特点周期运动等,具体点,r方向周期运动时,角度方向是否一起也周期运动,封闭曲线运动条件,Problem1:,Problem2:,补充:守恒量和运动积分关系(1)运动积分是独立守恒量,2s-1个,广义坐标速度的函数.(2)上面7个是有物理意义的守恒量,部分情况下,并不独立.,题:写出三维自由质点的运动积分2s-1=5个,,本身3动量or速度也是独立常数,(既角动量),故5个运动积分,7个守恒量并不独立!,应用至万有引力情况:,15.,先讨论轨道:积分,积分公式:,性质讨论:,定义,轨道,更具体些:椭圆、双曲线性质,计算椭圆运动周期:,运动径向长度时间关系,定义,积分技巧同上一样,进一步,Problem:库仑斥力情况,运动轨道等性质。,更多其他势下的性质,可作为研究起点。(最重要的2个基本势:库仑势(1/r)、谐振子势r2),
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