静电学ppt课件

第六章 静电学,1,21 电场 电场强度,一、库仑定律,式中 为比例系数， 9.0109Nm2C-2，常 写做 ， 为真空介电常数， 则库仑定律为：,2,二、电场和电场强度,场强的单位是N/C，也可用V/m。,只讨论相对观察者静止的电荷所产生 的电场，即静电场。 电场强度定义为：,3,三、场强叠加原理,1、点电荷的场强,如图，q0在电场中受到的电场力为：,如果场源的电荷Q为正，场强E的 方向沿r向外；如果场源电荷Q为 负，场强E的方向沿r指向Q。,4,场强可用矢量式表示，用 表示 矢径，其方向沿 r 由Q指向q0，用 表示 方向上的单位矢量，则,因此点电荷的场强矢量式为：,5,2、点电荷系（组）的场强 场强叠加原理,由n个点电荷 、 构成的 点电荷系（组）。用 分别表示 、 对 的作用 力， 表示 的矢量和，则：,6,两边同时除以 ，得：,显然 为总场强，用 表示，右边多项式分别 是各场源点电荷的场强，用 表示， 则上式变为：,（或 ）,7,II、其次，把所有电荷元在该点的场强矢量 叠加起来，求出带电体在该点的场强积 分过程，即应用叠加原理,8,例21,解：取轴线为x轴，单位长度 圆环带电量称为线电荷密 度，用表示，则,在环上取一线元dl，则线元dl所带的电荷的电量为,9,将dE分解成沿轴线的x方向分量dEx和垂直轴线 的y方向分量dEy， dEy互相抵消，因此dEy0。 所以P点的场强应为各电荷元x方向场强分量的 叠加,10,则,当xa时，即在远离圆环处，有,相当于将带电圆环看作点电荷时的场强。,11,利用上题的结果，可以求出均匀带 电圆盘轴线上的场强。将圆盘分成 无数多个同心圆环，每一圆环相当 于一个电荷元，所有圆环电荷元轴 线上的场强积分便是整个圆盘轴线上的场强。,12,利用结果,式中qdq，ar，EdE,13,注：,总之，要把握信计算电荷连续分布的带 电体场强的思想： I 求出电荷元dq的场强 微分过程 （关键）。 II 积分（叠加）求出所有电荷元的总场 强积分过程，即数学运算。,14,四、电力线 电通量,1、电力线密度,15,2、电通量,16,然后对上式积分可得曲面S的电通量,或,17,对于闭合曲面规定：由闭合曲面 内指向曲面外的方向为面积元的法线 方向。因此，电力线由闭合曲面穿出，电通量 为正；电力线曲面外穿入闭合曲面内，则电 通量为负。,18,作业：,如图，电荷q均匀分 布在长为l的细棒上， 求位于棒的垂直平分 线上P点处的场强E0。,19,22 高斯定理及其应用,一、高斯定理 高斯定理表述如下：通过任一闭合 曲面S的电通量，等于该面所包围的所有电荷 电量的代数和 除以 ，而与闭合面外的电荷 无关。,下面由特殊到一般来讨论高斯定理,20,21,2、通过包围点电荷q的任意闭合面 S的电通量均为,22,式中为 与面元dS的法线 的夹 角， 1、 2、 n分别为 、 、 与 的夹角。,总的电通量为：,23,如果高斯面内包围的是电荷连 续分布的带电体，则 为带电体的电量，上 式仍然成立。,24,二、高斯定理的应用,1、均匀带电球面的场强 如图，一半径为R的球面均匀带电，带电量 为q，求球面内外的场强（即场强分布）。,1）、P点在球面外（rR）,25,2）、P点在球面内（rR）,26,2、均匀带电球体的场强,2）、场点P在球内（rR）,27,电荷体密度,28,3、无限大均匀带电平面的场强,如图，一无限大平面均匀带电（设带正 电，电荷面密度（单位面积带电量）为， 求平面外的场强分布。,29,由于侧面 ，900，cos=0 ，则积分（侧 面）为零。而两底面 ， 0， cos=1，则有,30,（高斯面内电量）,对于面电荷密度为和的两个均匀带电的无 限大平行平面，其场强是上述结果的叠加：,板内：,板外：,31,作业： 1、两同心带电球壳。大球壳半径为 R1，带电量为Q，小球壳半径为R2， 带电量为Q。分别求出大球外； 小球内；两球间的场强。（0，0， ）,2、设正电荷均匀分布在一半径为R的很长的圆柱 体内。单位体积的电荷为。（1）试导出圆柱体 内离轴线为r处的电场强度E的表达式（用电荷密 度来表示）；（2）圆柱体外（rR）一点的电场 强度表达式（用单位长度的带电量表示）；（3） 当r=R时比较（1）和（2）的结果。,32,63 电场力做功 电势,在任一路径上选取一小位移元dl，dl上的场强为 E，dl与场强E的夹角为，在dl上q0受到的电场 力为Fq0E，则电场力在dl上对q0做的元功为,一、电场力的功,33,由图可知，dr为dl在矢径 方向的分 量，dr=dlcos,则电场力做的总功为：,34,做功与路径无关的性质说明静电场与 重力场一样也是保守力场，电场力也 是保守力。因此，在静电场中沿任意 闭合回路电场力做功为零，即：,或,二、电势能 电势,1、电势能,对于保守力场，可以引入势能的概念。电 荷在静电场中具有的势能称为电势能。,35,设检验电荷q0在a、b两点的电势能分 别为Wa、Wb，则电场力做功为,通常规定q0在无限远处的电势能为零，W0， 则q0在电场中任意一点a的电势能为,即电荷在电场中某点的电势能等于把电荷由该 点移到无限远处电场力所做的功 对于点电荷q的电场，q0在任一点a的电势 能可算出为：,36,由于a是任意点，故可将下标略去，有,2、电势,由上面讨论的结果可以看出，比值 是与q0无 关的量，这一比值是描述电场中给定点的电场 能量性质的物理量，称为电势（或电位），用 U表示，则电场中a点的电势为,37,电场中任何两点的电势之差称为两 点电势差或电压，用Uab表示,38,上式表明，点电荷系的电场中某点的电势是各 个点电荷单独存在时在该点电势的代数和，这 就是电势叠加原理:,39,3、电荷连续分布的带电体电场的 电势,应用电势叠加原理求解： 首先，将带电体分成无 穷多个电荷元，任一电荷元dq在距 其r远处的电势为：,其次，将所有电荷元在给定点的电势叠加积 分计算整个带电体在该点的电势,40,例2-4求均匀带电球面的电势分布 如图，球面的半径为R，带电量 为q，求任一点P的电势。设P点到球 心的距离为r。,解：由前面的高斯定理可知 其场强分布为,场强积分法算电势,41,同点电荷电势的形式一样，与r成反比,2）P点在球内（rR）,由于P点在球面内，因此在路径r范围内， 场强E的形式不同，所以应将积分分为两段， 一段是由P点到球表面（r=R）,E=0；一段是由,1）p点在球面外（rR） 由于 的方向沿矢经，积分路径可选沿 矢径 ，则,42,例2-5、求均匀带电圆环轴线上任一点的电势。 如图，圆环半径为a，带电量为q，任一点P至圆 环中心的距离为x。,解：在圆环上任取一小电荷元dq，dq到P点的距 离为r，,球表面（r=R）到 ， 则,43,44,此题是用 求电势，称为电势 迭加法 。,（注：也可用场强积分法求电势，圆 环轴线上的场强为：,45,由上面两个例题可以看法： I、当场强分布已知（如带电球面），或者带电体具有一定的对 称性，因而其场强分布用高斯定理容易求出时，可用场强积分 法求电势 II、带电体系的电荷分布已知，且对称性不强（如均匀带电圆环） 时，应用电势叠加法来得方便,46,作业： 均匀带电的半个圆弧，半径为R，带 有正电荷Q。（a）求圆心处的场强； （b）求圆心处的电势。,47,三、等势面 电场强度与电势的关系,1、等势面 等势面电场中电势相同的点 连成的曲面称为等势面。不同的带体 系的电场不同，因此等势面的形状也不同；由 于等势面上的电势处处相等，所以在等势面上 移动电荷，电场力不做功，电势能也不改变。,2、电场强度与电势（梯度）的关系,称为电势梯度,48,把点荷q0由S1面移到S2面，电场力 做功为,而电场力做的功等于电势能的减少,由上式可得,为场强E沿dl向的分量,而,49,例26一均匀带电圆盘，半径为R，面 电荷密度为，圆盘轴线上点P距盘中 心O的距离为x。求P点的电势和场强。,解：如图，选轴线为x 轴，将圆盘分成无数个同心 圆环，任选一半径为r，宽为dr的带电圆环，其带电量为,此圆环在P点的电势为,50,整个圆盘在P点的电势为上式的积分：,因为P点是轴线上的任意点，所以这一结果是沿 轴线上的电势分布，U是x的函数，可应用电势,51,梯度求x向的场强,若Rx，则 ，与无限大均匀带电平面 的场强相同。,52,作业： 在一沿X轴放置，一端在原点（x=0) 的长为L的细棒上每单位长度上分布 着 的电荷，其中k为常数。 （1）若把无穷远处的电势定为零，求y轴上点 P处的电势U；（2）试由（1）的结果确定P处 电场强度的竖直分量Ey。,X,Y,P,o,（,）,53,24 电偶极子,两个相距较近的等量异号的点电荷 组成的带电系统称为电偶极子，简 称电偶。如图，两点电荷的电量为 +q和-q，距离为l，由-q到+q的方向 为l的正向，称为电偶极子的轴线， 用 表示，q与 的积称为电偶极 矩，简称电矩，用来表示电偶极子 的特性，用 表示， 。,下面讨论电偶极子电场的电 势分布，设P为电场中任意一点，P点到电偶极子中心O的距离为r，P点到+q和-q的距离分别为,54,r1、r2，则两点电荷在P点的电势分别为,则P点的总电势为,若rl，则有r1= r2= r，而r2-r1=lcos， 为r与 的夹角,55,25静电场中的电介质,一、电介质及其极化,1、有极分子与无极分子 分子、原子中的正、负电荷都不是集中于 一点，但是在比原子或分子线度大得多的范围 （宏观）观察，它们中的全部正电荷或全部负 电荷所起的作用可用一个等效正电荷或一个等 效负电荷来代替。 电介质可以分成两类：在一类电介质中， 当外电场不存在或说不受外电场作用时，电介 质分子的正、负电荷中心不重合，虽然分子中,56,正、负电荷的代数和仍然为零，但等 量的正、负电荷中心互相错开，则形 成一定的电偶极矩，称为分子电矩也 用 p=ql 表示，式中q为等效电荷的电 量，l为正、负电荷中心的距离，这类分子叫有 极分子；另一类电介质在外电场不存在或不受 外电场作用时，电介质分子的正、负电荷中心 是重合的，这类分子叫无极分子。,2、电介质的极化,1）有极分子的取向极化 当有极分子组成的电介质受到外电场作用 后，每个分子电矩都受到力偶矩的作用，使分 子电矩尽量转向外电场的方向。电介质内部虽,57,58,3、电极化强度 1）电极化强度 为了描述电介质极化的程度，引 入电极化强度，用 表示。在电介质 内某点附近取一小体积元V，在外场 的作用下，该体积之内所有分子电矩的矢量和 为 ，则该点的电极化强度为,其定义为单位体积内所有分子电矩的矢量和。 单位为Cm-2。,59,2）电极化强度 与束缚电荷面密度 间的关系,在被极化的均匀电介质中取一小圆柱 体，长为l，底面积为S，其轴线与 电极化强度 平行，底面用 表示， 与 的夹 角为，圆柱体的体积为V S lcos ,两底 面束缚电荷面密度为 ，从宏观上看，它本身 就相当于一个电偶极子，由 可知其电矩为,从微观上秆，它在数值上应等于小圆柱内所有 分子电矩的矢量和，即,60,则电极化强度的大小为,二、电介质中的场强,在真空中电荷面密度分别为与的带电平行 板间的电场的场强为 。现将一均匀 电介质插入平行板内，则在电介质两 侧表面上分别产生面密度为和 的束缚电荷，它们在电介质内部建立 了一个与原来电场 方向相反的附加 电场 ，则电介质内的场强 为,61,62,则电介质中的场强 为原场强 的 倍。,点电荷q在电介质中的场强为,式中=0r，称为电介质的绝对介电常数。对 于真空， =0， 与0的单位相同。,对于无限大的均匀带电平面，电荷面密度为。 若在两板间放入相对介电常数为r的电介质， 则电介质中的场强为,63,在电介质中库仑定律应表示为,64,例27 半径为R的导体球带电量Q， 球外同心放置相对介电常数为r的电 介质球壳，其内外半径分别为R1、 R2。求空间各点的电场强度及电介质球壳 表面的极化电荷。,解：1）求E的分布,方向沿径向向外,65, R1 r R2 区域，无电介质时，有,当此区域有电介质时，其场强为,方向沿径向向外,2）求， 分布在电介质球壳的表面上。,极化强度 只存在于电介质中，则,的大小为,66,在内表面，r = R1，外法线 沿径向 指向球心O,在外表面，r = R2， 沿径向向外,67,68,26 电容 电场的能量,一、电容 设有一孤立导体，带电量为q， 电势为U。实验表明，当导体的电 量增加时，电势也相应增加，所带电量与相应 的电势的比值为一常数：,C与导体的电量q和电势U无关，只与导体的形 状和大小有关，称为孤立导体的电容。C的物 理意义是使导体每升高单位电势所需的电量。 电容的单位是法拉，用F表示。,69,常用微法F或皮法pF： 1 F=10-6F 1 pF=10-6 F=10-12F 当一个半径为R的导体球的带电量 为q时，其电势为：,其电容为：,与半径成正比,一个电容大，体积小而且不受周围物体影响的 导体组，称为电容器。常用的电容器是由两个 十分靠近的金属薄片中间夹有电介质组成，若,70,电容器两极板间的电势差为 UU1U2，带电量为q（两极板 带等量异号电荷）则电容器的电容 为：,两极板平行的电容器称为平行板电容器，其板间 为匀强场，场强为E，极板间距离为d，极板面积 为S，则,两板间电势差为,71,则电容器的电容为,一般采用在两板间填充绝缘好的电介 质，则用 代替式中的 ，这时的电容为：,二、带电系统的能量,孤立导体带电后，在其周围会产生电场。现从 无穷远处移一电荷元到导体上，则外力必须反 抗电场力做功，这部分功全部变为导体的静电 能。设某时该导体已带有电荷q，其电势为U，,72,，C为导体的电容。现将一电荷 元dq由无限远移到导体上，则外力做 功为dA,dA全部转换为导体的静电能dW，则,当导体的带电量由零增到Q时，导体具有的静 电能为,73,三、静电场的能量,设平行板电容器两极板电势差为 （U1U2），带电量为Q，则其具有 的静电能为,真空中，电容器的电容 ，电势差 U1U2Ed，代入上式，则有,式中Sd=V是电容器两极板间的体积,74,上式两边用体积V除，可以得到单位 体积的电场能（静电能），称为电场 的能量密度，用表示,当有电介质存在时，用 代替上式中的 ， 则,若一带电系统的电场是不均匀的，则其静电能 应是对能量密度的体积分,E0表示真空中的场强。,75,例27一带电金属球置于无限大电 介质中，求其电场的能量。已知半 径R=10cm，电量 ， 。,解：由高斯定理可知 在球外距球心r处的场强为,电场的能量密度为,以O点为心取半径为r厚度为dr的同心球壳，其体 积为 ，则该球壳的电场能为,76,带电金属球的整个电场的能量为,77,