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相对论一章习题解答习题161在狭义相对论中，下列说法哪些是正确的?(1)一切运动物体相对于观察者的速度都不能大于真空中的光速。(2)质量、长度、时间的测量结果都是随物体与观察者的相对运动状态而改 变的。(3)在一惯性系中发生于同一时刻、不同地点的两个事件在其它一切惯性系中也是同时发生的。(4)惯性系中的观察者观察一个与他作匀速相对运动的时钟时，会看到这钟比与他相对静止的相同的时钟走得慢些。(A)(1)，(3)，(4)。(B)(1)，(2)，(4)。(C)(1)，(2)，(3)。(D)(2)，(3)，(4)。 解：在以上四种所法中，只有(3)违背了同时的相对性，是不正确的，其余三种说法都是正确的，所以应当选择答案(B)。习题162一宇宙飞船相对地球以0.8c的速度飞行。一光脉冲从船尾到船头，飞船上的观察者测得飞船长度为90m，地球上的观察者测得光脉冲从船尾发出和到达船头两事件的空间间隔为： (A)90m。(B)54m。(C)270m。(D)15m。解：设飞船为K系，地球为K系，则有在K系中：m90 12 =xxx，s901212 ccxxttt =由两事件时间间隔、空间间隔洛仑兹变换可得m270)8.0(1 )90(8.0901 222 =+=+= ccctxx习题163一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行。如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则他所乘坐的火箭相对于地球的速度应为：(A)u=c/2。(B)u=3c/5。(C)u=4c/5。(D)u=9c/10。 解：地球(K系)测得的此路程为l0=5光年，宇航员测得的此路程为l3光年，则有2201cull = 可以解得ccllcu 54)53(11 2202 =所以，应当选择答案(C)。习题164K系与K系是坐标轴相互平行的两个惯性系，K系相对K系沿OX 轴正向运动，一根刚性尺静止在K系中，与XO轴成30角。今在系中观测的该尺与OX轴成45角，则系相对于K系的速度是：(A)c32。(B)c31。(C)c32。(D)c31。 解：在K系中：尺长为固有长度l0，有如下关系xyll=0030tg在K系中：根据运动长度收缩公式有 1130tg145tg 222200 = cucul lx y 由此式解得cccu = 32)31(130tg1 22所以，应当选择答案(C)。习题165在某地发生两事件，静止于该地的甲测得时间间隔为4s，若相对甲作匀速直线运动的乙测得时间间隔为5s，则乙相对于甲的速度是： (A)4c/5。(B)3c/5。(C)c/5。(D)2c/5。解：设乙相对于甲的速度为u。依题意，甲测得时间间隔为固有时间s40=，乙测得时间间隔为地方时s5=。根据时间膨胀公式有 2201cu=由此式可以解得cccu 53)54(11 222 0 = 所以，应当选择答案(B)。 习题166根据相对论力学，动能为(1/4)MeV的电子，其运动速度约等于：(A)0.1c。(B)0.5c。(C)0.75c。(D)0.85c。(c表示真空中的光速，电子静能m 0c2=0.5MeV)解：由相对论能量公式可知 020 EcmE =由题意知MeV50.00=E MeV 75.00 =+=kEEEMeV 75.0 0 =+=kEEE则可得23=，又知 2211c=可以解得电子的运动速度为c75.0=v所以，应当选择答案(C)。 习题167在参照系S中，有两个静止质量都是m0的粒子A和B，分别以速度v沿同一直线相向运动，相碰后合在一起成为一个粒子，则其静止质量M0的值为：(A)2m 0 (B) 20 )(12 cmv (C) 20 )(12 cmv (D) 20)(12cmv解：两粒子相碰撞动量守恒 202020 )(1)(1)()(1 cVMcmcm =+ vvvv式中V是合成粒子的速度。由可以得到0=V即碰撞后的合成粒子静止。两粒子相碰撞能量也是守恒的 20220)(12 cMccm=v由可得合成粒子的静止质量为 200 )(12cmMv=所以，应当选择答案(D)。 习题168已知电子的静能为0.511MeV，若电子的动能为0.25MeV，则它所增加的质量m与静止质量m0的比值近似为：(A)0.1。(B)0.2。(C)0.5。(D)0.9。解：由题意知MeV511.0 0=E 61MeV7.00 =+=kEEE由相对论能量公式 2mcE=200 cE=显然， 230m故，5.0 0m所以，应当选择答案(C)。习题169牛郎星距地球约16光年，宇宙飞船若以的速度匀速飞行，将用4年的时间(宇宙飞船上的钟指示的时间)抵达牛郎星。 解一：注意，光年是长度单位，一光年是光一年走的距离（1 Nc）；设飞船相对于地球以的速度匀速飞行，显然在地球上的观察者看来该过程所需时间为16 Nt c= 地，而飞船上的观察者看来所需时间为4Nt=飞，那么，哪个是固有时间呢？如图所示，我们可以看做这样两个事件，飞船从地 球上起飞是事件1，飞船到达牛郎星是事件2；这两个事件在飞船所在的参考系K系下是在同一地点发生事件2飞船KK K 事件1飞船牛郎星地球16cN 图 的，所以飞船上的时间差为固有时间（0t=飞）。则221tt c=飞地即, 2216N4N1c c=解得8160.972.9110m /s17cc=.解二、 此题也可用长度收缩计算，地球到牛郎星的距离是静止在地球所在参考系K系下的长度，是固有长度，而在飞船上看，这个长度收缩了，飞船上看该长度为2216N1-l c c=则飞船上观察所用时间为 2216N1t c cl = =飞即,2216N14Nc c= 解得8160.972.9110m /s17cc=.习题1610一列高速火车以速度u驶过车站时，固定在站台上的两只机械手在车厢上同时画出两个痕迹。静止在站台上的观察者同时测出两痕迹之间的距离为l，则在车厢上的观察者测出两痕迹间的距离为。 解：被机械手画出的痕迹固定在车厢上，车厢上的观察者测得的两痕迹间的距离为固有长度l0，站台上的观察者(同时)测出的两痕迹之间的距离为运动长度l，根据长度收缩公式有 2201cull =所以 220 1cull = 习题161匀质细棒的静止时的质量为m0，长度为l0，当它沿棒长方向作高速的匀速直线运动时，测得它的长为l，那么，该棒的运动速度v=，该棒所具有的动能Ek=。解：由长度收缩公式 2201cll v=可得2 021llc=v根据相对论动能公式可得= = 1111 02 022200 llcmccmEEk v习题1612在惯性系S中，有两件事发生于同一地点，且第二件事比第一件事晚发生t=2秒钟；而在另一惯性系S中观测，第二件事比第一件事晚发生t3秒钟，那么在S系中发生两件事的地点之间的距离是多少? 解：设两个惯性系之间的相对运动速度为u，依题意我们知道t为固有时间则 221cutt =所以2311 22 = ttcu即ccu 35)32(12=由题设，在S系中0 12 =xxx，所以由洛仑兹变换可得221cutuxx= 23235122 = ccutu m /s1071.65 8=c因此，在S系中发生两件事的地点之间的距离为6.7110 8m /s。 习题1613在K惯性系中发生两事件，它们的位置和时间坐标分别是(x1，t1)及(x2，t2)；若在相对于K系沿正X方向匀速运动的K系中观测，这两事件恰好发生在同一地点上，试证明这两事件在K系中看来它们的时间间隔是： 22 )(cxtt =，其中12xxx=，12ttt =。解：依题意，在K系中有01 22= cutuxx由此式可以解得txu= 在K系中这两事件的时间间隔为2221cuxcutt =把代入并整理即得 22 )(cxtt =证毕。习题1614观察者A测得与他相对静止的XOY平面上一个圆的面积是12cm 2，另一个观察者B相对于以0.8c(为真空中光速)平行于XOY平面作匀速直线运动，B测得这一图形为一椭圆，其面积是多少? 解：设相对观察者A静止的圆的半径为R，则有2RS=对观察者B，该图形为一椭圆，且运动方向的半径收缩为221cuRR=其面积为 RcuRabS = )1( 22 22222 11 cuScuR = 22 cm2.7)8.0(112=习题1615半人马座星是距太阳系最近的恒星，它距离地球S=4.31016m。设有一宇宙飞船自地球飞到半人马座星，若宇宙飞船相对地球的速度 v=0.999c，按地球上的时钟计算要用多少年时间?如果以飞船上的时钟计算，所需要时间又为多少年?解：按地球上的时钟计算，飞船自地球飞到半人马座星所需要的时间为年5.4s1043.1 103999.0103.4 8816 =vSt飞船上测得的时间t是固有时间，因此年20.0)999.0(15.41 222 = ctt v习题1616一艘宇宙飞船的船身固有长度为L 0=90m，相对于地面以v=0.8c的匀速度在一观测站的上空飞过。(1)观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔是多少?(2)宇航员测得船身通过观测站的时间间隔是多少?解：(1)观测站测得飞船船身的长度为 m54)8.0(1901 2220 = cLL v所以，观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔为s1025.21038.05478 =vLt(3)宇航员测得船身通过观测站的时间间隔为 s75.31038.09080 =vLt习题1617火箭相对于地面以v=0.6c的匀速度向上飞离地球。在火箭发射t=10秒钟后(火箭上的钟)，该火箭向地面发射一导弹，其速度相对于地面为v 10.3c，问火箭发射后多长时间，导弹到达地球(地球上的钟)?计算中假设地球不动。解：按地球(K系)上的钟，导弹的发射时间是在火箭发射后s5.12 )6.0(110)(1 221 = ctt v进行的，在这段时间内，火箭已距离地球1tS=v已知导弹相对于地球的速度v 1=0.3c，导弹从发射到飞抵地面的时间为 s253.05.126.01112 = cctSt vvv所以，从火箭发射直到它发射的导弹到达地面所需要的时间是s5.37255.12 21 =+=+=ttt习题1618一体积为V0、质量为m0的立方体沿其棱的方向相对于观察者A以速度v运动。求：观察者A测得其密度是多少? 解：观察者A测得该立方体的体积为2201cVVv=与此同时，他测得该立方体的质量为 2201cmmv=因此，观察者A测得该立方体的密度为)1( 220 0cVmVmv=习题1619静止的子的平均寿命约为s10260 =，今在8km的高空，由于介子的衰变产生一个速度为v=0.998c的子，试论证此子有无可能到达地面。 解：速度为v=0.998c的子的平均寿命为s1016.3)998.0(11021 526220 =cv从该子的产生到其湮灭它能够飞行的距离为 km8km472.91016.3103998.0 58 = vL所以，该子能够到达地面。习题1620已知子的静止能量为105.7MeV，平均寿命为2.210 8s。试求动能为150MeV的子的速度v是多少?平均寿命是多少?解：由相对论能量公式可知 020 EcmE = 由题意知MeV7.1050=E MeV 75.00 =+=kEEEMeV 7.2550 =+=kEEE可得 419.27.1057.2550 =E即419.21122=c由此式也可解得子的速度为 cc 91.0)419.21(1 2=v此子的平均寿命为s1032.5102.419.21 88220 =cv