大学物理20相对论习题解答.pdf

狭义 相对 论 习 题 解 答 20.1 填空 (1) 长度收缩公式 2 2 / 1 c v L L = 成立的条件是 。 解： L 必须是固有长度（本征长度） 。 (2) 时钟变慢公式 2 2 / 1 c v t t = 成立的条件是 。 解： t 必须是固有（本征）时间。 (3)实验测得某粒子静止时的平均寿命是 ， 它以很低的速度 v 运动时的平均飞行距离为 v 。但 若 v 接 近光速， 实验测得， 绝大多数粒 子的飞行距离远大于 v ， 这个实验 结果说明 。 解：说明了高速运动中的时间膨胀效应。 (4) 对某观察者来说，发生在同一地点、同一时刻的两个事件，对其他一切观察者来说，它们是 发生的(回答“同时”或“不同时”)。有两事件，在 S 惯性 系发生于同一时刻、不同的地点，它们在其 它惯性系 S 中 发生(回 答“同时” ， “不一定同时”或 “不同时”)。 解：由同时性的相对性应该回答“不一定同时” 。 (5) 从 S 系的坐标原点 O 沿 X 正向发射一光波， 已知 S 系相 对于 S 系以 0.8c 沿 X 负方向运 动， 则 S 系 中测得此光波的速度为 。 解：光速不变，仍然是 c 。 (6) 在速度 v= 情 况下粒子的动量等于非相对论动量的两倍。 解：当粒子以速度 v 运动时，相对论动量为： v m mv 0 = ， 若等于非相对论动量的两倍，则有： v m v m 0 0 2 = ，即 2 = ，所以 c v 866 . 0 = 。 (7) 在速度 v= 情 况下粒子的动能等于它的静能。 解：在动能等于静能的情况下，有 2 0 2 0 2 2 c m c m E mc k = + = 所以， 2 = ，故有 ， c v 866 . 0 = 。 20.2 选择正确答案 (1) 迈克尔逊莫雷在 1887 年做的 实验是最著名的，这个实验： (A) 证明了以太不存在；(B)观察不到地球相对于以太运动； (C)表明了以太过于稀薄，以致观察不出来；(D)证明了狭义相对论是正确的。 （2 ） 根据相对论力学， 动能 0.25MeV 的电子(电子静能 为 0.51MeV) ，其运动速度约等 于 (A) 0.1c ；(B) 0.5c ；(C) 0.75c ；(D) 0.85c 。 （3 ） 一电子的运动速度 c v 99 . 0 = ，它的动能是 (A) 3.5MeV ；(B) 4.0MeV ；(C) 3.1MeV ；(D) 2.5Me V 。 解：略。 20.3 判断下列叙述是否 正确。正确的，在后面的括号画“” ，错误的画“”。 (1) 若子弹飞出枪口的事 件为 A ，子弹打中靶为事件为 B，则在任何运动着的参照系中测量 a 、 子弹飞行的距离都小于地面观察者测出的距离， b 、 事件 A 总是早于事件 B 。 (2) 2 mc E = 这个公式说明物体的质量和能量可以相互转化； (3) 某一星作远离地球的相对 运动，其光谱线比它相对地球静止时的光谱线要向紫端移动。 解：略。 20.4 观察者甲和乙分别 静止在两个惯性系 S 和 S 中， 甲测得在同一地点发生的两个事件的时间间隔 为 4s ，而乙测得这两个事件的时间间隔中为 5s 。求： (1) S 相对于 S 的运动速度 ； (2) 乙测得这两个事件发生地之间的距离。 解 ：（ 1 ） 同一地点发生的两个事件的时间间隔是本征时间， 等于 4s ， 而膨胀后时间是 5s 。 由时间膨胀公式 可得 25 . 1 = ，v=0.6c 。 （2 ）乙测得两事件发生地的距离为： 8 10 9 5 = = v l 20.5 在 S 惯性系中观测到相 距 m 10 9 8 = x 的两地点相隔 s 5 = t 发生两事件，而在相对于 S 系沿 x 方向以匀速运动的 S 系中发现 该两事件发生在同一地点。试求 S 系中该两事件的时间间隔 。 解：在 S 系中看是发生在同一 地点的两事件，其时间间隔是本征时间，所以， / t t = 而 25 . 1 , 6 . 0 = = = c t x v ， 所以： s t 4 = 。 20.6 火箭相对地面以 c v 6 . 0 = 匀速向上飞离地球。 在火箭上记录发射 s 10 = t 后， 该火箭向地面发射 一导弹，其速度相对于地面为 c v 3 . 0 1 = ，问地上记录火箭发射后多长时间导弹到达地球？ 解：火箭上记录的 10s 时间在地面上看，为 s 5 . 12 10 = ，火箭飞行的高度为 s c 5 . 12 6 . 0 ，再以 0.3c 的速度落向地面（忽略重 力） ，需要的时间为 s c s c 25 3 . 0 5 . 12 6 . 0 = ，所以总时间为 37.5s 。 20.7 介子静止时的半衰期为 s 10 77 . 1 8 = T ， 当它们以速度 c v 99 . 0 = 从加速器中射出时， 问经过多 远的距离其强度减少一半？ 解：当 介子运动时，其半衰期 变为 2 8 99 . 0 1 1 10 77 . 1 = T ，在半衰期内飞行距离为 m c 39 99 . 0 99 . 0 1 1 10 77 . 1 2 8 = ，此时强度减少一半。 20.8 介子的平均寿命是 s 10 6 . 2 8 。如果这种粒子具有速度 0.8c ，那么，在实验室测量的平均寿命 为多少？衰变前飞行多远？ 解： s 10 6 . 2 8 可以看成是本征时间， 在实验室中的平均寿命是膨胀后的时间， 所以由时间膨胀公式， s 10 6 . 2 6 10 8 = = t t 飞行距离为： m t v l 4 . 10 0.8c 10 6 . 2 6 10 8 = = = 。 20.9 一米尺相对于你以 c v 6 . 0 = 的速度平行于尺长方向运动， 你测得该米尺为多少？米尺通过你得花 少时间？ 解：由长度收缩公式可得运动米尺长度为： m L L 8 . 0 25 . 1 / 1 / = = = 0.8m 的运动米尺以 0.6c 的速度 通过所需要的时间为： s 10 444 . 0 6 . 0 8 . 0 8 = c 20.10 一列车以速度 v 通过站 台， 在站台上两个相距 1 米的 机械手同时在列车车厢上刻上划痕。 试求 列车上的观察者测量这两个划痕的距离是多少？ 解：在地面参照系理解，划痕收缩后的距离是 1 米，因而，列车上看到的划痕是没有收缩的，由长度 收缩公式可得： 2 2 / 1 1 1 c v L = = 。 20.11 惯性系中的观察者 A 测 得与他相对静止的 xoy 平面上一个圆的面积是 12cm 2 ，另一 观察者 B 以 c u 8 . 0 = 相对于 A 平行 xoy 一面作匀速 直线运动，问 B 测得该图形的 面积是多少？ 解：由于长度收缩只发生在运动方向，运动面积为： 2 2 . 7 / 12 cm = 。 20.12 设 S 系相对于惯性系 S 以匀速 u 沿 x 轴运动， 一静止 在 S 系中的米尺分别(1) 沿 x 轴； (2) 垂直 x 轴；(3) 与 x 轴成 角放置。 求 S 系中观察者测得的米尺长 度。 解 ：（ 1 ）此时在 S系看来，发生长度收缩，所以长度为： 2 2 / 1 / 1 c u L = = 。 （2 ）此方向与运动方向垂 直，没有长度收缩，故长度仍为 1 。 （3 ）此时只有 在 x 轴方向的投影发生收缩，y 方向投影 不变， 即： sin / 1 cos / 2 2 = = = = y y c u x x 长度为 ： 2 2 2 2 2 / cos 1 c u y x = + 。 20.13 S 系中的一个观察者 在间隔为 100 = L 光分的 A ，B 二点的 联线中点 c 处。 他使灯发出闪光， 并 当闪光灯发出的闪光到达 A ，B 时，让置于二处的时钟从零 开始走动。S 系向右运动，相 对于 S 系的观察 者的速度为 0.6c 。当闪光灯发 出闪光时，观察者在 A 和 B 连线中点之相应点 C 处(在 S 系中)，同时使他的 时钟指到零点。 (1) 照 S 系的观察者看来 ，时钟 A 和 B 之间的距离是多 少？ (2) 当从闪光灯发出的光 脉冲向 A 和 B 传播并到达 A 时，S 系在该处的时钟之读数是 多少？ (3) 当闪光到达 B 时，S 系 在该处的时钟之读数是多少？ （4 ）S 系测得 A 处的时钟比 B 处的时钟超前多少？ 解 ：（ 1 ）由长度收缩公式可得： 80 25 . 1 / 100 / = = = L L 光分。 （2）在 S 系看来， 光传播的距离是 40 光分减去 A的运动距离， 即： t c t c c = 6 . 0 40 所以 25 = t 分。此即是该处时钟的度数。 （3 ）在 S 系看来， 光传 播的距离是 40 光分加上 B的运动距离， 即： t c t c c = + 6 . 0 40 所以 100 = t 分。此即是该处时钟的度数。 （4 ）75 分。 20.14 两只固有长度均为 100m 的宇宙飞船 A 、 B 沿相反方 向擦过， 位于 A 前端的宇航员 测得 B 经过他 的时间为 s 10 50 . 2 6 ，试问： (1) A 、B 间的相对速度是 多少？ (2) 在 A 上测量时，B 上一定点 从 A 的前端飞到后端的时间是 多少？ 解 ：（ 1 ）在 A 上的宇航员看来 B 的长度已经收缩为 / 100 / = L ，设相对速度为 v ，则通过时间 为： s v 6 10 5 . 2 ) /( 100 = ，解之可得：v=3.9610 7 m/s 。 （2）在 A 上的宇航员看来 A 自身的长度仍为 100m，所 以 B 上一点从 A 的头部到尾部的时 间为 100/v 2.52510 -8 s 。 20.15 一发射台和东西两侧距 离均为 0 L 的两个接收站 E 和 W 发射讯号，今有一飞机以匀速 v 沿发射 台与两接收站的联线由西向东 飞行，试问在飞机上测得两接 收站接收到发射台同一讯号的 时间间隔是多 少？哪一个站先收到？ 解： 在地面上看接收站 E 和 W 同时接收到信号是异地同时事件， 在飞机上看是不同时的， 由洛伦兹差 值变换我们有： 2 2 2 0 2 / 1 2 c v c vL x c v t = = 。 由于飞机是由西向东运动，所以是 E 先。 20.16 在 S 惯性系中，相距 m 10 5 6 = x 的两个地方发生两事件，时间间隔 s 10 2 = t ，而在相对于 S 系沿 x 轴正方向匀速运动的 S 系中观测到这两个事件却是 同时发生的。试求在 S 系中发 生这两事件的地 点间的距离 x 是多少？ 解：由洛伦兹差值变换，若 S系中两事件是同时发生的，则可以得到： 0 ) ( 2 = = x c v t t ，即：v=0.6c ， 25 . 1 = 。 又由： m t v x x 4000000 ) ( = = 。 20.17 假定在地面上相距 3000km 的 A 、B 两地各自生下一个 婴儿，地上记录 A 地婴儿比 B 地婴儿早 出生 s 10 0 . 6 3 。现有一宇宙飞船沿从 A 到 B 的方向从上空飞过，已知 飞船速度分别为 c 8 . 0 ，问飞船中的 宇航员测出哪一个婴儿早出生？早生多长时间？ 解：由洛伦兹时间差变换可得结果： s x c v t t 0033 . 0 ) ( 2 = = ，B 先。 20.18 已知光在折射率为 n 的水中传播时， 相对于水的 光速为 n c / ， 设水管中水的流速为 v ， 问光在管 中的传播速度是多少？ 解：水作为一个参照系，管作为另一个参照系。由速度变换可得 c v n nv c c v n c v n c c uv v u c / / ) / ( 1 / / 1 2 2 + + = + + = + + = 。 20.19 一观察者看到两导弹同 向飞行， 速度分别为 c 9 . 0 和 c 7 . 0 ， 求两导弹的相对速度。 若两导弹反向 飞行，相对速度又是多少？ 解：由速度变换（x 方向） ，一 个导弹作为 S系，另一个作为研究对象，则 c c uv v u u 54 . 0 / 1 2 = = ， 若是反向飞行，则： c c uv v u u 981 . 0 / 1 2 = = 。 注意速度的正负关系！ ！ 20.20 一粒子速度 0.9c 沿 K 系的正 X 方向运动。K 相对 于 K系以 0.9c 沿正 X 方向运动 。K相对于 K 系以 0.9c 沿正 X 方向运动。(1) 求出该粒子相对于 K 系之速 度，(2) 求出该粒子相对于 K 系的速度。 解：由速度变换可得： （1 ） c c v u v u u 994 . 0 / 1 2 = + + = （2 ） c c v u v u u 9997 . 0 / 1 2 = + + = 20.21 一束光在 S 系里以速 度 c 沿 y 轴正向运动，而 S 系以速 度 v 相对于 S 系沿 X 轴正向运 动。 (1) 求出光速在 S 系里的 X 分量和 Y 分量。 (2) 证明在 S 系里光速之 值仍为 c 。 (3) 求光在 S 系中传播的方向 。 解：由速度变换： （1 ） v c v u v u u x x x = + + = 2 / 1 c c v u u u x y y = + = ) / 1 ( 2 （2 ）在 S 系中光的速度值： c c v u u u y x = + = + = 2 2 2 2 2 / （3）传 播方 向与 x 轴的 夹 角的正 切值 为： 2 2 / 1 tan c v c v u u y x = = 。 20.22 两艘宇宙飞船相互 靠近 (1) 若每艘飞般相对于地球之 速度为 0.6c ，那么一艘飞船相 对于另一艘之速度各为多少？ (2) 若每艘飞船相对于地球之 速度为 m/s 10 3 4 (约为声速的 100 倍)， 那么，一艘飞船相对于另一艘的 速度为多少？ 解 ：（ 1 ）此时速度大应该考虑相对论效应，由洛伦兹速度变换公式可得： c c v u v u u x x x 882 . 0 / 1 2 = + + = 。 （2 ）此时可以不考虑相对论效应，所以相对速度为 m/s 10 6 4 。 20.23 你必须朝着发出红光( nm 650 = )的光源运动得多快，才能使其显示为绿色( nm 525 = )？ 解：由光的多普勒效应： v c v c + = 0 可知， v c v c + = 0 ，整理并代入数值可得 c c v 21 . 0 / 1 / 1 2 0 2 2 0 2 = + = 。 20.24 一遥远星系背离地球运 动着， 以致于使每种波长的辐射都按 z 的比列发生频移， 即有 z = 。 那么，该星系相对于地球的速度大小是多少？ 解：由上题结论可得 c z z c v 1 1 / 1 / 1 2 2 2 0 2 2 0 2 + = + = 。 20.25 一长方体静止时的 边长分别为 x 、y 和 z ，质量为 0 m 。一观察者沿平行其 x 边的方 向运动，运 动速度为 v ，求观察者测得的长方体的 (1) 体积； (2) 密度。 解 ：（ 1 ）由于长度收缩只发生在运动方向，所以体积只有一个边长变化，故体积变为： V=xyz/ （2 ）立方体运动时质量会增加，所以密度变为： xyz m V m / / 2 0 = = . 20.26 一个静止能量 MeV 511 . 0 2 0 = c m 的电子以速度 0.6c 运动。求： (1) ? / 1 / 1 2 2 = = c v (2) 动量 P= ？ (3) 能量 E= ？ (4) 动能 ? = k E 解： 25 . 1 / 1 1 2 2 = = c v ) / ( 383 . 0 6 . 0 511 . 0 25 . 1 0 c Mev v m mv p = = = = ) ( 639 . 0 511 . 0 25 . 1 2 0 2 Mev c m mc E = = = = ) ( 128 . 0 2 0 2 Mev c m mc E k = = 20.27 把质量为 0 m 的粒子从静止加速到 (1) 0.5c ； (2) 0.9c ； (3) 0.99c 各需多少能量？(把答案表示为静能的倍数) 解：所需要的能量就是粒子的动能，由动能公式： 2 0 2 0 2 ) 1 ( c m c m mc E k = = （1 ）0.5c 时： 2 0 2 0 154 . 0 ) 1 ( c m c m = ； （2 ）0.9c 时： 2 0 2 0 29 . 1 ) 1 ( c m c m = （3 ）0.99c 时： 2 0 2 0 09 . 6 ) 1 ( c m c m = 20.28 证明 2 1 2 2 0 2 2 0 ) / 1 ( c m P c m E + = 。 并证明， 当 2 0 c m Pc ， 0 2 2 0 2 / m P c m E + = 。 证明：由能量动量关系： 2 2 4 2 2 0 c P c m E + = ，立即可得： 2 1 2 2 0 2 2 0 ) / 1 ( c m P c m E + = 。 另外将 2 1 2 2 0 2 ) / 1 ( c m P + 展开成泰勒级数，保持前两项，即： + + = + 2 2 0 2 2 1 2 2 0 2 2 / 1 ) / 1 ( c m P c m P 当 2 0 c m Pc 时，只取这前面两项，代入上面 E 的表达式中即得： 0 2 2 0 2 / m P c m E + = 证毕。 20.29 一静能为 0.511MeV 的电子具有总能量 5MeV 。 (1) 求出该电子的动量； (2) 求出 c v / 。 解：由能量公式： Mev c m mc E 5 2 0 2 = = = ，可得 511 . 0 / 5 = 、 995 . 0 / = c v 所以动量为： ) / ( 97 . 4 ) / ( 2 c Mev c Mev c v mc mv p = = = 。 20.30 一个电子和一个质子都 通过 V 6 10 的电压而加速。求出每个粒子的 因子的值，动量、速率。 解：电子和 质子通 过 V 6 10 的电压加 速而获得的 动能都 是 eV 6 10 ，但电子 和质子的静 能不同 ，由动 能公式 2 0 2 0 2 ) 1 ( c m c m mc E k = = 分别可得：两个粒子的 因子的值为：2.96 和 1.001； 由动量公式： ) / ( 2 c Mev c v mc mv p = = ，可得： 电子动量： ) / ( 42 . 1 c Mev mv p = = ； 质子动量： ) / ( 32 . 4 c Mev mv p = = 由 2 2 / 1 1 c v = 可得他们的速率分别是：0.94c 和 0.0316c 。 20.31 氢原子的结合能(从氢原 子移去电子所需的能量)为 13.6eV 。那么，当电子和质子结合为氢原子 时损失了多少质量？ 解：由质量亏损与结合能的关系： 2 mc E B = ，可得电子和质子结合为氢原子时损失的质量为： kg c E m B 35 2 10 4 . 2 / = = 。 20.32 试证：一粒子的相 对论动量可以写为 c E E E P k k 2 1 2 0 ) 2 ( + = 式中 ) ( 2 0 0 c m E = 和 k E 各为粒子的静能和动能。 证明：由相对论能量动量关系和能量与动能和静能的关系可得： c E E E P c P E E E c P E E E c P c m E k k k k k 2 / 1 0 2 2 2 0 2 2 2 2 0 2 0 2 2 4 2 0 2 ) 2 ( 2 ) ( + = = + + = + + = 证毕。 20.33 试计算轴(U)裂变 n 3 Kr Ba U ) n( 1 0 92 36 141 56 235 92 1 0 + + + 慢中子 时释放的能量。 已知各核的静止质量为： n 1 0 ：1.0087u、 U 235 92 ：235.0439u 、 Ba 141 56 ：140.9139u 、 Kr 92 36 ： 91.8970u 。 解：先计算质量亏损： ) 0087 . 1 3 8970 . 91 9139 . 140 ( ) 0439 . 235 0087 . 1 ( u u u u u m + + + = 由质量 能量 公式 计算 释放 能量为 ： Mev mc E 8 . 200 2 = = 。 注意： Mev uc 3 . 931 1 2 = 。 20.34 计算下列核聚变释 放的能量 He 2 Li H 4 2 7 3 1 1 + 已知它们的静止质量： H 1 1 ：1.0078u ， Li 7 3 ：7.01601u ， He 4 2 ：4.00260u 。 解：先计算质量亏损： ) 0026 . 4 2 ( ) 01601 . 7 0078 . 1 ( u u u m + = 由质量 能量 公式 计算 释放 能量为 ： Mev mc E 87 . 16 2 = = 。 20.35 碳 12 C 的原子核由 6 个质子(H 1 )和 6 个中子(n)以很强的核 力结合在一起，它们的静质量分别为 12.000000 C 12 = ， 1.007825 H 1 = ， 008665 . 1 = n 原子质量单位（u ） ，问需 要多大的能量才能把核 12 C 分离 成 6 个自由质子和 6 个自由中 子？这个能量也称为核 12 C 的结合能。 （1u= kg 10 1.66 27 ）。 解：先计算质量亏损： ) 00000 . 12 ( ) 008665 . 1 6 007825 . 1 6 ( u u u m + = 由质量 能量 公式 计算 释放 能量为 ： Mev mc E 21 . 9 2 = = 。 20.36 在核反应 n He H H 1 0 4 2 3 1 2 1 + + 中，各 粒子的 静质量 分别是 氘核 kg 10 3437 . 3 ) H ( 27 2 1 = D m ，氚核 kg 10 0049 . 5 ) H ( 27 3 1 = T m ，氦核 kg 10 6425 . 6 ) He ( 27 He 4 2 = m ，中子 kg 10 6750 . 1 ) ( 27 = n m n 。问该反 应是放能反应还是吸能反应？放或吸的能量是多少？ 解： 先计算质量亏损： 27 10 ) 6750 . 1 6425 . 6 ( ) 0049 . 5 3437 . 3 ( + + = m 由质量 能量 公式 计算 释放 能量为 ： J mc E 12 2 10 779 . 2 = = 。结合能为正表示放能。