有限元分析中的应力

.你真的了解有限元分析中的“应力”吗原创2016-07-09Feaforall有限元分析理论与方法 虽然在有限元分析中我们常常会用到软件后处理程序得出的应力值（stress），但其实应力有很多值得我们研究的地方。 如果我们把作用于物体的力产生的各处应力汇总起来，那么应力也就像流体分析CFD中的速度或者压力一样形成应力场“流过”物体，我们抓取感兴趣的地方来进行强度的评估。然而，由于应力状态变化复杂，并不好在3D单元中进行可视化，所以我们更需要根据软件已有的功能来探究应力的意义。1. 几乎所有的有限元分析结果中，默认的应力结果是冯米斯应力（Von Mises），冯米斯应力是一个标量结果，并没有力的方向性指示。学过材料力学的应该知道还有一种应力是主应力（principle stress），主应力是矢量，某些情况下也是非常有用的，那么他们之间有什么区别？ 2.物理内部的受力在不同部位都不一样，我们怎样尽可能多的去研究内部力场的不同特性并且通过软件可视化出来呢？下面我们将探究上面的两个问题。什么是应力？首先我们先说说什么是应力。众所周知，应力（stress）是单位面积上作用的力（forces）。我们并不好感知或者测量应力，但力（force）是实实在在的，我们可以很好的感知和测量。物质总是由原子构成的，从原子的维度看，原子之间相吸或者相斥。物体在没有受力的状态下，原子处于自然状态，所有的力互相平衡，如果物体受到外部力的作用，原子就会偏离平衡位置去寻找新的平衡位置来平衡外部力。如下图所示，相同长度L上分别有两排5对的原子和两排6对的原子，如果假设原子之间的吸引力相同，那么单位长度上6对原子的应力要比5对的大，扩展到宏观的3D情形同样适用。力和应力单元 微积分学科的发展可以使我们通过数学运用无限（无限大或者无限小）的原理来处理很多实际问题，宏观物体的受力是微观单元的叠加。在材料力学中，我们把一个无限小的立方体（cube）单元来描述某一点的受力情况。为什么无限小呢？因为由于无限小，小到物体内部力是均匀的，没有应力变化，只有一种应力状态。如下图所示，六个面分别受到法向力平衡。 上图是垂直于截面的法向力（normal force）情形，那么自然还有一种剪切力（shear force）。如下图所示，如果X方向截面受到剪切力Fxy（下标x代表x方向截面，y代表受力朝向y方向），那么为了使单元平衡，就会产生其余三个力Fyx，Fxy，Fyx（如果想当然觉得只有Fxy产生，那么立方体将受到弯矩无法平衡） 如果将法向力和剪切力汇总到一个立方体中（为了便于图形呈现，其它三个面的受力状态这里没表示出来）： 有限元模型中，每个单元受到的力，包括法向力、剪应力的合力都是和外力通过节点传递到该单元的力平衡的，这种微观的平衡是力学平衡的微观表现。有力（force）就有应力（stress），相应的应力单元如下图所示： 下面我们通过一个实例来研究物体在受力状态下的力的多种观察视角。 如下图所示，一个斜十字交叉的简易桁架模型左端两个孔完全约束，右边两个吊耳孔分别受到向下和左/右方向的力（大小任意）。 整体的Von Mises应力状态如下图所示，一般情况下软件都默认得到这个应力云图，我们看看最大的受力区域和值就可以了，但今天我们不关注这个，我们更关注力在不同区域，不同方向的不同形式，von mises是标量，没有方向，得出的数值也没有正负，得不到这些细节信息。首先我们来看看X方向的受力情况： 从上图中我们可以看出来，上面部分主要受到拉伸力（数值是正值），下面主要受压缩力（数值是负值），为了证明我们的观察，我们将上面受到拉伸的区域C和压缩力的区域E局部放大得到如下的结果。放大区域C： 从上图可以看出在图中虚线方向上，力的变化都是正值，还可以看出这种变化是线性的。再看区域E： 从上图可以看出在图中虚线方向上，力的变化都是负值，同样是线性变化的。 此外，从X方向的应力分布云图中还可以看出，区域A似乎是拉伸最大点，区域B似乎是压缩最大点，但这只是X方向的情形并不能告诉我们全部的信息。我们再看看Y方向的应力分布： 从Y方向的应力分布来看，最感兴趣的应该是区域D。绘制区域D的应力变化可以看出次区域既有拉伸应力也有压缩应力。 我们观察了X方向和Y方向的应力分布。如果我们想观察和X方向或者Y方向成一定角度方向上的应力分布呢？这时候我们需要建立局部坐标系。如下图所示：我们甚至可以看看xy平面方向上的剪应力分布： 上面我们介绍了在笛卡尔坐标系下不同方位的应力分布，我们姑且称这种应力为“笛卡尔”应力（Cartesian stresses）吧。下面我们来看看主应力（principle stress）和冯米斯应力（Von Mises stress）主应力（principle stress） 上面我们观察了x方向、y方向和局部坐标系下的应力分布。事实上，我们可以任意旋转坐标系来观察应力的分布，虽然方向不同，但他们其实都是等价的，只是通过不同的角度来描述相同的应力状态而已。 我们以下图中所示的点x为基准，研究这一点在不同坐标角度下x方向、y方向和剪应力xy方向的应力变化。下图我们把几个关键的信息列在一张图中方便观察。 左上角是主应力（主应力、剪应力）计算公式，可以看出，不同角度方向上主应力大小是不同的，所以主应力是矢量。右边的曲线图代表点“x”在不同方向（X、Y、XY）和不同角度下（0360）的主应力变化值，可以看出呈正（余）弦变化，这也是和主应力公式吻合的。一般我们把最大主应力（max principal stress)简称为P1，最小主应力（min principal stress，有符号，不代表真的很小）简称为P3，最大剪应力（max shear stress）简称为P2。此例中由于P2非常小我们不考虑，主要考虑P2和P3。 下图所示为拉伸主应力占主导的区域，没有显示应力云图的区域是因为拉伸主应力太小或者受到压缩应力，我们把它过滤掉不显示出来。这非常有用，从图中我们可以看出，上面的桁架主要受拉伸应力，左上到右下的的区域也受到稍微小一点的拉伸应力 那么哪些部位主要受到压缩应力呢？ 下图所示为压缩应力占主导的区域，没有显示应力云图的区域是因为压缩应力太小或者受到拉伸应力，我们把它过滤掉不显示出来。可以看出拉伸应力和压缩应力两幅图呈现互补（不完全互补）状态。 我们甚至可以绘制应力云图来呈现力场在内部的流动。拉伸应力的矢量云图如下图所示，拉伸应力越大的地方颜色越深。 下图为压缩应力战主导的区域，同样的，压缩应力越大颜色越深。 最大主应力P1和最小主应力P2在疲劳耐久分析（fatigue analysis）中非常重要，对于压缩应力，在屈曲分析中也非常有用。冯米斯应力（Von Mises） 冯米斯应力是我们在平时分析时最常见的力，2D状态下的冯米斯应力公式为： 从公式也可以看出冯米斯应力是没有负值的，是一个标量。我们再次贴出上面的那张图： 从上图可以看出，大约有四个区域的应力云图是我们需要关心的，冯米斯应力的意义就在于此，它可以让我们很快找到最危险的区域。但是由于是标量，我们并不能从中知道哪些地方是受到拉伸应力，而哪些地方受到压缩应力，我们也不知道某些区域到底是主应力占主导，还是剪应力占主导，而这些细节往往在某些分析类型中是必不可少的。 下图是吊耳处的冯米斯应力分布图，从图中可以看出存在应力较大的集中部位，但我们并不知道到底是拉伸还是压缩占主导（一般从垂直应力方向开始疲劳屈服），但在疲劳分析中，这两个因素带来的影响很关键但也是不同的。另外，我们也不知道剪应力是否占主导，剪应力较小时我们可以忽略，但如果剪应力较大，其带来的影响往往比主应力更严重。所以光有冯米斯应力是不够的，我们需要综合考虑这两种力。三种力的总结 综上，在有限元分析的后处理中，我们通常关注这三种力：笛卡尔应力（Cartesian stresses），主应力（principal stresses）和冯米斯应力（von Mises stress），我们之所以综合探究他们，是因为这样可以使我们对分析对象的受力有一个更清晰的图景，可以使我们更好的做出判断。1.冯米斯应力 冯米斯应力主要使我们能看到整体的应力分布和应力集中的地方，是强度评估的主要参考指标。2.笛卡尔应力 笛卡尔应力是把冯米斯应力分解在不同方向上，或者建立局部坐标系探究不同方位上的力分布，这些力在载荷施加在2D平面内的分析非常有效（如本例就是如此，Z轴方向是等价均匀的），但在复杂的3D模型状态下，往往需要局部在厚度方向上简化。笛卡尔应力主要展现了哪种力是占主导的。3.主应力 通过绘制最大/最小主应力等高线云图和向量云图，能使我们更好的了解到物体内部的应力流场分布，清晰的了解到最糟糕的拉伸/压缩/剪应力区域。.