三门问题研究

.Liaoning Normal University（2016届）本科生毕业论文(设计)题 目： 三门问题研究学 院： 数学学院专 业： 数学与应用数学(师范)班级序号： 2班21号学 号： 201221010640学生姓名： 赵楠指导教师： 孙德山 2016年5月.目 录摘要（关键词）1Abstract（Key words）1前言11 概率论发展简史11.1 概率论的起源11.2概率论的创立22 三门问题的提出22.1 问题提出22.2有关三门问题的一个著名论述33 三门问题解决策略33.1 主持人知道门后内情43.2主持人不知道门后内情44 三门问题的推广45 三门问题的应用66 结论7参考文献:8致谢9.三门问题研究摘要:本文首先介绍了概率论的起源和创立以及著名的三门问题（即蒙提霍尔问题）及其研究思路，并针对该问题利用贝叶斯公式计算得到了三门问题的正确解答。然后扩充条件将其拓展推广，得到了推广的三门问题。最后将该问题分析思路应用到生活中的二十点纸牌游戏中，得到了令人满意的结果。关键词: 概率论； 三门问题； 蒙提霍尔；贝叶斯； Abstract： In this paper, we first introduce the origin of probability theory and founded and the famous three doors problem (i.e. the Monty Hall problem) and research ideas, and to solve the problem using Bayesian formula calculated the correct answers to the three doors problem. Then expand the conditions to expand its promotion, the promotion of the three issues. At last, the problem is applied to the twenty point card game in the life, and the result is satisfactory.Key words：Probability theory; three problems; Monty Holzer; Bayesian; 前言三门问题也被叫做蒙提霍尔悖论，是一个起源于博弈论的数学博弈问题。三门问题具有思维欺骗性，因此也常常被心理学学者作为心理学问题来研究。本文主要从概率角度来分析三门问题，计算最优策略的概率。然后改变初始条件对三门问题进行拓展，计算更换初始选择与否的中奖概率。最后将三门问题进行推广，将所采用的分析方法应用到“二十点”游戏当中找到最优策略。本文介绍三门问题的背景来源和具体内容，指出贝叶斯定理及其实际意义，列举实例，具体问题具体分析，对主持人的行为假设给予明确的表述,这是进行正确推理的前提。采用文本范式和经验范式对三门问题进行研究,创建有利于被试正确表征问题的情景。从主持人决策影响猜奖者的角度分析问题，对解决我们现实生活中问题有至关重要的作用。1 概率论发展简史1.1 概率论起源概率论是研究随机现象数学规律的分支，是一门研究事情发生可能性的学问。但是最初概率论的起源与赌博问题有关。16世纪，意大利学者吉罗拉莫卡尔达诺开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题。例如掷一枚骰子，出现各种点数的概率是多少。而概率论的正式创立却是在18世纪。中世纪末期，赌博开始出现在欧洲且风靡一时。 一些职业赌徒为了获得取胜机会，刻意寻求其中规律。最初的问题是求“点数”，例如，掷三个骰，出现9点与出现10点那种可能性更大?据说，伽利略曾经解决过这类问题，用穷举法证明了掷三个骰子出现10点的可能性要比出现9点的可能性大（27:25）。真正引发数学家研究概率理论的是“合理分配赌注问题”。1494年意大利数学家帕乔利首次记载了这一问题：两个赌徒进行赌博，以先赢六次为胜，在甲赌徒赢了5次，乙赌徒赢了2次的情形下，赌博因故中断，那么总赌金应如何分配才合理。帕乔利认为按照5:2的比例分给两个赌徒的建议看似很合理，但若干年后，另一数学家卡尔达诺重新研究这一问题时提出疑问。卡尔达诺指出，不能以已赌过的局数作为依据去分配赌金，而是要考虑剩下未赌的局数。事实上甲赌徒只需要再赢一局即可得到全部赌金，而乙赌徒则需要连赢四局才能获得全部赌金。卡尔达诺分析：以后的赌博只有五种可能结果，即甲赌徒赢了第一局、赢第二局、赢第三局、赢第四局或者完全输掉，他认为总赌金应该按照（1+2+3+4）：1的比例来分配才合理。卡尔达诺考虑问题的思路比帕乔利进了一步，但结论仍是错的。正确的答案是15：1，是一百多年后由帕斯卡和费马得出的。约1539年，卡尔达诺写成掷骰游戏之书(Liber de Ludo Aleae)，是现存最早的概率论专著。其中全面阐述了游戏中的数学道理，例如：掷骰、打牌，得到相当于现在概率论中的大数定律、幂定律等一些基本命题。卡尔达诺一生有许多著作，对许多问题有新颖而独到的见解是第一个将数学理论应用于赌博研究的数学家之一。该论述在他生前没有得到发表，直到他去世近一百年的1663年才被收入卡尔达诺全集在莱顿出版，因而他在概率论史上影响较小。在1570年的文章中卡尔达诺还曾讨论过“人口死亡率”的问题。另外，同时代的数学家塔尔塔利亚也做过赌金分配的计算工作，知道掷骰时能得到一种点数的各种不同组合。1657年，荷兰数学家惠更斯所著的论多种的计算在莱顿出版，是目前已知最早公开发表的概率论文献。他在帕斯卡和费马的通信基础上，解决了许多赌博中可能出现的有趣的问题。并且引进了“数学期望”的概念，证明了:如果一个人获得赌金a的概率是p，他获得奖金b的概率是q,则他可以期望获得的赌金数是ap+bq。该论述成为概率论出现之前最早的代表作，对概率论的建立有较大影响。1.2概率论的创立 1713年，雅克比伯努利的名著猜度数出版，是概率论成为数学中的独立分支的一个重要标志。雅克比伯努利建立了概率论中的第一个极限定理，即伯努利大数定律。棣莫弗是与伯努利同时代研究概率论的数学家。棣莫弗原籍法国，1685年移居英国，1679年22岁时成为皇家会员，1711年写成抽签的测量，1718年扩充为机会学说出版，后又多次再版，是概率论的早期著作之一。18世纪概率论和统计的研究逐渐吸引了大批数学家，相继得到了诸多成果。例如:英国数学家贝叶斯建立了条件概率的贝叶斯定理、法国数学家比丰于1777年出版了能辨是非的算术试验、1812年法国拉普拉斯所著概率的分析理论出版发行，其中首次明确规定了概率的古典定义，即讨论的对象局限于随机试验所有可能结果为有限个等可能的情形，还在概率论中引入了更有力的分析工具，如差分方程，母函数等，从而实现了概率论由单纯的组合计算到分析方法的过渡，将概率论推向一个新的发展阶段。拉普拉斯增加了概率论在选举、审判调查、气象等方面的应用，论述了几何概率论、伯努利定律、和最小二乘法的讨论。至此，古典概率论的结构业已完成。19世纪后，概率论被广泛应用于自然科学甚至社会科学中。2 三门问题的提出2.1 问题提出 在花样百出的猜奖活动中，能否猜中奖项要靠运气，大多数都没有技巧而言。但是在参与专门设计的抽奖时，如何获得最高奖项就有讲究了。三门问题就是经过设计的问题，它出自美国电视游戏节目Lets Make a Deal.其基本规则是猜奖者要从三扇封闭了的门中选择一扇并得到门后的奖品。其中两件是山羊，一件是跑车。该游戏的特别之处就在于当猜奖者当场选定一扇门未打开之前，主持人打开另外一扇后面是山羊的门，这是主持人问猜奖者是否需要改猜另外一扇门。问题是:换另外一扇门是否会增加猜奖者赢得跑车的机会?对于三门问题我们常见的有两种解答。解答一:更改选择获得跑车的概率。理由是猜奖者第一次选择的门后有跑车的概率是，所以跑车在其余两扇门后的概率是，当主持人打开有山羊的一扇门后，跑车在剩下那扇门后的概率仍然是是。换一种更容易理解的说法:假设现在在猜奖者面前有1000扇门，其中只有一扇门后是跑车，猜奖者第一次选择的门后有跑车的概率是，当主持人打开藏有山羊的998扇门后，跑车在剩下门后的概率是。这是你不改猜得到跑车的概率是，改猜得到跑车的概率是。显然改猜才是最好的选择。解答二:不必改猜。理由是主持人打开一扇藏有山羊的门后，跑车在剩下两扇门后的可能性相等，所以改猜或者不改猜的概率都是。对于上述两种解答，很多人认同解答一，但是似乎并没有充足的理由否定解答二，更有人将其称为悖论。但是无论如何，从两种解答来看改猜获得跑车的概率都不会低于，所以改猜才是最好的选择。但是目前问题并没有水落石出，问题究竟出在哪里呢?2.2有关三门问题的一个著名论述 1991年9月，自称是世界上最聪明的美国女人沙温特收到一封来信，信中提到了这样一个问题:假如你正在参加一项游戏节目，现在在你面前有三扇门。一扇门后面是丰厚的奖金比如是跑车，另外两扇门后面则是安慰奖比如不值钱的山羊。主持人会先让你从三扇门中任选一扇，在你打开那扇门之前，主持人会先打开另外一扇藏有山羊的门，现在再给你一次机会，坚持原本的选择还是更换到另外一扇门，这时你会怎么做?当沙特看到这个问题后，她认为应该更换选择到另外一扇门。随后她便把这个问题刊登在她的行列专栏上。令她意料之外的是，问题刊登之后竟然引起了轩然大波。读者的来信似雪花般飞来，来信者大多数都不认同沙温特的观点，他们认为坚持或者更改选择获得跑车的概率都是一样的。这些人中不乏有知名的数学家，其中有一位这样写到:“你别胡说八道了，让我来解释一下吧，在打开一扇藏有山羊的门后，这个信息使余下任何一个选择的概率都变为,作为一名职业数学家，我对公众缺乏数学能力的状况十分担心，拜托你承认错误吧！以后要加倍小心”。 最终沙温特用试验的方法向那些不相信的人验证了这个策略。她还特意从读者中找来了几位数学教师和她一起做试验，还有其他读者自愿用计算机模拟试验，经过了很长一段时间的争论和试验这一结论才逐渐被人们认可。3 三门问题解决策略 对相同问题的不同理解和其隐蔽性常常是引发悖论的原因，其实问题常常出在人们对待问题的不同理解上。在解答三门问题时，主持人是否知道内情的情况对应的解答和结论是不同的。要解决好这个问题我们首先要介绍两个基本结论和两个基本公式。 两个基本结论：（1）概率等于的事件和任何的事件独立;（2）抽签原理；m个签中有n个标有“中”,无放回依次随机抽签时，第j次抽到“中”的概率是。先验证结论(1):设A、B事件，则, 用加法公式得到则按定义，A、B独立。结论(2)有许多的证明方法但是最能帮助读者理解的证明如下：设想将这m个签放入一个口袋中摇匀，则无论用什么方法抽出一个时，抽到“中”的概率是,现在口袋依次抽取第1，第2，第j-1个签攥在手中不拿出，将抽取的第j个拿出，该签是“中”的概率仍是。两个基本公式:贝叶斯公式:设，是样本空间的一个分割，即，互不相容，且，如果，i=1,2,n，则，i=1,2,n.全概率公式: 设，是样本空间的一个分割，即，互不相容，且，如果，i=1,2,n，则对任意事件A有.3.1 主持人知道门后内情假设主持人知道门后内情，现在定义事件A，B，. A:表示猜奖者第一次选中的门后是山羊;:表示猜奖者第一次选中的门后是跑车; B:表示主持人打开的门后是山羊; :表示主持人打开的门后是跑车;现在主持人知道门后的内情，他肯定打开有山羊的门，则.根据上述我们给出的结论(1)可知事件A,B独立，所以， ，说明不改猜得到跑车的概率是，改猜得到跑车的概率是.3.2主持人不知道门后内情 假如主持人不知道门后内情，由上述结论（2）的抽签原理可知，由条件概率可得，.这说明改猜或者不改猜，猜奖者获得跑车的概率都是一样的，这和解答二是一样的。说明在主持人不知道门后内情的情况下解答二及其分析是正确的。4 三门问题的推广 在三门问题中，显然当主持人打开一扇门之后更改选择可以提高中奖概率，那么当不止三扇门时又应该如何选择呢? 现在让我们假设有五扇封闭的门，其中一扇门后跑车，其余门后都是山羊。你首先选择一扇门不打开，主持人在剩下三扇门中打开一扇没有跑车的门，给你第二次机会，可以坚持原来的选择，也可以改变主意，从剩下的三扇未打开的门中选择一扇。在你选择之后，主持人在剩下三扇门中再打开一扇没有跑车的门，现在给你第三次机会，坚持选择或者更改猜想，之后，主持人在剩下的两扇门中打开一扇没有跑车的门，最后给你第四次机会，坚持选择或者更改猜想，那么每一次你应该怎么做呢? 在这个问题中，你每次选择一扇门后，主持人就会从余下的门中打开一扇没有跑车的门，之后再给你选择机会直到最后剩下两扇门，给你最后一次选择机会，所以你选择的次数是门的数目减一。对于五扇门，你就有四次选择机会，那么可以采取哪些策略呢?哪种策略获得跑车的概率更大呢?我们给出下表可供猜奖者参考第一次第二次第三次第四次概率第一种策略选择不变不变不变0.2第二种策略选择改变不变不变0.267第三种策略选择不变改变不变 0.267第四种策略选择不变不变改变 0.8第五种策略选择改变改变不变 0.367第六种策略选择改变不变改变 0.733第七种策略选择不变改变改变 0.6第八种策略选择改变改变改变 0.633下面我们来详细解释每种策略获得跑车的概率: 设A=“第一次选择到有跑车的门”，=“第一次选择到没有跑车的门”B=“第二次选择到有跑车的门”，=“第二次选择到没有跑车的门”C=“第三次选择到有跑车的门”，=“第三次选择到没有跑车的门”D=“第四次选择到有跑车的门”，=“第四次选择到没有跑车的门” 第一种策略:只要第一次选择的是有跑车的门，就会获得跑车。所以第一种策略获得跑车的概率是即0.2. 第二种策略:只要第一次选择没有跑车的门，而第二次选择有跑车的门，就会获得跑车。所以第二种策略获得跑车的概率是即0.267. 第三种策略:只要第一次选择没有跑车的门，而第三次选择有跑车的门，就会获得跑车。所以第三种策略获得跑车的概率是即0.267. 第四种策略:只要第一次选择没有跑车的门，就会获得跑车。所以第四种策略获得跑车的概率是即0.8. 第五种策略:第五种策略要复杂一些，这种策略获得跑车可分为两种情况。第一种情况是第一次选择没有跑车的门，第二次选择没有跑车的门，第三次选择有跑车的门。第二种情况是第一次选择有跑车的门，第二次选择没有跑车的门，第三次选择有跑车的门。所以第五种策略获得跑车的概率是即0.367. 第六种策略:第六种策略获得跑车可分为两种情况。第一种情况是第一次选择没有跑车的门，第二次选择没有跑车的门。第二种情况是第一次选择有跑车的门，第二次选择没有跑车的门。所以第六种策略获得跑车的概率是即0.733. 第七种策略:第七种策略获得跑车可分为两种情况。第一种情况是第一次选择没有跑车的门，第三次选择没有跑车的门。第二种情况是第一次选择有跑车的门，第三次选择没有跑车的门。所以第七种策略获得跑车的概率是即0.6. 第八种策略:第八种策略获得跑车可分为三种情况。第一种情况是第一次选择没有跑车的门，第二次选择没有跑车的门，第三次选择没有跑车的门。第二种情况是第一次选择没有跑车的门，第二次选择有跑车的门，第三次选择没有跑车的门。第三种情况是第一次选择有跑车的门，第二次选择没有跑车的门，第三次选择没有跑车的门。所以第八种策略获得跑车的概率是即0.633. 事实上，在多次选择的推广三门问题中，采取的最佳策略是在最后选择一步前，都要坚持原来的选择。5 三门问题的应用 三门问题作为一个具有博弈论思想的经典问题，具有很多变形和应用，本文对其进行推广，将所采用的思想方法应用到“二十点”游戏中。 “二十点”游戏是一个东北地区常见的纸牌游戏。“二十点”游戏通常使用一副52张的扑克（去掉两张王牌）,数字2到10各四张，A,J,Q,K也各四张。其中数字牌按牌面数字计算点数，A记为1点，J,Q,K都记为10点。其规则是第一个玩家首先得到两张牌，一张底牌点数未知，故玩家只能根据手中一张牌的点数判断是否要下一张，不限制拿牌张数。而一旦玩家手中牌的点数之和超过了20，则称为“爆掉了”，该玩家输掉这一局。若第一名玩家没有“爆掉”，当他已经达到自己满意的点数停止拿牌时，则第二名玩家开始游戏，规则同上。最后所有玩家明牌，在没有“爆掉”的玩家中，手中牌面的点数和最大者赢得该局游戏。 现在有小张、小赵和他们的一群朋友一起玩“二十点”。小赵负责发牌，小张是玩家中最后一个要牌的，轮到他时其他玩家已经全部明牌，要么是“爆掉”了，要么是已经达到了自己满意的点数。此时小张看到自己手中一张牌为A,底牌未知，但是他发现牌面上现在连一张“10点”都没有，于是他想到很有可能自己底牌就是“10点”，如果再拿到一张“10点”，自己就会“爆掉”了。小赵看出了小张的担心，为了“鼓励”小张拿牌，小赵从未发的牌中挑出4张“10点”牌放到桌面上，把剩下的牌重新洗过再问小张是否要牌。小张数过台面上的牌发现一共有35张牌被摊开，根据小张的计算，他自己的底牌和拿到的牌都是10点的概率是.也就是说小张拿到第三张牌“爆掉”的概率大于，这并不是当时的最优策略。6 结论 本文是纯粹从数学角度分析三门问题，并从数学角度将其拓展推广，进而应用到实际情况中。三门问题看上去并不是很复杂的问题，但是在过去的很多年里却引起了无数争议，无非是大多数人凭借着直觉来看，无论换门与否，得到跑车的概率都是.然而通过概率论分析之后,其实不然。通过三门问题的分析我发现我们学过的概率论与数理统计中的很多理论和知识都与我们的生活息息相关，都可以应用到实际中去，我们要好好学习并且加以利用。参考文献:1 茆诗松，程依明，濮晓龙概率论与数理统计第二版M.北京:高等教育出版社,2011.45-49.2 吴宇遨.“蒙提霍尔问题”及其推广与应用J.中学数学月刊,2009.33-35.3 王青建.数学史简编M.北京:科学出版社.2004.93-97.4 丁益.由“基本事件”看中奖概率-中学生眼中的蒙提霍尔问题J.中学数学月刊，2010年.34-35.5 何书元.三门问题J.数学通报,2015.1-2.6 吴宇遨.从数学角度剖析“蒙提霍尔文题”J.教育与人才,2009.73-75.致谢本科生涯即将结束，我十分荣幸能够在美丽的辽宁师范大学度过这四年，在数学学院各位学识渊博的老师的教导下更好的成长。在这里首先我要感谢我的指导老师，孙德山老师。无论是在选题，还是查找资料方面孙德山老师都给了我莫大的帮助，在我写论文的瓶颈时期，孙德山老师也给了我莫大的鼓励。从论文的标点到格式，内容到结构孙德山老师都费尽了心血。没有老师的孜孜教诲，就没有今天我的论文的顺利完成。在此再次向孙德山老师致以衷心的感谢。同时我还要感谢在我写论文期间给予我帮助的同学和朋友，最后，向在百忙中抽出时间对本文进行评审并提出宝贵意见的各位专家表示衷心地感谢！.