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,第二章,第四节,二维随机变量及其概率分布(23),一、二维随机变量的概念,二、二维离散型随机变量,三、二维连续型随机变量,以上我们只限讨论一个随机变量的情况,但在实际问题,一、二维随机变量的概念,定义1,有些随机试验的结果需要用两个或两个以上的随机变,量来描述.,例如:,为了研究大学生身体发育状况,中,学生进行抽查,对某校大,对于每个学生都能观察到他的身高H和体,重W,这里H和W是两个随机变量,类似的例子还有许多.,设随机试验E的样本空间为,X,Y是定义在,上的两个随机变量,则二维向量(X,Y)称为二维随机,向量或二维随机变量.,二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X及Y有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系,注意:,定义2,因此逐个研究,体来进行研究.,还必须将(X,Y)作为一个整,与一维的情况类似,我们也借助于分布函数来研究二,设(X,Y)是二维随机变量,对任意实数x,y,二元函数,称为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数.,随机变量X与Y是不够的,维随机变量.,(1),在几何上,若把二维随机变量(X,Y)看作平面上随机点,的坐标,那么联合分布函数F(x,y)在点(x,y)处的函数,值,就是随机点(X,Y)落在以点(x,y)为顶点的左下方无,穷矩形域内的概率.,由联合分布函数的几何意义很容易得出,落在一个矩形区域,内的概率,为:,(2),随机点(X,Y),定理1,(1)F(X,Y)关于x,y均是非减函数;,(2),（3）关于均是右连续函数；,（4）对任意，均有,二维随机变量(X,Y)的联合分布函数F(x,y),具有以下性质:,注意到:,同理:,分别称为二维随机变量(X,Y)关于X,二维随机变量(X,Y)的分量X与Y分别是一维,随机变量,通过(X,Y)的联合分布函数F(X,Y)可以求,出X与Y各自的分布函数,与,与,关于Y的边缘分布函数.,即有:,(3),(4),二、二维离散型随机变量,则称(X,Y)是二维离,若二维随机变量(X,Y)的全部可能取值是有限多对,或可列无穷多对,并称,为二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律.,联合分布律的性质:,(1),(2),散型随机变量.,的联合分布律通常用表格(矩阵)给出：,(X,Y)的联合分布函数F(x,y),其中,由(X,Y)的联合分布律还可求出X与Y各自的分布律.,求出:,是对一切满足,的,求和.,可由上面的联合分布律,(5),记:,分别称为(X,Y)关于X关于Y的边缘分布律.,在联合分布律的表格中,将每行与每列相加即可得到,边缘分布律.,例1.,设随机变量X在1,2,3,4这四个整数中等可能,另一个随机变量Y在1X中等可能地取一整数,解:,由于X=i,Y=j的取值情况是:,j取不大于i的正整数,由乘法公式容易求得:,所以(X,Y)的联合分布律与边缘分布律为:,试求二维随机变量(X,Y)的联合分布律及边缘,i=1,2,3,4,取值,值,布律.,1234,即有X边缘分布律:,Y边缘分布律:,1234,X,1234,Y,也即有:,三、二维连续型随机变量,实数x,y都有,定义3.,函数,(X,Y)的联合概率密度函数.,则称(X,Y)为二维连续型随机变量,设F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的联合分布,若存在一个非负二元函数f(x,y),使对任意,(6),并称f(x,y)为,联合概率密度函数f(x,y)的性质:,(1)f(x,y)0;,(3)若f(x,y)在点(x,y)处连续,(4),性质(4)表明在几何上,概率,则有,(X,Y)落在某平面区域D中的,在数值上就是f(x,y)在区域D上的二重积分.,由(X,Y)的联合概率密度函数f(x,y),变量X和Y的概率密度函数,因为,而,所以,同理有,称为(X,Y)关于X的边缘概率密度函数;,称为(X,Y)关于Y的边缘概率密度函数.,和,(7),(8),可求得一维随机,例3.,(2),X,Y的边缘概率密度函数;,求:,及,(3)求(X,Y)的联合分布函数F(X,Y).,解:,(1).,设(X,Y)的联合概率密度函数为,(1),(2).,当x0或x1时,则,当0x1时,则有,同理:,(3).,当x0或y0时,则,当0x1且0y1时,当0x1且y1时,当x1且0y1时,当x1且y1时，,综上有:,作业,第二章9,10,11.,预习:第五节,
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