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教学目的：1.矩的概念.2.协方差与相关系数3切贝谢夫不等式,第十三讲协方差与相关系数,教学内容：第三章，3.63.7。,一矩,设X为离散r.v.分布为,X连续r.v.，d.f.为,定义,二协方差和相关系数,问题对于二维随机变量(X,Y):,已知联合分布,边缘分布,对二维随机变量,除每个随机变量各自的概率特性外,相互之间可能还有某种联系问题是用一个怎样的数去反映这种联系.,数,反映了随机变量X,Y之间的某种关系,称,为X,Y的协方差.记为,称,为（X,Y）的协方差矩阵,可以证明协方差矩阵为半正定矩阵,定义,若D(X)0,D(Y)0,称,为X,Y的相关系数，记为,事实上，,若(X,Y)为离散型，,若(X,Y)为连续型，,求cov(X,Y),XY,解,解,例3设U(0,2),X=cos,Y=cos(+),是给定的常数，求XY,解,若,若,有线性关系,若,不相关，,但,不独立，,没有线性关系，但有函数关系,协方差的性质,当D(X)0,D(Y)0时，当且仅当,时,等式成立,Cauchy-Schwarz不等式,证令,对任何实数t,即,等号成立,有两个相等的实零点,即,显然,即,即Y与X有线性关系的概率等于1,这种线性关系为,完全类似地可以证明,当E(X2)0,E(Y2)0时,当且仅当,时,等式成立.,相关系数的性质,Cauchy-Schwarz不等式的等号成立,即Y与X有线性关系的概率等于1，这种线性关系为,如例1中X,Y的联合分布为,0p0,不等式成立，或,返回主目录,返回主目录,例4假设一批种子的良种率为，从中任意选出600粒，试用切比晓夫（Chebyshev）不等式估计：这600粒种子中良种所占比例与之差的绝对值不超过0.02的概率。,性质4的逆命题不成立，即,若E(XY)=E(X)E(Y)，X,Y不一定独立,反例1,pj,pi,附录1,但,反例2,但,几个重要的r.v.函数的数学期望,X的k阶原点矩,X的k阶绝对原点矩,X的k阶中心矩,X的方差,附录2,X,Y的k+l阶混合原点矩,X,Y的k+l阶混合中心矩,X,Y的二阶原点矩,X,Y的二阶混合中心矩X,Y的协方差,X,Y的相关系数,作业P.117习题三,23242526,
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