概率论与数理统计第二讲随机数的产生数据的统计描述.ppt

概率论与数理统计实验,实验2随机数的产生数据的统计描述,实验目的,实验内容,学习随机数的产生方法直观了解统计描述的基本内容。,2、统计的基本概念。,4、计算实例。,3、计算统计描述的命令。,1、随机数的产生,在Matlab软件中，可以直接产生满足各种常用分布的随机数，命令如下：,一、随机数的产生,10常用分布随机数的产生,定义：设随机变量XF(x),则称随机变量X的抽样序列Xi为分布F(x)的随机数,调用格式：,1、y=random(name,A1,A2,A3,m,n),其中：name为相应分布的名称，A1,A2,A3为分布参数，m为产生随机数的行数，n为列数。,2、直接调用。如：y=binornd(n,p,1,10)产生参数位n，p的1行10列的二项分布随机数,当只知道一个随机变量取值在（a，b）内，但不知道（也没理由假设）它在何处取值的概率大，在何处取值的概率小，就只好用U（a，b）来模拟它。,1、均匀分布U(a,b),1)unifrnd(a,b)产生一个a,b均匀分布的随机数2)unifrnd(a,b,m,n)产生m行n列的均匀分布随机数矩阵,例1、产生U(2,8)上的一个随机数，10个随机数，2行5列的随机数。,命令：(1)y1=unifrnd(2,8)(2)y2=unifrnd(2,8,1,10)(3)y3=unifrnd(2,8,2,5),2、正态分布随机数,例2、产生N(10,4)上的一个随机数，10个随机数，2行5列的随机数.,命令(1)y1=normrnd(10,2)(2)y2=normrnd(10,2,1,10)(3)y3=normrnd(10,2,2,5),1)R=normrnd(,)：产生一个正态分布随机数2)R=normrnd(,m,n)产生m行n列的正态分布随机数,当研究对象视为大量相互独立的随机变量之和，且其中每一种变量对总和的影响都很小时，可以认为该对象服从正态分布。,机械加工得到的零件尺寸的偏差、射击命中点与目标的偏差、各种测量误差、人的身高、体重等，都可近似看成服从正态分布。,3、指数分布随机数,例3、产生E(0.1)上的一个随机数，20个随机数，2行6列的随机数。,命令(1)y1=exprnd(0.1)(2)y2=exprnd(0.1,1,20)(3)y3=exprnd(0.1,2,6),1)R=exprnd()：产生一个指数分布随机数2)R=exprnd(,m,n)产生m行n列的指数分布随机数,结果(1)y1=0.0051(2)y2=0.14650.04990.07220.01150.02720.07840.39900.01970.08100.04850.0233(3)y3=0.10420.46190.15960.05050.16150.0292；0.02070.19740.16160.13010.41820.0809,排队服务系统中顾客到达率为常数时的到达间隔、故障率为常数时零件的寿命都服从指数分布。,指数分布在排队论、可靠性分析中有广泛应用。,例顾客到达某商店的间隔时间服从参数为0.1的指数分布,指数分布的均值为1/0.1=10。指两个顾客到达商店的平均间隔时间是10个单位时间.即平均10个单位时间到达1个顾客.顾客到达的间隔时间可用exprnd(10)模拟。,4、二项分布随机数,例4、产生B(10,0.8)上的一个随机数，15个随机数，3行6列的随机数。,命令(1)y1=binornd(10,0.8)(2)y2=binornd(10,0.8,1,15)(3)y3=binornd(10,0.8,3,6),R=binornd(n,p)：产生一个二项分布随机数2)R=binornd(n,p,m,n)产生m行n列的二项分布随机数,20、其他分布随机数的产生方法,定理设X的分布函数为F(x)，连续且严格单调上升，它的反函数存在，且记为F-1(x)，则F(X)U(0,1)若随机变量UU(0,1),则F-1(U)的分布函数为F(x)。,此定理给出的构造分布函数为F(x)的随机数的产生方法为：,取U(0,1)随机数Ui,(i=1,2),令Xi=F-1(Ui),则Xi,(i=1,2),就是F(x)随机数，如果Ui独立，则Xi也互相独立。,（一）直接抽样法（反函数法）,（1）连续分布的直接抽样法,设连续型随机变量X的分布函数为F(x)，,则产生随机数的方法为：,取U(0,1)随机数Ui,(i=1,2),令Xi=F(Ui),则Xi,(i=1,2),就是F(x)随机数，如果Ui独立，则Xi也互相独立。,设分布律为P(X=xi)=pi,i=1,2,.，其分布函数为F(x),（2）离散分布的直接抽样法,产生均匀随机数R，即RU(0,1),则XF(x),（二）变换抽样法,（三）值序抽样法,（四）舍选抽样法,（五）复合抽样法（合成法）,（六）近似抽样法,详见：高惠璇北京大学出版社统计计算,例5、设X分布函数为,解：Y的分布函数为,其反函数为,生成n=20的1行10列随机数,命令：U=unifrnd(0,1,1,10);Y=1-(1-U).(1/20);,设,则,例6生成单位圆上均匀分布的1行10000列随机数，并画经验分布函数曲线。,Randnum=unifrnd(0,2*pi,1,10000);%(0,2pi)上均匀分布随机数xRandnum=cos(Randnum);%横坐标yRandnum=sin(Randnum);%丛坐标plot(xRandnum,yRandnum);,例6频率的稳定性,1、事件的频率在一组不变的条件下，重复作n次试验，记m是n次试验中事件A发生的次数。频率f=m/n,2.频率的稳定性,在重复试验中，事件A的频率总在一个定值附近摆动，而且，随着重复试验次数的增加，频率的摆动幅度越来越小，呈现出一定的稳定性.,掷一枚硬币，记录掷硬币试验中频率P*的波动情况。,(1)模拟产生n个0-1分布随机数randnum(n),(2)对模拟产生的随机数，xrandnum(i)表示第i次试验的结果，1表示正面向上，0表示反面向上。,(3)统计前i次试验中正面向上的次数，并计算频率,（4）作图(关于频率和试验次数的图像）,p为正面向上的概率，n为试验次数,在Matlab中编辑.m文件输入以下命令：,functionbinomoni(p,n)pro=zeros(1,n);%频率向量randnum=binornd(1,p,1,n);%产生二项分布随机数a=0;fori=1:na=a+randnum(1,i);%频数pro(i)=a/i;%频率endpro=pro;num=1:n;plot(num,pro,num,p),在Matlab命令行中输入以下命令：,binomoni(0.5,1000),在Matlab命令行中输入以下命令：,binomoni(0.5,10000),在Matlab命令行中输入以下命令：,binomoni(0.3,1000),1、表示位置的统计量平均值和中位数,平均值（或均值，数学期望）：,中位数：将数据由小到大排序后位于中间位置的那个数值.,二、常用统计量,平均值：mean(x)中位数：median(x)若x为矢量，返回平均值和中位数，若x为矩阵，结果为行向量，每个元素对应x中列元素的平均值和中位数,2、表示变异（离散）程度的统计量方差、标准差、极差,样本方差：,它是各个数据与均值偏离程度的度量,标准差：是方差的开方,极差：样本中最大值与最小值之差.,标准差：std(x)方差：var(x)极差：range(x),例7：产生5组正态分布随机数，每组100个，计算均值、中位数、标准差、极差、方差。,x=normrnd(0,1,100,5);,mean1=mean(x)median1=median(x)std1=std(x)var1=var(x)rang1=range(x),3.表示分布形状的量偏度和峰度,分布偏度：,其估计量为：,其中,命令：y=skewness(x)若x为矢量，返回样本偏度，若x为矩阵，结果为行向量，每个元素对应x中列元素的样本偏度。,正态分布偏度为0，偏度反映分布的对称性，g10称为右偏态，此时数据位于均值右边的比位于左边的多；g10称为左偏态，情况相反；而g1接近0则可认为分布是对称的.,分布峰度,其估计量为：,其中,命令：y=kurtosis(x)若x为矢量，返回x的样本峰度，若x为矩阵，结果为行向量，每个元素对应x中列元素的样本峰度。,峰度是分布形状的另一种度量，正态分布的峰度为3，若g2比3大很多，表示分布有沉重的尾巴，说明样本中含有较多远离均值的数据，因而峰度可用作衡量偏离正态分布的尺度之一,例8：产生5组正态分布随机数，每组100个，计算样本偏度和峰度。,x=normrnd(0,1,100,5);,skewness1=skewness(x)kurtosis1=kurtosis(x),例9：产生5组指数分布随机数，每组100个，计算样本偏度和峰度。,x=exprnd(10,100,5);,skewness1=skewness(x)kurtosis1=kurtosis(x),三、分布函数的近似求法（直方图）,1、经验分布函数（累计频率直方图）EmpiricalCumulativeDistributionFunction,则经验分布函数为：,总体分布函数的近似,2、频率直方图近似概率密度函数,下面介绍频率直方图和经验分布函数的做法,1、整理资料：把样本值x1，x2，xn进行分组，先将它们依大小次序排列，得,2、求出各组的频数和频率：,3、作图：,(1)、描绘数组data的频数直方图的命令为：hist(data,k),4、频数直方图的描绘,(2)、描绘附加带有正态密度曲线的直方图命令为：histfit(data,k),(3)、描绘数组data的经验分布函数的命令为：cdfplot(data),例10一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等会出现故障.故障是完全随机的，并假定生产任一零件时出现故障机会均相同.工作人员是通过检查零件来确定工序是否出现故障的.现积累有100次故障纪录，故障出现时该刀具完成的零件数如下：作频数直方图及经验分布函数图,459362624542509584433748815505612452434982640742565706593680926653164487734608428115359384452755251378147438882453886265977585975549697515628954771609402960885610292837473677358638699634555570844166061062484120447654564339280246687539790581621724531512577496468499544645764558378765666763217715310851,解,x=459362624542509584433748815505612452434982640742565706593680926653164487734608428115359384452755251378147438882453886265977585975549697515628954771609402960885610292837473677358638699634555570844166061062484120447654564339280246687539790581621724531512577496468499544645764558378765666763217715310851,hist(x,10)histfit(x,10),作经验分布函数图,cdfplot(x),例11、产生参数为10的指数分布随机数500个，并画出直方图和经验分布函数图。,x=exprnd(10,100,1);,作经验分布函数图,cdfplot(x),hist(x,9),作直方图,产生随机数,