概率论与数理统计第6讲.ppt

,概率论与数理统计第六讲,连续型随机变量X所有可能取值充满若干个区间。对这种随机变量，不能象离散型随机变量那样,指出其取各个值的概率，给出概率分布。而是用“概率密度函数”表示随机变量的概率分布。,2.3连续型随机变量,例1：某工厂生产一种零件，由于生产过程中各种随机因素的影响，零件长度不尽相同。现测得该厂生产的100个零件长度(单位:mm)如下:,2.3.1频率直方图,129,132,136,145,140,145,147,142,138,144,147,142,137,144,144,134,149,142,137,137,155,128,143,144,148,139,143,142,135,142,148,137,142,144,141,149,132,134,145,132,140,142,130,145,148,143,148,135,136,152,141,146,138,131,138,136,144,142,142,137,141,134,142,133,153,143,145,140,137,142,150,141,139,139,150,139,137,139,140,143,149,136,142,134,146,145,130,136,140,134,142,142,135,131,136,139,137,144,141,136.,这100个数据中，最小值是128，最大值是155。,128,155,作频率直方图的步骤,(1).先确定作图区间a,b;,a=最小数据-/2，b=最大数据+/2，,是数据的精度。,本例中=1,a=127.5,b=155.5。,(2).确定数据分组数m=1.87(n1)2/5+1，组距d=(ba)/m，子区间端点ti=a+id,i=0,1,m；,(3).计算落入各子区间内观测值频数ni=#xjti1,ti)，j=1,2,n，频率fi=ni/n，i=1,2,m；,(4).以小区间ti-1，ti为底，yi=fi/d(i=1,2,m)为高作一系列小矩形，组成了频率直方图，简称直方图。,由于概率可以由频率近似，因此这个直方图可近似地刻画零件长度的概率分布情况。,用上述直方图刻画随机变量X的概率分布情况是比较粗糙的。为更加准确地刻画X的概率分布情况，应适当增加观测数据的个数,同时将数据分得更细一些。当数据越来越多,分组越来越细时,直方图的上方外形轮廓就越来越接近于某一条曲线,这条曲线称为随机变量X的概率密度曲线，可用来准确地刻画X的概率分布情况。,2.3.2概率密度函数,定义1：若存在非负可积函数f(x),使随机变量X取值于任一区间(a,b的概率可表示成,则称X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度。,这两条性质是判定函数f(x)是否为某随机变量X的概率密度函数的充要条件。,密度函数的性质,f(x)与x轴所围面积等于1。,(3).对f(x)的进一步理解：,故,X的概率密度函数f(x)在x这一点的值,恰好是X落在区间x,x+x上的概率与区间长度x之比的极限。这里,如果把概率理解为质量，f(x)相当于物理学中的线密度。,需要注意的是：概率密度函数f(x)在点a处取值，不是事件X=a的概率。但是，该值越大，X在a点附近取值的概率越大。,若不计高阶无穷小，有：,表示随机变量X取值于(x,x+x上的概率近似等于f(x)x。,f(x)x在连续型随机变量中所起的作用与pk=PX=xk在离散型随机变量中所起的作用类似。,(4).连续型随机变量取任意指定值的概率为0.,即：,a为任意给定值。,这是因为：,由此得，,对连续型随机变量X,有,由P(X=a)=0，可推出,而X=a并非不可能事件,可见：,由P(A)=0,不能推出A=；,并非必然事件。,由P(B)=1,不能推出B=。,2.3.3常见的连续型随机变量,正态分布、均匀分布、指数分布,正态分布是应用最广泛的一种连续型分布。,正态分布是十九世纪初，由高斯(Gauss)给出并推广的一种分布。故，也称高斯分布。,1.正态分布,这条红色曲线近似我们将要介绍的正态分布的概率密度曲线。,I.正态分布的定义,定义：若随机变量X的概率密度函数为,记作,f(x)所确定的曲线叫作正态曲线。,(Normal),其中和都是常数，任意，0，则称X服从参数为和的正态分布。,II.正态分布的图形特点,特点“两头低，中间高，左右对称”。,正态分布的密度曲线是一条关于X=对称的钟形曲线。,正态分布的图形特点,决定了图形的中心位置,决定了图形峰的陡峭程度。,故f(x)以x=为对称轴，并在x=处达到最大值:,令x1=+c,x2=-c(c0),分别代入f(x),得,f(x1)=f(x2)，,且f(+c)f()，f(-c)f().,这说明：曲线f(x)向左右伸展时，越来越贴近x轴。即f(x)以x轴为渐近线。,当x时，f(x)0。,用求导的方法可以证明：,为f(x)的两个拐点的横坐标。,x=,III.正态分布的分布函数,IV.标准正态分布,称N(0,1)为标准正态分布，其密度函数和分布函数常分别用来表示。,它的依据是下面的定理：,标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布。,根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题。,定理1：,书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算问题。,V.正态分布表,表中给出的是x0时，(x)的取值;,若XN(0,1),服从N(0,1),例1：假设某地区成年男性的身高(单位:cm)XN(170,7.692),求该地区成年男性的身高超过175cm的概率。,解:根据假设XN(170,7.692)，知,事件X175的概率为,解:设车门高度为h，按设计要求,P(Xh)0.01，或P(Xh)0.99，,下面我们来求满足上式的最小的h。,例2：公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的。设某地区成年男性身高(单位:cm)XN(170,7.692),问车门高度应如何确定?,因为XN(170,7.692),求满足P(Xh)0.99的最小h。,故，当汽车门高度为188厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过0.01。,若随机变量X的概率密度为：,则称X服从区间a,b上的均匀分布，记作：,XUa,b,2.均匀分布(Uniform),(注:有时也记作XU(a,b)。,若XUa,b，则对于满足acdb的c和d，总有,指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命服从指数分布。,定义：若随机变量X具有概率密度,3.指数分布,则称X服从参数为的指数分布，记成XE()。,例3：设某电子管的使用寿命X(单位：小时)服从参数=0.0002的指数分布，求电子管使用寿命超过3000小时的概率。,解：,2.3.4随机变量的分布函数,定义2:设X()是一个随机变量，称函数F(x)=PXx,-x为随机变量X的分布函数。,分布函数的性质,(1).ab,总有F(a)F(b)(单调非减性)；(2).F(x)是一个右连续函数；(3).xR，总有0F(x)1(有界性)，且,证明：仅证(1)。,因aa=Xb-Xa，而XaXb，所以PaXb=PXb-PXa=F(b)-F(a).又，因PaXb0，故F(a)F(b).,注意：上述证明中我们得到一个重要公式:PaXb=F(b)-F(a).它表明随机变量落在区间(a,b上的概率可以通过分布函数来计算。,设离散型随机变量X的概率分布为pk=PX=xk,k=1,2,X的分布函数为,离散型随机变量的分布函数,所以，离散型随机变量的分布函数F(x)是一个右连续的函数，在X=xk(k=1,2,)处有跳跃值pk=PX=xk，如下图所示。,P29，例2.2.1中X的分布函数为,连续型随机变量的分布函数,即分布函数是密度函数的变上限积分。,由上式，得：在f(x)的连续点，有,若X是连续型随机变量，f(x)是X的密度函数，F(x)是分布函数，则对任意xR，总有,求连续型随机变量的分布函数,解：,求F(x).,对x1，有F(x)=1.,即,本讲首先介绍连续型随机变量、直方图、概率密度函数及性质；然后介绍了三种常用的连续型随机变量：正态分布，均匀分布和指数分布；最后介绍随机变量的分布函数。分别讨论了离散型随机变量的概率分布和分布函数的关系，连续型随机变量的概率密度和分布函数的关系等。,小结,