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1,9.1回归分析的概念9.2一元线性回归9.3可线性化的一元非线性回归9.4单因素试验方差分析,回归分析及方差分析,Ch9,2,“回归”一词的历史渊源,“回归”一词最早由FrancisGalton引入。十九世纪，英国生物学家兼统计学家高尔顿研究发现：其中x表示父亲身高，y表示成年儿子的身高（单位：英寸，1英寸=2.54厘米）。这表明子代的平均高度有向中心回归的意思，使得一段时间内人的身高相对稳定。之后回归分析的思想渗透到了数理统计的其它分支中。,3,9.1回归分析的基本概念,变量之间的关系,确定性关系,非确定性关系(相关关系),4,对变量间统计依赖关系的考察主要是通过相关分析(correlationanalysis)或回归分析(regressionanalysis)来完成的。,对于相关关系，虽然不能求出变量之间精确的函数关系式，但是通过大量的观测数据，可以发现它们之间存在一定的统计规律性。,5,回归分析是研究一个变量关于另一个（些）变量的具体依赖关系的计算方法和理论。,分为：一元线性回归、多元线性回归、可线性化的非线性归（双曲线、指数、对数、二次、幂函数等）,6,基本方法,考察随机变量Y与普通变量x之间的相关关系.,例1.在农业生产中小麦的亩产量Y与所施肥料量x有一定关系，在一定范围内，若施肥量大，亩产也较高。问题：Y是怎样依赖施肥料量x的变化的。,问题的特征：,x是普通变量,Y是随机变量.,处理方法：,按数理统计处理问题的方法。,7,(1)先进行一些试验，分别取不同的值,Y也得到个相应观察值,得到n对数据对，称为样本数据点,(2)散点图,8,(3)寻找Y与x的数量关系：,其中,一般地，,，,9,例1合金的强度y(107Pa)与合金中碳的含量x(%)有关。为研究两个变量间的关系。首先是收集数据，我们把收集到的数据记为(xi,yi),i=1,2,n。本例中，我们收集到12组数据，列于表1中,进行回归分析首先是回归函数形式的选择。当只有一个自变量时，通常可采用画散点图的方法进行选择。,10,表1合金钢强度y与碳含量x的数据,11,为找出两个量间存在的回归函数的形式，可以画一张图：把每一对数(xi,yi)看成直角坐标系中的一个点，在图上画出n个点，称这张图为散点图，见右图。,12,从散点图我们发现12个点基本在一条直线附近，这说明两个变量之间有一个线性相关关系，这个相关关系可以表示为这便是y关于x的一元线性回归的数据结构式。通常假定在对未知参数作区间估计或假设检验时，还需要假定误差服从正态分布，即显然假定（2）比假定（1）强,13,由于0,1均未知，需要我们从收集到的数据(xi,yi)，i=1,2,n，出发进行估计。在收集数据时，我们一般要求观察独立地进行，即假定y1,y2,yn,相互独立。综合上述诸项假定，我们可以给出最简单、常用的一元线性回归的数学模型：,14,9.2一元线性回归,1.本节考虑的模型是,其中,都是未知参数,为回归系数,分别是直线,的截距和斜率。,称,为Y关于x的经验回归函数。,方程,称为Y关于x的经验线性回归方程，或经验回归方程，其相应的图形称为经验回归直线。,此模型称为一元线性回归模型，基于此种模型的统计分析称为,一元线性回归分析.,15,2.,下面用最小二乘法来求,对于自变量x和因变量y的n对观察值,的最小二乘估计,其中,是对,观察时的随机误差.,的估计。,16,使得,成立的,和,称为,和,的最小二乘估计。,17,于是得方程组,18,解得,，,记,于是,19,例9.2.1设某化学过程的得率Y与该过程的温度x有关.现作了10次测量，其数据如下表所示.,解,故,于是得线性回归方程,20,由此给出回归方程为:,例2使用例1种合金钢强度和碳含量数据求回归方程。,解,21,.,22,残差,显然,残差的平方和,定理9.2.2,是,的无偏估计。,23,例：求出例9.2.1中误差方差的无偏估计,解例9.2.1中已求出,所以,24,定理9.2.3对一元线性回归模型（9.2.3），若进一步假定随机误差,，则有,(1).,(2)RSS与,和,相互独立.,25,4回归方程的显著性检验,在使用回归方程作进一步的分析以前，首先应对回归方程是否有意义进行判断。如果1=0，那么不管x如何变化，E(y)不随x的变化作线性变化，那么这时求得的一元线性回归方程就没有意义，称回归方程不显著。如果10，E(y)随x的变化作线性变化，称回归方程是显著的。综上，对回归方程是否有意义作判断就是要作如下的显著性检验：H0：1=0vsH1：10拒绝H0表示回归方程是显著的。,26,需要检验,假设,方法：,27,t检验法,28,例9.2.3试说明例9.2.1中的线性回归效果是否显著,解要在水平,下检验如下假设,故,查表知,因为,24.12603.3554，,所以拒绝,，线性回归效果是显著的.,29,5.回归系数,的置信区间,的置信水平为,的置信区间为,例9.2.4求例9.2.1中回归系数,的置信水平为95%的置信区间.,解,30,如果经检验，回归方程的线性回归效果是显著的，那么就可以用已经获得的回归方程,进行预测.,6.预测,所谓预测（或称预报），就是以一定的置信水平预测与,对应的,的取值范围.,称为,的置信水平为,的预测区间，也称为置信区间.,31,方法通过适当的变量变换,化成一元线性回归问题进行分析处理.,两边取对数,9.3、可化为一元线性回归的问题,32,，,，,，,，,33,配曲线的一般方法是：,34,例9.3.1一只红铃虫的产卵数Y和温度x有关.经观测获得一组红铃虫产卵数与温度的数据如下表所示.试求Y关于x的回归方程.,35,解1.根据这组数据画出散点图.,2.选择模型,作变换,于是得到,3.线性化,36,根据这些数据可算得,与,的最小二乘估计.经计算,于是得U关于x的回归方程,37,4.非线性化,化为Y关于x的回归方程为,
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