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第四章数理统计的基本概念,4.1总体与样本,4.2统计量与抽样分布,4.3抽样分布定理,4.1总体与样本,1.总体：,2.个体：,研究对象的全体。,组成总体的每个基本单元。,有限总体,无限总体,集合与元素的关系。,例如，研究某大学一年级新生的体重情况。,总体：,该大学的全体新生的体重。,个体：,每个新生的体重。,数量指标,可用随机变量描述,第i个新生体重用描述,4.1总体与样本,3.了解总体分布的方法,4.我们把从总体中随机抽取的n个个体称为样本，n为样本容量。,全面观测,抽样观测,（1）代表性：,样本与总体同分布；,5.简单随机样本,（2）独立性：,是相互独立的随机变量。,4.1总体与样本,6.设总体X的分布函数为F(x)，是取自总体的样本,称上式为样本分布函数。,7.若总体X为连续型随机变量，其概率密度为，则称,为样本概率密度。,为样本概率分布。,8.若总体X为离散型随机变量，其概率分布为，则称,4.2统计量与抽样分布,4.2.1统计量,4.2.2抽样分布,1.样本均值的分布,2.分布,3.分布,4.分布,4.2.1统计量,定义：,设是来自总体的样本，是一个样本函数，若g中不含有总体分布中的未知参数，则g称为统计量。,例如，设总体，已知，未知。为样本,统计量,未知，U不是该样本的统计量,4.2.1统计量,常见统计量：,设为总体X的样本，是样本观测值,1样本均值：,2样本方差：,修正样本方差,3样本标准差：,4样本k阶原点距：,5样本k阶中心距：,4.2.1统计量,样本均值：,样本方差：,当抽样结果确定后，我们把样本观测值代入统计量，,反映样本平均取值的情况,反映样本取值的分散程度,例4.1某老师为调查大学生对数学的学习情况，随机抽取了30名学生的高等数学的期末成绩，数据如下：849072738575506986785672866681908785868786869157698575848587,这是一个容量为30的样本观测值,反映了学生高等数学成绩的平均水平。,反映了学生高等数学成绩的分散程度。,4.2.2抽样分布,1.样本均值的分布,设总体，为来自总体的样本，则,记,满足条件,上侧临界值,满足条件,双侧临界值,由对称性,当时，可由查得,可由查得,4.2.2抽样分布,定义：设为来自总体的样本，则,2.分布,服从自由度为n的分布，记作,密度函数为,分布的性质：,（1）若，则，,（2）若，且相互独立，则,（3）若，满足条件的称为上侧临界值。,上侧临界值,4.2.2抽样分布,例如，查表可得，其意义为,例4.2,设为来自总体的样本，令,试求常数C，使服从分布。,解：,且它们是相互独立，即,所以C=18,4.2.2抽样分布,服从自由度为n的分布，记作,密度函数为,t分布的性质：,（2）当n充分大时，t分布近似于标准正态分布。,3.分布,定义：设，且X,Y相互独立，则称,（1）t分布密度函数图像关于y轴对称，且,（3）若，满足条件的称为上侧临界值。,上侧临界值,满足条件的称为双侧临界值。,当时，,4.2.2抽样分布,F分布的性质：,定义：设，且X,Y相互独立，则称,（4）若，满足条件的称为上侧临界值,4.分布,服从第一自由度为，第二自由度为的F分布，记作,（1）若，则,（2）若，则,（3）,上侧临界值,例如，查表可得，其意义为,4.3抽样分布定理,定理1,设总体，是来自总体的样本，,和分别为样本均值和（修正）样本方差则,（1）,（2）,（4）,4.3抽样分布定理,（1）,证明：,由于正态随机变量的线性组合也服从正态分布，可知,服从正态分布。,样本与总体同分布,样本相互独立,4.3抽样分布定理,（2）,证明：,4.3抽样分布定理,（4）,证明：,相互独立,4.3抽样分布定理,定理2,设总体和是两个相互独立的正态总体，,记,则,（2）,（3）,（4）,（5）,
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