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第一节特征函数,一般说来，数字特征不能完全确定随机变量的分布.本节将要介绍特征函数，既能完全决定分布函数，又具有良好的性质，是研究随机变量的分布的有力的工具.,关于复数的回顾,复数的一般式：,取角,使得,则,其中,为复数z的模长。,复数的三角形式,在三角形式下，令,我们有,复数的三角形式在复数的乘除法运算中占有相当大的优势。,如考虑,欧拉公式：对于任何实数，记,则复数的乘除法运算变成,把指数函数推广到复变量的情形,一、定义,定义1,设、为实值随机变量，称=+i为,复随机变量，这里,称,为的数学期望.,复随机变量本质上是二维随机变量，相关的很多概念和,性质可以从实随机变量直接推广而得到，例如,具有与实数,学期望类似的性质.,定义2,设为实随机变量，称,为的特征函数，这里t是任意实数.,1.若为离散型，,则,2.若为连续型，其密度为p(x)，则,它就是函数p(x)的傅里叶变换.,特征函数的计算,二、常见分布的特征函数,例1退化(单点)分布P(=c)=1的特征函数f(t)=,例2二项分布B(n,p)的特征函数,例3泊松分布P()的特征函数,例4均匀分布Ua,b的特征函数,特别地n=1时,01分布的特征函数为,例5正态分布,的特征函数,例6指数分布,的特征函数,特别地,标准正态分布的特征函数为,三、性质,性质1,性质2,性质3,设=a+b,a,b是任意常数，则,性质4若,相互独立,，,的特征函数为,，则,这一性质对独立随机变量和的研究起着很大作用.,性质5,若,存在，,则f(t)是n次可微的，且当kn时,利用特征函数的性质,我们很容易求得伽玛分布和,的特征函数.,伽玛分布,分布,性质6(一致连续性定理)任何特征函数f(t)在(,)上均一致连续.,性质7f(t)是非负定的：对任意正整数n及任意实数,，复数,，有,0,这个性质是特征函数的最本质属性之一.事实上，我们有如下的,波赫纳尔辛钦(Bochner-Khinchine)定理函数f(t)为特征函数的充要条件是f(t)非负定，连续且f(0)=1.,四、逆转公式与唯一性定理,定理1（逆转公式）,设分布函数F(x)的特征函数为f(t)，又,是F(x)的两个连续点，则,分布函数可由特征函数唯一确定,定理2(唯一性定理),定理3(逆傅里叶变换),设f(t)是特征函数，且,则分布函数F(x)的导数存在且连续，此时,对应的随机变量必为连续型,例7,求证f(t)=cost是某随机变量的特征函数.并求出它的.,分布函数,f(t)=cost,解,=,这是分布列为,的随机变量的特征函数.,=,一般，若能把f(t)写成,的形式，其中,则f(t)是特征函数，它的分布列为,关于分布函数的可加性,特征函数有很多重要的应用.比如,用它来讨论分布函数的可加性将非常方便.,回忆:所谓可加性，是指若与相互独立，服从同一类型分布，则其和+也服从该类分布，且其分布中的参数是与的相应参数之和.可加性也称再生性.,例8设X和Y分别服从参数为的泊松分布,且二者独立,试证X+Y服从参数为的泊松分布.,X+Y服从参数为的泊松分布.,大家试着利用特征函数来说明一下表4.1.1中还有那些分布具有可加性?,证明:,由泊松分布的特征函数知,又X与Y相互独立,由性质4知,将结果与泊松分布的特征函数比较并结合唯一性定理即知,参数为的泊松分布的特征函数,
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