概率统计习题解答07习题一.ppt

概率统计习题解答习题一,1.写出下列事件的样本空间：（1）把一枚硬币抛掷一次；（2）把一枚硬币连续抛掷两次；（3）掷一枚硬币，直到首次出现正面为止；（4）一个庫房在某一时刻的库存量（假定最大容量为）,解：,2.掷一夥骰子的试验，观察其出现的点数，事件“偶数点”，“奇数点”，“点数小于5”“小于5的偶数点”，讨论上述各事件间的关系.,解：,为对立事件.即,互不相容；,解：,3.事件表示某个生产单位第车间完成生产任务，表示至少有两个车间完成任务，表示最多只有两个车间完成生产任务，说明事件的含义，并用表示出来.,表示最多有一个车间完成任务，即至少有两个车间没有完成任务.,注意：运算定义中有“至少”而没有“最多”,如图11，事件都相容，即把事件用一些互不相容事件的和表示出来.,解：,5.两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在，举例说明.,解：两个对立的事件一定互不相容，它们不可能同时发生，也不可能同时不发生；,两个互不相容的事件不一定是对立事件，它们只是不可能同时发生，但不一定同时不发生.,区别互不相容与对立的关键是，当样本空间只有两个事件时才可能对立.而互不相容适用于多个事件的情形.互不相容事件的特征是，在一次试验中两者可以都不发生，而对立事件必发生一个且至多发生一个.,如考试及格与不及格是互不相容事件，也是对立事件，但考试70分与80分是互不相容却不对立.,6.三个事件的积是不可能事件，即问这三个事件是否一定互不相容？画图说明.,解：不一定.,三个事件互不相容是指它们中任何两个事件均互不相容，即两两互不相容.,如图12，,7.事件相容，记说明事件的关系.,解：,要求掌握：根据相容性写出（1）用互不相容的事件表示一个事件的方法；（2）用“包含”与“被包含”关系，表达事件间的相互关系的方法.,8.袋内装有5个白球，3个黑球，从中一次任取两个，求取到两个球颜色不同的概率.,解：设事件“取到的两个球颜色不同”,试验的样本点总数为,有利于的样本点数目为,由概率公式有,9.计算上题中取到的两个球中有黑球的概率.,因此有利于事件的样本点数为,注意：当所求事件包含的基本事件“较复杂”、而它的对立事件所包含的基本事件“较简单”时，常用如例9那样的“求逆法”来解.,10.抛掷一枚硬币，连续3次，求既有正面又有反面出现的概率.,解：,设事件“連掷三次，既有正面又有反面出现”,它所包含的基本事件“较复杂”，但它的对立事件所包含的基本事件“较简单”：全部正面或全部反面。,故用求逆法：,11.10把钥匙中有3把能打开一个门锁，今任取两把，求能打开门锁的概率.,解：设事件“任取的两把锁能打开门”，显然，这有多种可能情形.但它的对立事件：“任取的两把锁不能打开门”，所包含的基本事件较简单，且基本事件数容易计算.故用求逆法来计算.,12.一副扑克牌有52张，不放回抽样，每次一张，连续抽取4张，计算下列事件的概率.（1）四张花色各异；（2）四张中只有两种花色,解：（1）,设事件“四张花色各异”,试验的基本事件总数,有利于的基本事件数,(2)设事件“四张中只有两种花色”,注意：有利于的基本事件的产生的过程：（1）在4种花色中任取二种；（2）对所取定的二种花色取牌：各取两张或一个花色取3张另一个取1张.,因此有利于的基本事件数是,思考题：求四张中至少有两种花色相同的概率.,13.口袋内装有2个五分、3个贰分、5个壹分的硬币共10枚，从中任取5枚，求总值超过壹角的概率.,解：共有10个硬币，任取5个，则基本事件总数为,有利于事件“取5个硬币，总值超过壹角”,的情形有以下两种：,（1）取2个5分，其余3个可这样取：3个贰分或2个贰分、1个壹其总数为分或1个贰分或3个壹分.其总数为,（2）取1个五分，则2分至少要取2个，其总数为,故有利于事件的基本事件总数为,14.袋中有球红、白、黑色球各一个，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率.,“三次都是红球”“全红”,“无红”，,“无白”,“无黑“，,“三次颜色全相同”,“三次颜色全不相同”，,“三次颜色不全相同”,解：由于是作有放回抽取，每次可供抽取的球都有三个.故由乘法原理知，个基本事件.,同理，,第一次可供抽取的球有3种不同的球；,第二次可供抽取的球有2种不同的球；,第三次可供抽取的球只有1种球.,15.一间宿舍内住有6位同学，求他们中有4个人的生日在同一个月份的概率.,解：设事件“6位同学中有4个人的生日在同一个月份”,因为每个同学的生日月份都有12种可能，故由乘法原理知，,有利于事件出现的过程：（1）6位中选定某4位；（2）这4位同学的生日在12个月份选定某一个月份；（3）其余2位同学的生日，都在别的11个月份选择.,16.事件互不相容，计算,解：由于事件互不相容，,17.设事件求证,证明：,解：由题设及求证的要求知，首先需求出,为此要考虑用已知概率的事件表示未知概率的事件：,19.50个产品中有46个合格品与4个废品，从中一次抽取3个，计算取到废品的概率.,解：设“取到废品”,一次抽取3个，抽到废品有多个情形，但与其对立的情形：3个都是合格品.就一种.故用求逆运算：,综上分析的取值范围是：,解：对任何事件均有,22.一个教室中有100名学生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率（设一年以365天计算）,解：设事件“至少有一人的生日是在元旦”,则“100名学生的生日都不在元旦”,23.从5副不同的手套中任取4只手套，求其中至少有两只手套配成一副的概率.,解：设事件“取出的4只手套至少有两只能配成一副”,则“取出的4只手套中任何两只均不能配成一副”.,为使取出的4只手套中没有两只能配成一副，我们先从5副手套中任取4副，然后从取出的4副手套中各取一只.因此,24.某单位有92%的职工订阅报纸，93%的人订阅杂志，在不订报纸的人中仍有85%的职工订阅杂志从单位任找一名职工求下列事件的概率：（1）该职工至少订阅一种报纸可期刊；（2）该职工不订阅杂志，但是订阅报纸.,解：设事件“任找的一名职工订阅报纸”，“任找的一名职工订阅杂志”.,由题意：,注意：善于根据题设条件，适当表达所求事件，使所求事件的概率变得容易.,25.分析学生们的数学与外语两科考试成绩，记事件“数学成绩优秀”，“外语成绩优秀”，若,解：,证明：条件概率具有概率的一切性质，故,由题设知,因此有,整理即得：,27.设独立，,解：,独立，,另解：直接使用推论3来解.,28.设事件的概率都大于0，如果独立问它们是否互不相容，为什么？,解：用反证法证明.,如果互不相容，则,而由题设独立，,故在题设条件下，不可能互不相容.,注意这里有一个重要的结论：在此题设的条件下，相互独立与互不相容不可能同时成立.,反之：在题设的条件下，如果互斥，也可用反证法证明不可能相互独立.,29.某种电子元件的寿命在1000小时以上的概率为0.8，求3个这种元件使用1000小时后，最多只坏了一个的概率.,解：设事件“第个元件在使用1000小时后没有坏”，,显然相互独立.,设事件“在使用1000小时后，三个元件最多只坏了一个”.,则,上述等式右边是四个两两互不相容事件的和,30.加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的废品率分别为0.3,0.2,0.2，并且任何一道工序是否出现废品与其他各道工序无关，求零件的合格率.,解：设事件“任取一个零件是合格品”,“第道工序是合格的”,31.某单位电话总机的占线率为0.4，其中某车间分机的占线率为0.3，假定二者独立，现在从外部打电话给该车间，求一次能打通的概率；第二次能打通的概率以及第次才能打通的概率（为任何正整数）.,则一次能打通的概率是,第二次才能打通的概率是,解：设事件“第次能打通”.,第次才能打通的概率是,32.一间宿舍中有4位同学的眼镜都放在书架上，去上课时，每人任取一副眼镜，求每个人都没有拿到自己眼镜的概率.,则,则表示至少有一人拿到自己的眼镜：,其中,33.在1,2，3000这3000个数中任取一个数，设“该数可以被整除”，求概率,解：由题意知,34.甲、乙、丙三人进行投篮练习，每人一次，如果他们的命中率分别为0.8,0.7,0.6，计算下列事件的概率：（1）只有一人投中；（2）最多有一人投中；（3）最少有一人投中.,解：设事件分别表示“甲投中”、“乙投中”、“丙投中”.,显然相互独立.,设表示“三个人中有人投中”，,由题意得，,35.甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为0.4及0.5，问誰先投中的概率大，为什么？,解：设事件分别表示“甲在第次投中”与“乙在第次投中”，,显然相互独立.,设事件“甲先投中”，则,此等式右边各项显然互不相容，,即乙先投中的概率是,故甲先投中的概率较大.,36.某高校新生中，北京考生占30%，京外其他各地考生占70%，已知在北京学生中，以英语为第一外语的占80%，而京外学生以英语为第一外语的占95%今从全校新生中任选一名学生，求该生以英语为第一外语的概率.,分析：这里所求其概率的事件与前后两个试验：（1）生源情况；（2）以英语为第一外语的情况有关.第（1）个试验的各种结果直接对第（2）个试验产生影响，要求的是第（2）个试验出现的结果.应用全概率公式，把第（1）个试验的所有可能结果设成样本空间的一个分割.,解：设事件“任选一名学生为北京考生”，则表示“任选一名学生为京外考生”.设事件“任选一名学生，以英语为第一外语”,由题意知：,注意：需用全概率公式解题的类型的判断方法及解题的方法,37.地为甲种疾病多发区，该地共有南、北、中三个行政小区，其人口比为9：7：4，据统计资料，甲种疾病在该地三个小区内的发病率依次为4%，2%，5%，求地的甲种病的发病率.,解：设事件分别表示从地任选一名居民为其南、北、中行政小区的居民，则,设表示“任选一名居民患有甲种疾病”，则,38.一个机床有三分之一的时间加工零件，其余时间，加工零件,加工零件时，停机的概率为0.3，加工零件时，停机的概率为0.4，求这个机床停机的概率.,设“机床停机”，由题意有,解：设“机床加工零件”，则“机床加工零件”，,39.有编号为、的3个口袋，其中1号袋内装有两个1号球，1个2号球，与1个3号球，号袋内装有两个1号球和1个3号球，号袋内装有3个1号球与两个2号球，现在先从1号袋内随机地抽取一个球，放入与球上号数相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，计算第二次取到几号球的概率最大.,应用全概率公式：,因此第二次取到1号球的概率最大.,40.接37题，用一种检验方法，其效果是：对甲种疾病的漏查率为5%（即一个甲种疾病患者，经此检验法未查出的概率为5%）；对无甲种疾病的人用此检验法误诊为甲种疾病患者的概率为1%，在一次健康普查中，某人经此检验法查为患有甲种疾病，计算该人确实有此病的概率.,解：设事件“受检人患有甲种疾病”，事件“受检人被查有甲种疾病”.,由37题知,所求概率是,应用贝叶斯公式解：,41.甲，乙，丙三个机床加工一批同一种零件，其加工的零件数量之比为5：3：2，各机床所加工的零件合格率，依次为94%，90%，95%，现在从加工好的整批零件中检查出一个废品，判断它不是甲机床加工的概率.,解：设事件分别表示“受检零件为甲机床加工”，“乙机床加工”，“丙机床加工”，事件表示“废品”.,由题意得：,所求问题即为：,应用贝叶斯公式，有,注意：若已知某事件已经发生，欲求在该事件发生的条件下，样本空间的划分中某一个事件发生的概率，可以用贝叶斯公式.全概率公式实质上是由原因求结果，而贝叶斯公式是由结果求原因.,42.某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车4种交通工具，其概率分别为5%，15%，30%，50%，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100%，70%，60%，与90%，已知该旅行者误期到达，求他是乘坐火车的概率.,由题意得：,所求概率是,应用贝叶斯公式，有,43.接39题，若第二次取到的是1号球，计算它恰好取自号袋的概率.,应用贝叶斯公式：,解：由39题计算知，,所求概率是,44.一箱产品100件，其次品个数从0到2是等可能的，开箱检验时，从中随机地抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收，若已知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率,解：设事件表示一箱中有件次品，,表示“抽取的10件产品中无次品”,由题意得：,所求事件的概率是,45.设一条昆虫生产n个卵的概率为,其中0，又设一个虫卵能孵化为昆虫的概率等于如果卵的孵化是相互独立的，问此虫的下一代有条虫的概率是多少？,解：设事件“一个虫下n个卵”n0，1，2，“该虫下一代有条虫”，0，1，,由题意,应用全概率公式，有,