资源描述
24.5三角形的内切圆,九年级(下册),初中数学,回顾反思,从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。,切线长定理,如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?,I,D,思考,三角形的内切圆：,与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,三角形的内心：,三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。,概念介绍,已知:如图,O是RtABC的内切圆,C是直角,三边长分别是a,b,c.求O的半径r.,Rt的三边长与其内切圆半径间的关系,探究,(1)求直角三角形内切圆的半径,P43习题25、6第5题,解（1）如图,O是RtABC的内切圆,13,求直角三角形内切圆的半径,AD=AF，CE=CF，BD=BE,a+b-c=AF+FC+CE+BE-AD-BD=CE+CF=2CE,=SAOB+SBOC+SAOC,1/2ab=1/2ra+1/2rb-1/2rc,（2）连接OA、OB、OC，则SABC,解（1）如图,O是RtABC的内切圆,13,求直角三角形内切圆的半径,AD=AF，CE=CF，BD=BE,a+b-c=AF+FC+CE+BE-AD-BD=CE+CF=2CE,=SAOB+SBOC+SAOC,1/2ab=1/2ra+1/2rb+1/2rc,（2）连接OA、OB、OC，则SABC,(2)求一般三角形内切圆的半径,已知:如图,ABC的面积为S,三边长分别为a,b,c.求内切圆O的半径r.,已知:如图,ABC的面积为S,三边长分别为a,b,c.求内切圆O的半径r.,解：连接OA、OB、OC，则,SABC=SAOB+SBOC+SAOC,S=1/2ra+1/2rb-1/2rc,例、如图，ABC中,ABC=43，ACB=61,点I是ABC的内心，求BIC的度数。,A,I,C,B,例题讲解,变式：ABC中,A=40，点I是ABC的内心，求BIC的度数。,BIC=90+A,，因为I是ABC的内心，所以IB、IC平分ABC、ACB，在IBC中BIC=1800-（IBC-ICB）=1800-（ABC+ACB）/2=1800-（430+610）/2=1280因而，BIC为1280,解：连接IB、IC,例2、已知：ABC是O外切三角形，切点为D，E，F。若BC14cm，AC9cm，AB13cm。求AF，BD，CE。,A,B,C,D,E,F,x,x,y,y,z,z,解:设AF=Xcm,BD=Ycm,CE=Zcm则AE=AF=Xcm,DC=BD=Ycm,AE=EC=Zcm,依题意得方程组,14,小练习,1.边长为3、4、5的三角形的内切圆的半径为,2.边长为5、5、6的三角形的内切圆的半径为,3.已知:ABC的面积S=4cm,周长等于10cm.求内切圆O的半径r.,1、如图，ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长。,x,13x,x,13x,9x,9x,例题分析,2、ABC的内切圆半径为r,ABC的周长为l,求ABC的面积。（提示：设内心为O，连接OA、OB、OC。）,O,A,C,B,r,r,r,若ABC的内切圆半径为r,周长为l,则SABC=lr,例题分析,知识拓展,一、直角三角形的外接圆与内切圆,1.直角三角形外接圆的圆心(外心)在_，半径为_.,a,b,c,斜边中点,斜边的一半,知识拓展,3.RtABC中,C=90,a=3,b=4,则内切圆的半径是_.,1,4.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm,则此三角形的周长是_.,22cm,2.直角三角形内切圆的圆心(内心)在_，半径r=_.,三角形内部,回顾反思,1.切线长定理,从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。,回顾反思,2.三角形的内切圆、内心、内心的性质,1、如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为()（A）50（B）52（C）54（D）56,课堂练习：,B,2、已知，如图，PA、PB是O的两条切线，A、B为切点.直线OP交O于点D、E，交AB于C.（1）写出图中所有的垂直关系；（2）如果PA=4cm,PD=2cm,求半径OA的长.,课堂练习,解：（1）OAPA，OBPB，PEAB,（2）设半径为r,则PA2=PDXPE=PD（PD+2r),解得，OA=r=3,3、试一试：如图ABC中，C90，AC6，BC8，三角形三边与O均相切，切点分别是D、E、F，求O的半径。,课堂练习,AB2=AC2+BC2=62+82=100，AB=10,证明：等边三角形的内心与外心重合，并且外接圆半径是内切圆半径的2倍,如图：等边ABC中，I为圆心，内切圆半径为r，外接圆半径为R求证：I为外心R=2r证明：连接AI、BI、CI，并延长；分别交对边于D、E、FI是内心AD、CF、BF分别是ABC的角平分线，又ABC是等边三角形，由等边三角形“三线合一”知AD、BE、CF是ABC的三条高，也是三角形的中线，I是外心：由知，BI=R，ID=r。在RtBID中IBD=1/2ABC=30ID=1/2IB，即R=2r,P43习题25、6第2题,解：设等边三角形ABC，过点A作AD垂直于BC垂点为D，过B点做BE垂直于AC垂点为EAD与BE相交于点I，连接CI，并延长CI交AB于GFAD和BE为高，而ABC是等边三角形BD=AE=1/2AC，CBE=DAC=30BEA=BDA=90BDIAEIBI=AFI，又BC=AC，CI=CIBICAICBCFACF，所以CFABID，IE，IF分别垂直于AB，BC，AC，I就是ABC的内心BI=IC，BD=CD，DI=DI。BDICDI，BF=CF。同理可得BI=CI。F为ABC的外心，且DI为内切圆半径，BI为外接圆半径，又ADBC，所以三角形BDI为直角三角形。又FBI=1/2ABC=30，ID=1/2BI,用全等三角形详解,如图，圆O为ABC的内切圆，切点为E、F、G,C=90，AO的延长线交BC于点D，AC=4,CD=1.求圆O的半径r,解：连接OF，OE，则OFCE为边长为r的正方形OEDACD故OE：ACDE：DCr：4（1r）：1解得：r45,解：连接BE，点E为ABC的内心，BAD=DAC，ABE=EBCBD=DCDAC与DBC都是弧DC所对的圆周角，DAC=DBC=BAD，EBD=CBD+CBE，BED=ABE+BAD，EBD=BEDBD=EDBD=ED=DC,4.已知，如图，在ABC中，点E是内心，延长AE交ABC的外接圆于点D，连接BD、DC、EC，求证：DB=DC=DE,2、已知：在ABC中，BC14cm，AC9cm，AB13cm，BC，AC，AB分别与O切于点D、E、F，求AF，BD和CE的长。,分析：利用切线长定理可以得到AE=AF，BF=BD，CD=CE，因而可以设AF=xcm，BD=ycm，CE=zcm，根据BC=14cm，AC=9cm，AB=13cm即可得到一个关于x，y，z的方程组，即可求解,解：设AF=xcm，BD=ycm，CE=zcmAF、AE是圆的切线AE=AF=xcm，同理：BF=BD=ycm，CD=CE=zcm根据题意得解得，即：AF=4cm，BD=9cm，CE=5cm,如图，在ABC中BC=14cm，AC=9cm，AB=13cm，内切圆O分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD、CE的长,x+y=13x+z=9y+z=14,x=4，y=9，z=5,1.已知：两个同心圆PA、PB是大圆的两条切线，PC、PD是小圆的两条切线，A、B、C、D为切点。求证：AC=BD,布置作业,3、以正方形ABCD的一边BC为直径的半圆上有一个动点K，过点K作半圆的切线EF，EF分别交AB、CD于点E、F，试问：四边形AEFD的周长是否会因K点的变动而变化？为什么？,4、如图，在梯形ABCD中，AD/BC，ABBC，以AB为直径的O与DC相切于E已知AB=8，边BC比AD大6，求边AD、BC的长。,5、已知：如图,PA、PB是O的切线，切点分别是A、B，Q为O上一点，过Q点作O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12cm，P=70,求：PEF的长和EOF的大小。,
展开阅读全文