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1 1 习题答案习题答案习题答案习题答案 第 1 章 三、解答题 1 设 P ( A B ) = 0 ，则下列说法哪些是正确的？ ( 1) A 和 B 不相容； ( 2) A 和 B 相容； ( 3) AB 是不可能事件； ( 4) AB 不一定是不可能事件； ( 5) P ( A ) = 0 或 P ( B ) = 0 ( 6) P ( A B ) = P ( A ) 解： ( 4) (6)正确 . 2 设 A ， B 是两事件，且 P ( A ) = 0.6， P ( B ) = 0 .7，问： ( 1) 在什么条件下 P ( A B ) 取到最大值，最大值是多少？ ( 2) 在什么条件下 P ( A B ) 取到最小值，最小值是多少？ 解：因为 )()()()( BAPBPAPA BP + ， 又因为 )()( BAPBP 即 .0)()( BAPBP 所以 ( 1) 当 )()( BAPBP = 时 P ( A B ) 取到最大值，最大值是 )()( APA BP = = 0.6. ( 2) 1)( =BAP 时 P ( A B ) 取到最小值，最小值是 P ( AB)=0.6+0.7-1=0.3. 3 已知事件 A ， B 满足 )()( BAPA BP = ，记 P ( A ) = p ，试求 P ( B ) 解：因为 )()( BAPA BP = ， 即 )()()(1)(1)()( A BPBPAPBAPBAPA BP += ， 所以 .1)(1)( pAPBP = 4 已知 P ( A ) = 0 .7， P ( A B ) = 0 .3，试求 )( A BP 解：因为 P ( A B ) = 0.3，所以 P ( A ) P(AB) = 0 .3, P ( A B ) = P ( A ) 0 .3, 又因为 P ( A ) = 0 .7，所以 P ( A B ) = 0 . 7 0.3=0.4， 6.0)(1)( = A BPA BP . 5 从 5 双不同的鞋子种任取 4 只，问这 4 只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？ 解：显然总取法有 41 0Cn = 种，以下求至少有两只配成一双的取法 k ： 法一：分两种情况考虑： 15Ck = 24C 212 )( C + 25C 其中： 2122415 )( CCC 为恰有 1 双配对的方法数 法二：分两种情况考虑： !2 1 6 1 815 CCCk = + 25C 2 2 其中： !2 161815 CCC 为恰有 1 双配对的方法数 法三：分两种情况考虑： )( 142815 CCCk = + 25C 其中： )( 142815 CCC 为恰有 1 双配对的方法数 法四：先满足有 1 双配对再除去重复部分： 2815 CCk = - 25C 法五：考虑对立事件： 41 0Ck = - 45C 412 )( C 其中： 45C 412 )( C 为没有一双配对的方法数 法六：考虑对立事件： !4 1 4 1 6 1 8 1 1 041 0 CCCCCk = 其中： !4 14161811 0 CCCC 为没有一双配对的方法数 所求概率为 .21134 1 0 = Ckp 6 在房间里有 1 0 个人，分别佩戴从 1 号到 10 号的纪念章，任取 3 人记录其纪念章的号码求： ( 1) 求最小号码为 5 的概率； ( 2) 求最大号码为 5 的概率 解： ( 1) 法一： 1213 1 0 2 5 = CCp ，法二： 121 3 1 0 2 5 1 3 = AACp ( 2) 法二： 2013 1 0 2 4 = CCp ，法二： 201 3 1 0 2 4 1 3 = AACp 7 将 3 个球随机地放入 4 个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为 1 ， 2 ， 3 的概率 解：设 M1 , M2 , M3 表示杯子中球的最大个数分别为 1 ， 2 ， 3 的事件，则 8 3 4)( 3 3 41 = AMP , 1694)( 3 2 4 2 32 = ACMP , 1614)( 3 1 43 = CMP 8 设 5 个产品中有 3 个合格品， 2 个不合格品，从 中不返回地任取 2 个，求取出的 2 个中全是合格品 ， 仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？ 解：设 M2 , M1 , M0 分别事件表示取出的 2 个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则 3.0)( 2 5 2 32 = CCMP , 6.0)( 2 5 1 2 1 31 = CCCMP , 1.0)( 2 5 2 21 = CCMP 9 口袋中有 5 个白球， 3 个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率 解 ： 设 M1 = “ 取 到 两 个 球 颜 色 相 同 ” ， M1 = “ 取 到 两 个 球 均 为 白 球 ” ， M2 = “ 取 到 两 个 球 均 为 黑 球 ” ， 则 = 2121 MMMMM 且 . 所以 .2813CCCC)()()()( 2 8 2 3 2 8 2 52121 =+=+= MPMPMMPMP 1 0 若在区间 (0， 1)内任取两个数，求事件 “ 两数之和小于 6 /5” 的概率 解：这是一个几何概型问题以 x 和 y 表示任取两个数，在平面上建立 xOy直角坐标系，如图 . 3 3 任取两个数的所有结果构成样本空间 = ( x ， y ) ： 0 x ， y 1 事件 A = “ 两数之和小于 6 /5” = ( x ， y ) ： x + y 6 /5 因此 25 17 1 5 4 2 11 )( 2 = = 的面积 的面积AAP 图？ 1 1 随机地向半圆 220 xaxy （ a 为常数 ） 内掷一点 ， 点落在半圆内任 何区域的概率与区域的面 积成正比，求原点和该点的连线与 x 轴的夹角小于 4 的概率 解 ： 这是一个几何概 型问题 以 x 和 y 表示随机地向半 圆内掷一点的坐标 ， 表示原点和该点 的连线与 x 轴的夹角，在平面上建立 x Oy 直角坐标系，如图 . 随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间 = (x ， y ) ： 220,20 xaxyax 事件 A = “ 原点和该点的连线与 x 轴的夹角小于 4 ” = (x ， y ) ： 40,20,20 2 xaxyax 因此 2 11 2 1 4 1 2 1 )( 2 22 += + = a aaA AP 的面积 的面积 1 2 已知 21)(,31)(,41)( = BAPABPAP ，求 )( BAP 解： ,1213141)()()( = ABPAPA BP ,6121121)|( )()( = BAP A BPBP .311216141)()()()( =+=+= A BPBPAPBAP 1 3 设 10 件产品中有 4 件不合格品 ， 从中任取两件 ， 已知所取两件产 品中有一件是不合格品 ， 则另一件 也是不合格品的概率是多少？ 解：题 中要求的 “ 已知所 取两件产品 中有一件是 不合格品， 则另一件也 是不合格品 的概率 ” 应理解 为求 “ 已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率 ” 。 设 A = “ 所取两件产品中至少有一件是不合格品 ” ， B = “ 两件均为不合格品 ” ； 3 21)(1)( 2 1 0 2 6 = CCAPAP ， 152)( 2 1 0 2 4 = CCBP ， 5 1 3 2/ 15 2 )( )( )( )()|( = AP BP AP A BPABP 1 4 有两 个箱子，第 1 箱子有 3 个白球 2 个红球 ，第 2 个箱子 有 4 个白球 4 个红球 ，现从第 1 个箱子 中 4 4 随机地 取 1 个球放 到第 2 个箱子 里，再从第 2 个箱子 中取出一个 球，此球是 白球的概率 是多少？已 知上述从 第 2 个箱子中取出的球是白球，则从第 1 个箱子中取出的球是白球的概率是多少？ 解 ： 设 A = “ 从 第 1 个 箱 子中 取 出的 1 个 球 是白 球 ” ， B = “ 从 第 2 个 箱 子中 取 出的 1 个 球 是白 球 ” ， 则 5 2)(, 5 3)( 1 5 1 2 = APCCAP ，由全概率公式得 ,45235253)|()()|()()( 1 9 1 4 1 9 1 5 =+=+= CCCCABPAPABPAPBP 由贝叶斯公式得 .23154523/53)( )|()()|( 1 9 1 5 = CCBP ABPAPBAP 1 5 将两信息分别编 码为 A 和 B 传递出去 ， 接收站收到时 ， A 被误收作 B 的概率为 0.02， 而 B 被误收作 A 的概率为 0 .01，信息 A 与信息 B 传送的频繁程度 为 2 ： 1 ，若接收站收到 的信息是 A ，问原发信息是 A 的概率 是多少？ 解：设 M = “ 原发信息是 A ” ， N = “ 接收到的信息是 A ” ， 已知 ,01.0)|(,02.0)|( = MNPMNP .32)( =MP 所以 ,99.0)|(,98.0)|( = MNPMNP ,31)( =MP 由贝叶斯公式得 .197196)01.03198.032(98.032)|()()|()( )|()()|( =+=+= MNPMPMNPMP MNPMPNMP 1 6 三人独立地去破 译一份密码 ， 已知各人能译出 的概率分别为 41,31,51 ， 问三人中至少有 一人能将此密 码译出的概率是多少？ 解：设 Ai = “ 第 i 个人能破译密码 ” ， i = 1 ,2,3. 已知 ,41)(,31)(,51)( 321 = APAPAP 所以 ,43)(,32)(,54)( 321 = APAPAP 至少有一人能将此密码译出的概率为 .534332541)()()(1)(1 221321 = APAPAPAAAP 1 7 设事件 A 与 B 相互独立，已知 P ( A ) = 0 .4， P ( A B ) = 0.7，求 )( ABP . 解：由于 A 与 B 相互独立，所以 P ( AB) =P( A ) P ( B ) , 且 P ( A B )=P ( A )+ P ( B ) - P ( A B )= P ( A )+ P ( B ) - P ( A ) P ( B ) 将 P ( A ) = 0 .4， P ( A B ) = 0.7代入上式解得 P ( B ) = 0 .5，所以 .5.05.01)(1)( )()(1)( )(1)(1)( = BPAP BPAPAP A BPABPABP 5 5 或者 , 由于 A 与 B 相互独立 , 所以 A 与 B 相互独立，所以 .5.05.01)(1)()( = BPBPABP 1 8 甲乙两人独立地 对同一目标射击一次 ， 其命中率分别为 0.6 和 0 .5， 现已知目标被命 中 ， 则它是甲射 中的概率是多少？ 解：设 A = “ 甲射击目标 ” ， B = “ 乙射击目标 ” ， M = “ 命中目标 ” ， 已知 P ( A ) = P ( B ) =1, ,5.0)(,6.0)( = BMPAMP 所以 ) .()()()()( A BPBAPBAPA BBABAPMP += 由于甲乙两人是独立射击目标，所以 .8.05.06.05.04.05.06.0)()()()()()()( =+=+= BPAPBPAPBPAPMP 75.08.0 6.01)( )|()()( )()|( = MP AMPAPMP A MPMAP 1 9 某零件用两种工艺加工 ， 第一种工艺有三道工序 ， 各道工序出现不合格品的概率分别为 0 .3， 0 .2， 0 .1； 第二种工艺有两道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为 0 .3， 0 .2，试问： ( 1) 用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些？ ( 2) 第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是 0 .3 时，情况又如何？ 解：设 Ai = “ 第 1 种工艺的 第 i 道工序出 现合格品 ” ， i=1,2,3； Bi = “ 第 2 种工艺的 第 i 道工序出 现合格 品 ” ， i = 1 ,2. （ 1 ）根据题意， P ( A1 ) =0.7， P ( A2 ) =0.8， P ( A3 ) =0.9， P ( B1 ) =0.7,P ( B2 ) =0.8, 第一种工艺加工得到合格品的概率为 P ( A1 A2 A3 )= P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) = ,5 0 4.09.08.07.0 = 第二种工艺加工得到合格品的概率为 P ( B1 B2 )= P ( B1 ) P ( B2 ) = ,56.08.07.0 = 可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。 （ 2 ）根据题意，第一种工艺加工得到合格品的概率仍为 0 .504，而 P ( B1 )=P ( B2 ) =0.7, 第二种工艺加工得到合格品的概率为 P ( B1 B2 )= P ( B1 ) P ( B2 ) = .49.07.07.0 = 可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。 1 设 两 两 相 互 独 立 的 三 事 件 A ， B 和 C 满 足 条 件 A BC = ， ,21)()()( = CPBPAP 且 已 知 16 9)( =CBAP ，求 P ( A ) 解：因为 A BC = ，所以 P ( ABC) =0, 因为 A ， B ， C 两两相互独立， ) ,()()( CPBPAP = 所以 2) (3)()()()()()()()()( APCPAPCPBPBPAPA CPBCPA BP =+=+ 由加法公式 )()()()()()()()( A BCPA CPBCPA BPCPBPAPCBAP += 得 16 9) (3)(3 2 = APAP 即 01)(4 3)(4 = APAP 考虑到 ,21)( AP 得 .41)( =AP 6 6 2 设事件 A ， B ， C 的概率都是 21 ，且 )()( CBAPA BCP = ，证明： 2 1)()()()(2 += BCPA CPA BPA BCP 证明：因为 )()( CBAPA BCP = ，所以 ) ()()()()()()(1)(1)( A BCPA CPBCPA BPCPBPAPCBAPA BCP += 将 2 1)()()( = CPBPAP 代入上式得到 ) ()()()(231)( A B CPA CPB CPA BPA B CP += 整理得 .21)()()()(2 += A CPB CPA BPA B CP 3 设 0 P ( A ) 1 ， 0 P ( B ) = ekkXP k 为参数， k = 0 ， 1 ， 4 . +1 1 5 . = 其它 ,0 ,1)( bxaabxf 6 . + = xexf x ,21)( 2 2 2 )( 7 . + = xex x ,21)( 2 2 8 . )()( ab 9 . X -1 1 2 pi 0.4 0.4 0 .2 分析： 由题意，该 随机变量为 离散型随机 变量，根据 离散型随机 变量的分布 函数求法， 可观察出随 机变 量的取值及概率。 1 0. 649 分析： 每次观察下 基本结果 “ X 1/2” 出现的 概率为 412)( 21021- = x dxdxxf ，而本 题对随机变 量 X 取值 的观察可看作是 3 重伯努利实验，所以 649)411()41(2 23223 = CYP 1 1. 7257.0)2 12.2(2 12.22 12.2 = = XPXP null , ,8950.01)3.1()4.2()3.1()4.2( )2 16.1()2 18.5(2 18.52 12 16.15.86.1 =+= = = XPXP null 同理， P | X | 3 .5 =0.8822. 1 2. )3 1(3 113)( = =+= yFyXPyXYPyG . 1 3. 4813 ，利用全概率公式来求解： 10 10 .4813414141314121410 442332 2221122 =+= =+=+ =+= XPXYPXPXYP XPXYPXPXYPYP 二、单项选择题： 1 . B ，由概率密度是偶函数即关于纵轴对称，容易推导 F ( -a)= dxxfdxxfdxxfdxxfdxxf aa = 00a-0a-0 )(21)(-21)(-)()( 2 . B ，只有 B 的结果满足 1)(l i m)( =+ + xFF x 3 . C ，根据分布函数和概率密度的性质容易验证 4 . D ， = = = ye y ydxe y yyXP yyYPyF yx yY ， 可以看出，分布函数只有一个间断点 . 5 . C, 事件的概率可看 作为事件 A （ 前三次独立重复 射击命中一次 ） 与事件 B （ 第四次命中 ） 同时发生的概率 ， 即 pppCBPAPA BPp = 2313 )1()()()( . 三、解答题 （ A ） 1 ( 1) X 1 2 3 4 5 6 pi 3611 369 367 365 363 361 分析：这 里的概率均为古典 概型下的概率， 所有可能性结果共 3 6 种，如果 X =1，则表明 两次中至少有一点 数 为 1 ，其余 一个 1 至 6 点均可 ，共有 1-612 C （这里 12C 指任选 某次点数为 1 ， 6 为另一 次有 6 种结果 均 可 取 ， 减 1 即 减 去 两 次 均 为 1 的 情 形 ， 因 为 612 C 多 算 了 一 次 ） 或 1512 +C 种 ， 故 361136 1536 1-61 1212 =+= CCXP , 其他结果类似可得 . ( 2) 11 11 =+=+=+=+= =+=+=+= =+=+= =+= = = 6 1 6554321 54 4321 43 321 3221 211 1 0 )( x xXPXPXPXPXP xXPXPXPXP xXPXPXP xXPXP xXP x xF = 6 1 653635 54 3632 43 3627 323620 213611 1 0 x x x x x x x 2 - 1 9 9 i 126 125 126 1 注意，这里 X 指的是赢钱数， X 取 0 -1 或 1 00-1，显然 1261299 5 1 0 = CXP . 3 1! 0 = = aeka k k ，所以 = ea . 4 ( 1) = =+= = = 3x1 3243 2141 - 1x0 3x1 3221 211 - 1x0 )( x x xXPXP xXPxf ， ( 2) 41121 = XpXP 、 2122523 = XPXP 、 43323232 =+= XPXPXXPXP ； 12 12 5 ( 1) 31 2 11 2 11 2 1 l i m212121 2 22 242 = =+= iiiXP ， ( 2) 16116151415 = XPXP ， ( 3) 71 2 11 2 11 2 1 l i m213 3 33 1 3 = = = i ii iXP. 6 ( 1) ( ) ( )5.15.0 PtPX = 5.10 = eXP . ( 2) 5.25.0 =t 5.21011 = exPxP . 7 解：设射击的次数为 X ，由题意知 ( ).20400 ，BX kkk kCXPXP = 4 0 01 0 4 0 0 98.002.01112 9972.028.01!81 81 0 = = ekk K ，其中 8=400 0 .02. 8 解：设 X 为事件 A 在 5 次独立重复实验中出现的次数， ( ).305BX 则指示灯发出信号的概率 )7.03.07.03.07.03.0(1313 322541155005 CCCXPXPp += eFXP ， ( )25 eBY 则 50,1,k,)1()( 5225 = kkk eeCkYP 0.5167110-11 52 = eYPYP 1 0. ( 1)、由归一性知： + = 2 2 2c os)(1 ax dxadxxf ，所以 21=a . ( 2)、 42|s i n21c os2140 4040 = xx dxXP . 1 1. 解 （ 1 ）由 F ( x ) 在 x = 1 的连续性可得 )1()(l i m)(l i m 11 FxFxF xx = + ，即 A=1. （ 2 ） = 7.03.0 XP 4.0)3.0()7.0( = FF . （ 3 ） X 的概率密度 = nullnull,0 10,2)()( xxxFxf . 1 2. 解 因为 X 服从（ 0 ， 5 ）上的均匀分布，所以 = 其他0 5051)( xxf 若方程 0244 22 =+ XX xx 有实根，则 03216)4( 2 = XX ，即 13 13 nullnull 12 XX ，所以有实根的概率为 535105112 52152 =+=+= xd xd xXPXPp 1 3. 解 : (1) 因为 4)( 3NX 所以 )2()5(52 FFXP = XPXP )3(1 F= )0(1 = 5.01 = 5.0= ( 2) cXPcXP = 1 ，则 21= cXP 21)2 3()( = ccF ，经查表得 2 1)0( = ，即 0 2 3 =c ，得 3=c ；由概率密度关于 x =3 对称也容易看出。 ( 3) dXPdXP = 1 )(1 dF= 9.0)2 3(1 = d ， 则 1.0)2 3( d ，即 9.0)2 3-( d ，经查表知 8997.0)28.1( = ， 故 28.12 3- d ，即 4 4.0d ； 1 4. 解： kXPkXP = 1 kXkP = 1 )()(1 kk += )(22 k= 1.0= 所以 95.0)( = k ， 95.0)()( = kkFkXp ；由对称性更容易解出； 1 5. 解 ),( 2NX 则 += = y yyyf y Y ； 1 8. 解 )1,0( UX ， nullnull 1001)( = xxf ， yxpyYpyFY = 1)( )1(1 yF = ， Y 0 1 4 9 p 5 1 30 7 5 1 30 11 Y 0 1 2 3 p 5 1 30 7 5 1 30 11 15 15 所以 = = )1()( 0 , 101 ,0 , 1101 , yyyfyf XY 1 9. 解： )2,1(UX ，则 其他 2101)( y 时， )( yFY )l n21(l n21 yFyXP X= = ， 42 42 02 1 )l n21( 02 1)l n 2 1()()( exey exeyfyFyFyf X YY = = 2 0. 解 : (1) yXPyYPyFY = 3)( 11 = yXP 31 )31( yFX= )31(31)31()()( 11 yfyFyFyf XYY = 因为1102 3)( 2 = xxxf X 所以 )31(31)(1 yfyf XY = , 1311, 018 1 2 = yy , 33, 018 1 2 = yy ( 2) )3(133)( 22 yFyXPyXPyYPyF XY = ， )3() 3(1)()( 22 yfyFxFyf XXYY = 因为1102 3)( 2 = xxxf X ， 所以 )3()(2 yfyf XY = = 0, 131,)3(23 2 yy += y yyfyfyyf XX Y ， 因为1102 3)( 2 = xxxf X ， 所以, 10,02 3)( 3 = yyyf Y 四应用题 1 解：设 X 为同时打电话的用户数，由题意知 ( ).20,10 nullBX 设至少要有 k 条电话线路才能使用户再用电话时能接通的概率为 0 .99，则 99.0!8.02.0 00 1 0 1 0 = = = k i ik i iii e iCkXP ，其中 ,2= 查表得 k=5. 2 解： 该问题可以 看作为 1 0 重伯努 利试验，每 次试验下经 过 5 个小时 后组件不能 正常工作这 一基本结果 的 概率为 1- 4.0e ，记 X 为 1 0 块组件中不能正常工作的个数，则 )1,10( 4.0 eBX ， 5 小时后系统不能正常工作，即 2X ，其概率为 .8916.0 )()1()()1(1 112 11 04.014.01 1 0 1 04.004.00 1 0 = = = eeCeeC XPXP 3 解：因为 )40,20( 2NX ，所以 )30()30(303030 = FFXPXP 3 14 9.0 18 9 4 4.05 1 8 7.0 1)2 5.1()2 5.0( )4 0 2 03 0()4 02 03 0( = += += = 设 Y 表示三次测量中误差绝对值不超过 30 米的次数，则 )4931.0,3( BX ， ( 1) 8698.00.5069-1)4931.01(4931.01011 33003 = CYPYP . ( 2) 3801.05069.04931.01 2113 = CYP . 4 解： 当 0y 时， yY 是不可能事件，知 0)( =yF ， 17 17 当 20 y 时， Y 和 X 同分布 , 服从参数为 5 的指数分布 ，知 50 5 151)( yy x edxeyF = ， 当 2y 时， yY 为必然事件 , 知 1)( =yF ， 因此， Y 的分布函数为 + = 6,1 63) ,3(9231 31,31 10,31 0,0 )( x xx x xx x xF 32= kXP，即 31)( =kF ，易知 31 k ； 2 . 解： X 服从 ）（ 2,1 的均匀分布，21 03 1)( = xxf ，又 , , 0 0 1 1 = X XY 则 3231)(01 2020 = xd xxfXPYP ， 3 10-101 = XPXPYP 所以 Y 的分布律为 2Y -1 1 P 31 32 18 18 3 . 解： )1 (1)1(1)( 333 yFyXPyXPyF XY = ， 32333 )1()1(3)1()1()1 (1)()( yfyyyfyFyFyf XXYY = Ryy y + = , )1(1 )1(3 6 2 ； 4 . 证明：因 )( xf x 是偶函数，故 )()( xfxf xx = ， 1)( yXPyXPyXPyYPyFY = )(1 yFx = 所 以 )()()()( yfyfyFyf xxYY = . 5 . 解：随机变量 X 的分布函数为 = 8 ,1 81 ,1- 1 , 0 )( 3 x xx x xF ，显然 1,0)( xF ， )()( yXFPyYPyFY = ， 当 0y 时， )( yXF 是不可能事件，知 0)( =yF Y ， 当 10 y 时， yyXPyXPyFY =+= )1(1)( 33 ， 当 1y 时， )( yXF 是必然事件，知 1)( =yF Y ， 即 1 时， 2 1 2 1 0 -12 1-)( 1 yy x Y edxe yXPyF = ， 所以 1 1,02 1)( 21 1 = y y eyf y Y ； （ 2 ） )( 22 yePyYPyF XY = ， 当 0y 时， ye X 为不可能事件，则 0)(2 = yePyF XY ， 当 10 y 时， 0l n y ，则 ydxeyXPyF y xY 11l n)( l n02 = ， 19 19 根据 )()( 22 yFyf YY = 得 = 1,1 1 ,0)( 22 yy y yf Y ； （ 3 ） )( 233 yXPyYPyFY = ， 当 0y 时， 0)( 23 = yXPyFY ， 当 0y 时， yy xY edxeyXyPyXPyF = 1)( 023 ， 所以 = 0, 2 0 ,0 )(3 y y e y yf yY ； 7 . ( 1) 证明：由题意知 00,02)( 2 = x xexf x 。 2121 1 yePyYPyFeY XYx = ， 当 0y 时， 01 =）（ yFY 即 01 =yf Y ， 当 10 nully 时， ydxeyXPyePyF y xXY = = + 2 l n 22 22 l n)( 1 ， 当 1y 时， 122l n)( 0 21 = = + dxeyXPyF xY ， 故有 nullnull 10,01)(1 = yyf Y ，可以看出 1Y 服从区间（ 0 ， 1 ）均匀分布； （ 2 ） -1-1)( 221222 2 yePyePyYPyFeY XXYx = 当 01 y 时， 1-1)( 22 = yePyF xY ， 当 110 y 时， ydxeyXPyePyF y xXY = = 2 )1l n (0 22 22 )1l n(-1)(2， 当 11 y 时， 002 )1l n(-1)( 2 )1l n (22 = = dxyXPyePyF yXY ， 由以上结果，易知 nullnull 10,01)(2 = yyf Y ，可以看出 2Y 服从区间（ 0 ， 1 ）均匀分布。 第三章 1 解： ( X , Y ) 取到的所有可能值为 ( 1,1),(1,2),(2,1)由乘法公式： P X = 1,Y =1=P X = 1P Y = 1|X =1|=2/3 1/2=/3 20 20 同理可求得 P X = 1,Y = 1=1/3;P X = 2,Y = 1=1/3 ( X , Y ) 的分布律用表格表示如下 ： Y X 1 2 1 1 /3 1 /3 2 1 /3 0 2 解： X ， Y 所有可能取到的值是 0 , 1 , 2 ( 1) P X=i, Y = j =PX = i PY = j | X = i |= , i , j = 0,1,2,i + j 2 或者用表格表示如下： Y X 0 1 2 0 3 /28 6 /28 1/28 1 9 /28 6 /28 0 2 3 /28 0 0 ( 2)P(X,Y) A=PX+Y 1=PX=0,Y =0+PX=1,Y=0+PX=0,Y=0=9/14 3 解： P (A)=1/4,由 P(B|A)= 2/14/1 )()( )( = A BPAP A BP 得 P (AB)=1/8 由 P(A|B)= 2/1)( )( =BP A BP 得 P (B)=1/4 ( X,Y)取到的所有可能数对为 ( 0,0),(1,0),(0,1),(1,1),则 P X=0,Y=0=) )( BAP =P( ( A)-P(B)+P(AB)=5/8 P X=0,Y=1=P(B)=P(B-A)=P(B)-P(AB)=1/8 P X=1,Y=0=P(A) =P(A-B)=P(A)-P(AB)=1/8 P X=1,Y=1=P(AB)=1/8 4 . 解： ( 1)由归一性知： 21 21 1 = , 故 A=4 ( 2)PX=Y=0 ( 3)PXY= ( 4) F (x,y)= 即 F(x,y)= 5 . 解 ： P X+Y 1 = 7265)3(),( 10 21 2 1 =+= + dydxx yxdxdyyxf x yx 6 解 ： X 的所有可能取值为 0,1,2,Y的所有可能取值为 0,1,2, 3 . P X=0,Y=0=0.53 =0.125; 、 P X=0,Y=1=0.53 = 0.125 P X=1,Y=1= 25.05.05.0 212 =C , PX=1,Y=2= 25.05.05.0 212 =C P X=2,Y=2=0.53 =0.125, P X=2,Y=3=0.53 = 0.125 X ,Y 的分布律可用表格表示如下 ： Y X 0 1 2 3 Pi . 0 0.125 0.125 0 0 0 .2 5 1 0 0.25 0 .25 0 0 .5 22 22 2 0 0 0 .12 5 0.125 0 .2 5 P .j 0.125 0.375 0 .37 5 0.125 1 7 . 解： = ,0 0,),( yxeyxf y = = + + 0,0 0, 0,0 0,),()( x xe x xdyedyyxfxf x x y X = = + 0,0 0, 0,0 0,),()( 0 y yy e y ydxedxyxfyf yy y Y 8 . 解： = 0,0 1,),( 22 x yxyc xyxf ( 1) 214212),(1 10 4211 1 22 cdxxxcy dydxc xdxdyyxf x = + + 所以 c = 21/4 ( 2) = = + ,0 1|,8 )1(21 0 1|,421),()( 421 22 xxxxy dyxdyyxfxf x X = = + ,0 1027 0 10421),()( 2 5 2 yyyy dxxdxyxfyf y yY 9 解： 2|l n1 22 11 = eeD xdxxS ( X , Y ) 在区域 D 上服从均匀分布，故 f ( x , y ) 的概率密度为 = 0 ),(,21),( Dyxyxf = + ,0 1,21),() 210 X exdydyyxfxf x 23 23 = = = + 1 0 ,0 ) ,11(2121 ,2 121 ),() 2 2 1 1 1 2 X 2 ye ey ydx edx dxyxfxf y e 1 0 解： = xfxf yxfxyf X X XY = + ,0 10,233),()( 20 xxx dydyyxfxf x X 当 0x 1 时， = ,0 0, 2 33 )( ),()|( 2 | xyxx xf yxfxyf X XY 即， = ,0 10,2)|( | xyxxyf XY 1 1 解： = += + 0,1 0,1),()( 1 1 yydx yydxdxyxfyf y y Y 当 y 0 时， 0 时， = ,0 ,10,1 1 )( ),()|( | xyxxy xf yxfyxf Y YX 24 24 所以， = ,0 1|0,|1 1 )( ),()|( | xyy xf yxfyxf Y YX 1 2 解：由 )( ),()|(| xf yxfyxf Y YX = 得 = 0,0 0,1)( x xexf x X = 0,0 0,1)( y yeyf y Y 由独立性得 X ， Y 的联合概率密度为 = + ,0 0,0,1),( 2 yxeyxf yx 则 P Z =1=P X Y = 211),( 0 0 2 = + + x yx yx dydxedxdyyxf P Z = 0=1-P Z =1=0.5 25 25 故 Z 的分布律为 Z 0 1 Pk 0.5 0 .5 1 5 解： += ,0 1,1),( 22 yxyxf = + 0 1|,121),()( 2 22 1 1 2 xxdydyyxfxf x xX 同理， = 0 1|,12)( 2 yyyf Y 显然， )()x( yff YX ，所以 X 与 Y 不相互独立 . 1 6 解： ( 1) =,0 10,1)( xxf X =,0 10,1)(Y yyf 利用卷积公式： + = dxxzfxfzf YXZ )()()( 求 fZ(z) )()( xzfxf YX = +,0 1,10,1 xzxx = = = +21 10 ,0 2 , )()()( 1 1 0 z z zdx zdx dxxzfxfzf z z YXZ ( 2) = 0,0 0,)( Y y yeyf y 利用卷积公式： + = dyyfyzfzf YXZ )()()( += ,0 1,0,)()( yzyyeyfyzf y YX 26 26 + = dyyfyzfzf YXZ )()()( = 0 显然， )()x( yff YX ，所以 X 与 Y 不相互独立 ( 2).利用公式 + = dxxzxfzf XZ )()( = += + ,0 ,0,21 ,0 0,0,)(21),( )( xzxz exzxexzxxzxf zxzx X + = dxxzxfzf XZ )()( = 0,0 0,210,0 0,21 20 zzezzzdxz e zz z 1 9 解：并联时，系统 L 的使用寿命 Z = maxX , Y 因 X E ( ),Y E ( ),故 = 0,0 0,1)( x xexf x X = 0,0 0,1)( y yeyf y Y = 0,0 0,1)( x xexF xX = 0,0 0,1)( y yeyF y Y = 0,0 0) ,1) (1()()()( z zeezFzFzF zz YXZ += + 0,0 0,)11(11)( 11 z zeeezf z zz Z 27 27 串联时，系统 L 的使用寿命 Z = minX , Y = + 0,0 0,1) (1) (11)( 11 z zezFzFzF zYXZ += + 0,0 0,11)( 11 z zezf z Z (B)组 1 解： P X =0=a +0.4, P X + Y =1=P
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