导数的切线问题

.利用导数求切线方程知识归纳：1. 求曲线在某点处的切线方程若函数在处的导数值为，则曲线在点Q处的切线斜率为，切线方程为。 2. 求曲线过某点的切线方程设切点为点Q，由切线斜率为，得切线方程为，利用切线过已知点，将已知点的坐标代入求出，进而写出切线方程。3.导数切线模型：（1）切点既在曲线上又在切线上（2）切点处的导数等于切线的斜率.（3）切线与曲线可能不止一个公共点。（4）曲线yf（x）“在点P（x0，y0）处的切线”与“过点P（x0，y0）的切线”的区别与联系 曲线yf（x）在点P（x0，y0）处的切线是指P为切点，切线斜率为kf（x0）的切线，是唯一的一条切线。 曲线yf（x）过点P（x0，y0）的切线，是指切线经过P点。点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条。常见题型：（一） 在点问题例1 已知函数f(x)在R上满足fx=2f2-x-x2+8x-8,则曲线y=f(x)在点（1，f1）处的切线方程是 方法一：解：f（x）=2f（2-x）-x2+8x-8，f（2-x）=2f（x）-（2-x）2+8（2-x）-8=2f（x）-x2+4x-4+16-8x-8将f（2-x）代入f（x）=2f（2-x）-x2+8x-8，得f（x）=4f（x）-3x2，f（x）=x2，f（x）=2x，设y=f（x）在点(x0，x02)处的切线斜率为2则2x0=2，得x0=1，即切点为（1，1），所以切线方程为y-1=2x-1方法二：抽象函数，复合求导例2 已知是实数，函数。若，求的值及曲线在点处的切线方程。 答案：切线方程为。（二）过点问题：例3 已知曲线C：，求过点P（2，4）且与曲线C相切的直线方程。 思路分析：由于点P在曲线上，所以过点P的切线可能就是以点P为切点，也可能点P不是切点，所以需分类讨论。答案：解： P（2，4）在曲线上，当切点为P（2，4）时， ，过点P（2，4）的切线方程为;当切点不是P（2，4）时，设切点为，则，又（）， ，即，又，即，又切点为，过点P（2，4）的切线方程为。 综上所述得，过点P（2，4）的切线方程为或。 （二） 切线不等式例 已知函数fx=1lnx+1-x，则f(x)的大致图像是（）例 已知函数fx=1ex-2x-1，则f(x)的图像大致为（）（四）切线的条数：例1 过点A(2,0)作曲线fx=x3-3x的切线最多有（）A3条 B.2条 C.1条 D.0条.方法一：解：设设切点为P（x0，x03x0），则f(x0)3x021，则切线方程yx03+x0(3x021)(xx0)，代入A（2，1）得，2x036x02+30令y2x036x02+3，则y6x0212x0由y=0，得x0=0或x0=2，且当x0=0时，y=30，x0=2时，y=-50所以方程2x036x02+30有3个解，则过点A（2，1）作曲线f（x）=x3-x的切线的条数是3条故选A方法二 ：三次函数的相关性质例2 已知函数与 （）的图象有且仅有一个公共点，则_思路分析：同一直角坐标系下画出函数与（）的图象，如下：函数与（）互为反函数，它们的图象关于直线对称，因此函数与 （）的图象有且仅有一个公共点的图象与直线相切，然后从原函数角度和导函数角度分别研究切点。解：函数与 （）的图象有且仅有一个公共点的图象与直线相切.设切点为，由切点既在上又在直线上可得：由导数的几何意义可知：，即：由得：，代入到所求式子中，将式代入上式，得: 答案：（五）两条曲线的公切线例1 若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线也是y=ln(x+1)的切线，求b的值.例 已知函数，。若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线。（1）求的值；（2）求出公共切线方程。思路分析：解本题的突破口在于如何利用好这个交点。交点既在的图象上，也在的图象上，同时由在此点处的切线为公共切线可导出，联立方程组求出的值。 答案：解：（1）交点在上，又交点在上，由题意，联立式解得：。 （2）设切线的斜率为，切线方程为，即。（六）切线的应用：例 已知函数fx=x2-lnx,求函数f(x)上的点到直线x-y-2=0的最小距离.答案：2例 设点P在曲线y=12ex上，点Q在曲线y=ln(2x)上，则|PQ|的最小值为A. 1-ln2 B.2 (1-ln2) C. 1+ln2 D. 2 (1+ln2)例 若实数a,b,c,d满足（b+a2-3lna)2+(c-d+2)2=0,则（a-c)2+(b-d)2的最小值为（）A. 2 B.8 C. 22 D. 2解：实数a、b、c、d满足：|b+a2-3lna|+(c-d+2)2=0则有：b+a2-3lna=0,设b=y,a=x,则有：y=3lnx-x2c-d+2=0,设c=x,d=y,则有：y=x+2所以：(a-c)2+(b-d)2就是曲线y=3lnx-x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值对曲线y=3lnx-x2求导：y(x)=3/x-2x与y=x+2平行的切线斜率k=1=3/x-2x解得：x=1（x=-3/20不符合舍去）x=1代入y=3lnx-x2得：y=-1所以：切点为（1,-1）切点到直线y=x+2的距离：L=|1+1+2|/(12+12)=22所以：L2=8所以：(a-c)2+(b-d)2的最小值就是8（答题时间：20分钟）一、选择题. 曲线y在点（1，1）处的切线方程为（）A. xy20B. xy20C. x4y50D. x4y50. 已知直线yx1与曲线相切，则的值为（ ） A. 1B. 2C. 1D. 23. 若直线ykx与曲线yx33x22x相切，则实数k的值为（ ）A. 2 B. 2 C. D. 2或*4. 已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. *5. 已知函数其图象在点（1，）处的切线方程为，则它在点处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 二、填空题1. 曲线的切线中，斜率最小的切线方程为_。2. 曲线在点处的切线方程为_。3. 曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为 。4. 过点作曲线的切线，则切线方程为_。5. 函数的图象在处的切线在x轴上的截距为 。三、解答题*1. 求过曲线上任意一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积。*2. 已知函数，求函数f（x）在处的切线方程。*3. 已知曲线，求曲线过点P（2，4）的切线方程。一、选择题1. B 解析：，切线的斜率1，切线方程为，即。2. B 解析：设切点，则，根据题意知直线与曲线相切， 。故选B。3. D 解析：设切点为，则斜率，联立方程，得。又，解得且，或且。故选D。4. D 解析：因为，为曲线在点P处的切线的倾斜角，。，。故选D。5. A 解析：利用切点的双重性既在曲线上又在切线上求出，利用函数解析式求出，通过排除法得到选项。图象在点处的切线方程为，。，点即为点，在点处的切线过点将代入选项通过排除法得到点只满足方程，故选A。二、填空题1. 解析：，当时，取最小值为3，所以斜率最小的切线方程为，即。2. 解析：，所以曲线在点处的切线方程为，即。3. 和 解析：设切点为，。把，代入曲线得；把，代入曲线得。所以切点坐标为或。4. 或 解析：因为，设切点为，则切线斜率为，切线方程为 ，又过点，即，整理得，即 ，即，所以或，所以切线方程为或。5. 解析：，当。三、解答题1. 解：曲线上任意一点处的切线方程为，与两坐标轴的交点分别为、，所以面积为。2. 解：因为，所以切线方程为，即。3. 解：函数，设曲线与过点P（2，4）的切线相切于点A，则切线的斜率为。切线方程为，即。 点P（2，4）在切线上，即，（x01）（x02）20，解得x01或x02，故所求的切线方程为xy20或4xy40。