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.习题3-3 1. 按(x-4)的幂展开多项式x4-5x3+x2-3x+4. 解 设f(x)=x4-5x3+x2-3x+4. 因为 f(4)=-56, f (4)=(4x3-15x2+2x-3)|x=4=21, f (4)=(12x2-30x+2)|x=4=74, f (4)=(24x-30)|x=4=66, f (4)(4)=24, 所以 =-56+21(x-4)+37(x-4)2+11(x-4)3+(x-4)4. 2. 应用麦克劳林公式, 按x幂展开函数f(x)=(x2-3x+1)3. 解 因为 f (x)=3(x2-3x+1)2(2x-3), f (x)=6(x2-3x+1)(2x-3)2+6(x2-3x+1)2=30(x2-3x+1)(x2-3x+2), f (x)=30(2x-3)(x2-3x+2)+30(x2-3x+1)(2x-3)=30(2x-3)(2x2-6x+3), f (4)(x)=60(2x2-6x+3)+30(2x-3)(4x-6)=360(x2-3x+2), f (5)(x)=360(2x-3), f (6)(x)=720; f(0)=1, f (0)=-9, f (0)=60, f (0)=-270, f (4)(0)=720, f (5)(0)=-1080, f (6)(0)=720, 所以 =1-9x+30x3-45x3+30x4-9x5+x6. 3. 求函数按(x-4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式. 解 因为 , , , , ,所以 (0q1). 4. 求函数f(x)=ln x按(x-2)的幂展开的带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式. 解 因为 f (x)=x-1, f (x)=(-1)x-2, f (x)=(-1)(-2)x-3 , , ; (k=1, 2, , n+1), 所以 . 5. 求函数按(x+1)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式. 解 因为 f(x)=x-1, f (x)=(-1)x-2, f (x)=(-1)(-2)x-3 , , ; (k=1, 2, , n), 所以 (0q1). 6. 求函数f(x)=tan x的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公式. 解 因为 f (x)=sec2x, f (x)=2sec xsec xtan x=2sec2xtan x, f (x)=4sec xsec xtan2x+2sec4x=4sec2xtan2x+2sec4x, f (4)(x)=8sec2xtan3x+8sec4xtan x+8sec4xtan x; f(0)=0, f (0)=1, f (0)=0, f (0)=2, 所以 (0q0); (3); (4); (5) y=(x-1)(x+1)3; (6); (7) y=xne-x (n0, x0); (8)y=x+|sin 2x|. 解 (1) y=6x2-12x-18=6(x-3)(x+1)=0, 令y=0得驻点x1=-1, x2=3. 列表得x(-, -1)-1(-1, 3)3(3, +)y+0-0+y 可见函数在(-, -1和3, +)内单调增加, 在-1, 3内单调减少. (2) ,令y=0得驻点x1=2, x2=-2(舍去). 因为当x2时, y0; 当0x2时, y0, 所以函数在(0, 2内单调减少, 在2, +)内单调增加. (3), 令y=0得驻点, x2=1, 不可导点为x=0. 列表得x(-, 0)0(0, )(, 1)1(1, +)y-不存在-0+0-y0 可见函数在(-, 0), , 1, +)内单调减少, 在上单调增加. (4)因为, 所以函数在(-, +)内单调增加. (5) y=(x+1)3+3(x-1)(x+1)2. 因为当时, y0, 所以函数在内单调减少, 在内单调增加. (6), 驻点为, 不可导点为, x3=a . 列表得xa(a, +)y+不存在+0-不存在+y 可见函数在, , (a, +)内单调增加, 在内单调减少. (7)y=e-xxn-1(n-x), 驻点为x=n. 因为当0x0; 当xn时, y0时, ; (2)当x0时, ; (3)当时, sin x+tan x2x; (4)当时, ; (5)当x4时, 2xx2; 证明 (1)设, 则f (x)在0, +)内是连续的. 因为 , 所以f (x)在(0, +)内是单调增加的, 从而当x0时f (x)f (0)=0, 即 , 也就是 . (2)设, 则f (x)在0, +)内是连续的. 因为 , 所以f (x)在(0, +)内是单调增加的, 从而当x0时f(x)f(0)=0, 即 , 也就是 . (3)设f(x)=sin x+tan x-2x, 则f(x)在内连续, f (x)=cos x+sec2x-2. 因为在内cos x-10, cos2x-10, -cos x0, 从而f(x)在内单调增加, 因此当时, f(x)f(0)=0, 即 sin x+tan x-2x0, 也就是 sin x+tan x2x. (4)设, 则f(x)在内连续, . 因为当时, tan xx, tan x+x0, 所以f (x)在内单调增加, 因此当时, f(x)f(0)=0, 即 , 也就是 . (5)设f(x)=x ln2-2ln x, 则f (x)在4, +)内连续, 因为 , 所以当x4时, f (x)0, 即f(x)内单调增加. 因此当x4时, f(x)f(4)=0, 即x ln2-2ln x0, 也就是2xx2. 5. 讨论方程ln x=ax (其中a0)有几个实根？ 解 设f(x)=ln x-ax. 则f(x)在(0, +)内连续, , 驻点为. 因为当时, f (x)0, 所以f(x)在内单调增加; 当时, f (x)0); (4) y=x arctan x ; 解 (1)y=4-2x, y=-2, 因为y0, 所以曲线在(-, +)内是凸的. (2)y=ch x, y=sh x. 令y=0, 得x=0. 因为当x0时, y=sh x0时, y=sh x0, 所以曲线在(-, 0内是凸的, 在0, +)内是凹的. (3), . 因为当x0时, y0, 所以曲线在(0, +)内是凹的. (4),. 因为在(-, +)内, y0, 所以曲线y=xarctg x在(-, +)内是凹的. 8. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: (1).y=x3-5x2+3x+5 ; (2) y=xe-x ; (3) y=(x+1)4+ex ; (4) y=ln(x2+1); (5) y=earctan x ; (6) y=x4(12ln x-7), 解 (1)y=3x2-10x+3, y=6x-10. 令y=0, 得. 因为当时, y0, 所以曲线在内是凸的, 在内是凹的, 拐点为. (2)y=e-x-xe-x, y=-e-x-e-x+xe-x=e-x(x-2). 令y=0, 得x=2. 因为当x2时, y2时, y0, 所以曲线在(-, 2内是凸的, 在2, +)内是凹的, 拐点为(2, 2e-2). (3)y=4(x+1)3+ex, y=12(x+1)2+ex . 因为在(-, +)内, y0, 所以曲线y=(x+1)4+ex的在(-, +)内是凹的, 无拐点. (4), . 令y=0, 得x1=-1, x2=1. 列表得 x(-, -1)-1(-1, 1)1(1, +)y-0+0-yln2拐点ln2拐点 可见曲线在(-, -1和1, +)内是凸的, 在-1, 1内是凹的, 拐点为(-1, ln2)和(1, ln2). (5),. 令y=0得, . 因为当时, y0; 当时, y0, 所以曲线y=earctg x在内是凹的, 在内是凸的, 拐点是. (6) y=4x3(12ln x-7)+12x3, y=144x2ln x. 令y=0, 得x=1. 因为当0x1时, y1时, y0, 所以曲线在(0, 1内是凸的, 在1, +)内是凹的, 拐点为(1, -7). 9. 利用函数图形的凹凸性, 证明下列不等式: (1) (x0, y0, xy, n1); (2); (3) (x0, y0, xy). 证明 (1)设f(t)=tn, 则f (t)=ntn-1, f (t)=n(n-1)t n-2. 因为当t0时, f (t)0, 所以曲线f(t)=t n在区间(0, +)内是凹的. 由定义, 对任意的x0, y0, xy有 , 即 . (2)设f(t)=et, 则f (t)=et, f (t)=et . 因为f (t)0, 所以曲线f(t)=et在(-, +)内是凹的. 由定义, 对任意的x, y(-, +), xy有 , 即 . (3)设f(t)=t ln t , 则 f (t)=ln t+1, . 因为当t0时, f (t)0, 所以函数f(t)=t ln t 的图形在(0, +)内是凹的. 由定义, 对任意的x0, y0, xy 有 , 即 . 10. 试证明曲线有三个拐点位于同一直线上. 证明 , . 令y=0, 得x1=-1, , . 例表得x(-. -1) -1y-0+0-0+y-1 可见拐点为(-1, -1), , . 因为 , , 所以这三个拐点在一条直线上. 11. 问a、b为何值时, 点(1, 3)为曲线y=ax3+bx2的拐点？ 解 y=3ax2+2bx, y=6ax+2b. 要使(1, 3)成为曲线y=ax3+bx2的拐点, 必须y(1)=3且y(1)=0, 即a+b=3且6a +2b=0, 解此方程组得, . 12. 试决定曲线y=ax3+bx2+cx+d 中的a、b、c、d, 使得x=-2处曲线有水平切线, (1, -10)为拐点, 且点(-2, 44)在曲线上. 解 y=3ax2+2bx+c, y=6ax+2b . 依条件有 , 即. 解之得a=1, b=-3, c=-24, d=16. 13. 试决定y=k(x2-3)2中k的值, 使曲线的拐点处的法线通过原点. 解y=4kx3-12kx, y=12k(x-1)(x+1). 令y=0, 得x1=-1, x2=1. 因为在x1=-1的两侧y是异号的, 又当x=-1时y=4k, 所以点(-1, 4k)是拐点. 因为y(-1)=8k, 所以过拐点(-1, 4k)的法线方程为. 要使法线过原点, 则(0, 0)应满足法线方程, 即, . 同理, 因为在x1=1的两侧y是异号的, 又当x=1时y=4k, 所以点(1, 4k)也是拐点. 因为y(1)=-8k, 所以过拐点(-1, 4k)的法线方程为. 要使法线过原点, 则(0, 0)应满足法线方程, 即, . 因此当时, 该曲线的拐点处的法线通过原点. 14. 设y=f(x)在x=x0的某邻域内具有三阶连续导数, 如果f (x 0)=0, 而f (x0)0, 试问 (x0, f(x0)是否为拐点？为什么？ 解 不妨设f (x0)0. 由f (x)的连续性, 存在x0的某一邻域(x0-d, x0+d), 在此邻域内有f (x)0. 由拉格朗日中值定理, 有 f (x)-f (x0)=f (x)(x-x0) (x介于x0与x之间), 即 f (x)=f (x)(x-x0). 因为当x0-dxx0时, f (x)0; 当x0x0, 所以(x0, f(x0)是拐点. 习题3-5 1. 求函数的极值: (1) y=2x3-6x2-18x+7; (2) y=x-ln(1+x) ; (3) y=-x4+2x2 ; (4); (5); (6); (7) y=ex cos x ; (8); (9); (10) y=x+tan x . 解 (1)函数的定义为(-, +), y=6x2-12x-18=6(x2-2x-3)=6(x-3)(x+1), 驻点为x1=-1, x2=3. 列表x(-, -1)-1(-1, 3)3(3, +)y+0-0+y 17极大值-47极小值 可见函数在x=-1处取得极大值17, 在x=3处取得极小值-47. (2)函数的定义为(-1, +), , 驻点为x=0. 因为当-1x0时, y0时, y0, 所以函数在x=0处取得极小值, 极小值为y(0)=0. (3)函数的定义为(-, +), y=-4x3+4x=-4x(x2-1), y=-12x2+4, 令y=0, 得x1=0, x2=-1, x3=1. 因为y(0)=40, y(-1)=-80, y(1)=-80; 当时, y0; 当时, y0, 所以函数在处取得极大值, 极大值为. (6)函数的定义为(-, +), , 驻点为x1=0, x2=-2. 列表x(-, -2)-2(-2, 0)0(0, +)y-0+0-y 极小值4极大值 可见函数在x=-2处取得极小值, 在x=0处取得极大值4. (7)函数的定义域为(-, +). y=e x(cos x-sin x ), y=-e xsin x. 令y=0, 得驻点, , (k=0, 1, 2, ). 因为, 所以是函数的极大值. 因为y, 所以是函数的极小值. (8)函数的定义域为(0, +), . 令y=0, 得驻点x=e . 因为当x0; 当xe时, y0, 所以为函数f(x)的极大值. (9)函数的定义域为(-, +), , 因为y0, 所以函数f(x)无极值. 2. 试证明: 如果函数y=ax3+bx2+cx +d 满足条件b2 -3ac0, 那么这函数没有极值 . 证明y=3a x2+2b x+c. 由b2 -3ac0, 所以当a0时, y0; 当a0时, y0. 因此y=ax3+bx2+cx +d是单调函数, 没有极值. 3. 试问a为何值时, 函数在处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值. 解 f (x)=acos x+cos 3x, f (x)=-asin x-3 sin x. 要使函数f(x)在处取得极值, 必有, 即, a=2 . 当a=2时, . 因此, 当a=2时, 函数f (x)在处取得极值, 而且取得极大值, 极大值为. 4. 求下列函数的最大值、最小值: (1) y=2x3-3x2 , -1x4; (2) y=x4-8x2+2, -1x3 ; (3), -5x1. 解 (1)y=6x2-6x=6x(x-1), 令y=0, 得x1=0, x2=1. 计算函数值得 y(-1)=-5, y(0)=0, y(1)=-1, y(4)=80, 经比较得出函数的最小值为y(-1)=-5, 最大值为y(4)=80. (2)y=4x3-16x=4x(x2-4), 令y=0, 得x1=0, x2=-2(舍去), x 3=2. 计算函数值得 y(-1)=-5, y(0)=2, y(2)=-14, y(3)=11, 经比较得出函数的最小值为y(2)=-14, 最大值为y(3)=11. (3), 令y=0, 得. 计算函数值得 , , y(1)=1,经比较得出函数的最小值为, 最大值为. 5. 问函数y=2x3-6x2-18x-7(1x4)在何处取得最大值？并求出它的最大值. 解 y=6x2-12x-18=6(x-3)(x+1), 函数f(x)在1x4内的驻点为x=3. 比较函数值: f(1)=-29, f(3)=-61, f(4)=-47, 函数f(x)在x=1处取得最大值, 最大值为f (1)=-29. 6. 问函数(x0)在何处取得最小值？ 解 , 在(-, 0)的驻点为x=-3. 因为 , , 所以函数在x=-3处取得极小值. 又因为驻点只有一个, 所以这个极小值也就是最小值, 即函数在x=-3处取得最小值, 最小值为. 7. 问函数(x0)在何处取得最大值？ 解 . 函数在(0, +)内的驻点为x=1. 因为当0x0; 当x1时y0, 所以函数在x=1处取得极大值. 又因为函数在(0, +)内只有一个驻点, 所以此极大值也是函数的最大值, 即函数在x=1处取得最大值, 最大值为f (1)=. 8. 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋, 现有存砖只够砌20cm长的墙壁, 问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？ 解 设宽为x长为y, 则2x+y=20, y=20-2x, 于是面积为 S= xy=x(20-2x)=20x-2x2. S =20-4x=4(10-x), S =-4. 令S =0, 得唯一驻点x=10. 因为S (10)-40, 所以x=10为极大值点, 从而也是最大值点. 当宽为5米, 长为10米时这间小屋面积最大. 9. 要造一圆柱形油罐, 体积为V, 问底半径r和高h等于多少时, 才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？ 解 由V=p r2h, 得h=Vp-1r-2. 于是油罐表面积为 S=2p r2+2p rh(0x+), . 令S =0, 得驻点. 因为, 所以S在驻点处取得极小值, 也就是最小值. 这时相应的高为. 底直径与高的比为2r : h=1 : 1. 10. 某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图), 截面的面积为5m2, 问底宽x为多少时才能使截面的周长最小, 从而使建造时所用的材料最省？ 解 设矩形高为h , 截面的周长S, 则, . 于是 (), . 令S =0, 得唯一驻点. 因为, 所以为极小值点, 同时也是最小值点. 因此底宽为时所用的材料最省. 11. 设有重量为5kg的物体, 置于水平面上, 受力F的作用而开始移动(如图). 设摩擦系数m=0.25, 问力F与水平线的交角a为多少时, 才可使力F的大小为最小？ 解 由F cos a =(m-Fsin a)m 得 (), , 驻点为 a = arctan m. 因为F 的最小值一定在内取得, 而F 在内只有一个驻点a = arctan m, 所以a=arctan m一定也是F 的最小值点. 从而当a=arctan0.25=14时, 力F 最小. 12. 有一杠杆, 支点在它的一端. 在距支点0.1m处挂一重量为49kg的物体. 加力于杠杆的另一端使杠杆保持水平(如图). 如果杠杆的线密度为5kg/m, 求最省力的杆长? 解 设杆长为x (m), 加于杠杆一端的力为F, 则有 , 即. , 驻点为x=1.4. 由问题的实际意义知, F的最小值一定在(0, +)内取得, 而F在(0, +)内只有一个驻点x=1.4, 所以F 一定在x=1.4m处取得最小值, 即最省力的杆长为1.4m. 13. 从一块半径为的圆铁片上挖去一个扇形做成一漏斗(如图), 问留下的扇形的中心角j取多大时, 做成的漏斗的容积最大？ 解 漏斗的底周长l、底半径r、高h 分别为 l=Rj, , . 漏斗的容积为 (0j1000时, , . 令R=0得(1000, +)内唯一驻点x=1800. 因为, 所以1800为极大值点, 同时也是最大值点. 最大值为R=57800. 因此, 房租定为1800元可获最大收入. 习题3-6 描绘下列函数的图形: 1. ; 解 (1)定义域为(-, +); (2), , 令y=0, 得x=-2, x=1; 令y=0, 得x=-1, x=1. (3)列表x(-, -2)-2(-2, -1)-1(-1, 1)1(1, +)y-0+0+y+0-0+y=f(x)极小值拐点2拐点 (4)作图: 2. ; 解 (1)定义域为(-, +); (2)奇函数, 图形关于原点对称, 故可选讨论x0时函数的图形. (3), , 当x0时, 令y=0, 得x=1; 令y=0, 得x=0, . (4)列表x0(0, 1)1(1, )(, +)y+0-y0-0+y=f(x)0拐点极大值拐点 (5)有水平渐近线y=0; (6)作图: 3. ; 解 (1)定义域为(-, +); (2), 令y=0, 得x=1; 令y=0, 得, . (3)列表x1y+0-y+0-0+y=f(x)拐点1极大值拐点 (4)有水平渐近线y=0; (5)作图: 4. ; 解 (1)定义域为(-, 0)(0, +); (2), , 令y=0, 得; 令y=0, 得x=-1. (3)列表x(-, -1)-1(-1, 0)0y-无-0+y+0-无+y=f(x)0拐点无极小值 (4)有铅直渐近线x=0; (5)作图: 5. . 解 (1)定义域为(n=0, 1, 2, ) (2)是偶函数, 周期为2 p . 可先作0, p上的图形, 再根据对称性作出-p, 0)内的图形, 最后根据周期性作出-p, p以外的图形; (3), , 在0, p上, 令y=0, 得x=0, x=p ; 令y=0, 得. (4)列表x0py0+无+无+0y+无-0+无-y=f(x)1极小值无0拐点无-1极大值 (5)有铅直渐近线及; (6)作图: 习题3-7 1. 求椭圆4x2+y2=4在点(0, 2)处的曲率. 解 两边对x求导数得 8x+2yy=0, , . y|(0, 2)=0, y|(0, 2)=-2. 所求曲率为 . 2. 求曲线y=lnsec x在点(x, y)处的曲率及曲率半径. 解 , . 所求曲率为 , 曲率半径为 . 3. 求抛物线y=x2-4x+3在其顶点处的曲率及曲率半径. 解 y=2x-4, y=2. 令y=0, 得顶点的横坐标为x=2. y|x=2=0, y|x=2=2. 所求曲率为 , 曲率半径为 . 4. 求曲线x=a cos3t, y=a sin 3t在t=t0处的曲率. 解 , . 所求曲率为 , . 5. 对数曲线y=ln x上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径. 解 , . , , . 令r=0, 得. 因为当时, r0, 所以是r的极小值点, 同时也最小值点. 当时, . 因此在曲线上点处曲率半径最小, 最小曲率半径为. 6. 证明曲线在点(x, y)处的曲率半径为. 解 , . 在点(x, y)处的曲率半径为 . 7. 一飞机沿抛物线路径(y轴铅直向上, 单位为m)作俯冲飞行, 在坐标原点O处飞机的速度为v=200m/s飞行员体重G=70Kg. 求飞机俯冲至最低点即原点O处时座椅对飞行员的反力. 解 , ; y|x=0=0, . . 向心力(牛顿). 飞行员离心力及它本身的重量对座椅的压力为 799.8+560=1246(牛顿). 8. 汽车连同载重共5t, 在抛物线拱桥上行驶, 速度为21.6km/h, 桥的跨度为10m, 拱的矢高为0.25m . 求汽车越过桥顶时对桥的压力. 解 如图取直角坐标系, 设抛物线拱桥方程为y=ax2, 由于抛物线过点(5, 0.25), 代入方程得 , 于是抛物线方程为y=0. 01x2. y=0.02x, y=0.02. . 向心力为(牛顿). 因为汽车重为5吨, 所以汽车越过桥顶时对桥的压力为 51039.8-3600=45400(牛顿). *9. 求曲线y=ln x在与x轴交点处的曲率圆方程. *10. 求曲线y=tan x在点处的曲率圆方程. *11. 求抛物线y2=2px的渐屈线方程. 总习题三 1. 填空: 设常数k0, 函数在(0, +)内零点的个数为_. 解 应填写2. 提示: , . 在(0, +)内, 令f (x)=0, 得唯一驻点x=e . 因为f (x)0. 又因为, , 所以曲线经过x轴两次, 即零点的个数为2. 2. 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论: 设在0, 1上f (x)0, 则f (0), f (1), f(1)-f(0)或f(0)-f(1)几个数的大小顺序为( ). (A)f (1)f (0)f(1)-f(0); (B)f (1)f(1)-f(0)f (0); (C)f(1)-f(0)f (1)f (0); (D)f (1)f(0)-f(1)f (0). 解 选择B . 提示: 因为f (x)0, 所以f (x)在0, 1上单调增加, 从而f (1)f (x)f (0). 又由拉格朗日中值定理, 有f(1)-f(0)=f (x), x0, 1, 所以 f (1) f(1)-f(0)f (0). 3. 列举一个函数f(x)满足: f(x)在a, b上连续, 在(a,b)内除某一点外处处可导, 但在(a, b)内不存在点x , 使f(b)-f(a)=f (x)(b-a). 解 取f(x)=|x|, x-1, 1. 易知f(x)在-1, 1上连续, 且当x0时f (x)=1; 当x0时, f (x)=-1; f (0)不存在, 即f(x)在-1, 1上除x=0外处处可导. 注意f(1)-f(-1)=0, 所以要使f(1)-f(-1)=f (x)(1-(-1)成立, 即f (x)=0, 是不可能的. 因此在(-1, 1)内不存在点x , 使f(1)-f(-1)=f (x)(1-(-1). 4. 设, 求. 解 根据拉格朗日中值公式, f(x+a)-f (x)=f (x )a, x 介于x+a 与x之间. 当x 时, x , 于是 . 5. 证明多项式f (x)=x3-3x+a在0, 1上不可能有两个零点. 证明 f (x)=3x2-3=3(x2-1), 因为当x(0, 1)时, f (x)0, 所以f (x)在0, 1上单调减少. 因此, f(x) 在0, 1上至多有一个零点. 6. 设=0, 证明多项式f(x)=a0+a1x+ +anxn在(0,1)内至少有一个零点. 证明 设, 则F(x)在0, 1上连续, 在(0, 1)内可导, 且F(0)=F(1)=0. 由罗尔定理, 在(0, 1)内至少有一个点x , 使F(x )=0. 而F (x)=f(x), 所以f(x)在(0, 1)内至少有一个零点. 7. 设f(x)在0, a上连续, 在(0, a)内可导, 且f(a)=0, 证明存在一点x(0, a), 使f(x)+xf (x)=0. 证明 设F(x)=xf(x), 则F(x)在0, a 上连续, 在(0, a )内可导, 且F(0)=F(a)=0. 由罗尔定理, 在(0, a )内至少有一个点x , 使F(x )=0. 而F(x)=f(x)+x f (x), 所以f(x)+xf (x)=0. 8. 设0ab, 函数f(x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导, 试利用柯西中值定理, 证明存在一点x(a, b)使. 证明 对于f(x)和ln x在a, b上用柯西中值定理, 有 , x(a, b), 即 , x(a, b). 9. 设f(x)、g(x)都是可导函数, 且|f (x)|a时, |f(x)-f(a)|g(x)-g(a). 证明 由条件|f (x)|0, g(x)是单调增加的, 当xa时, g(x)g(a). 因为f (x)、g (x)都是可导函数, 所以f (x)、g (x) 在a, x上连续, 在(a, x)内可导, 根据柯西中值定理, 至少存在一点x(a, x), 使. 因此, , |f (x)-f (a)|0). 解 (1) (xx)=(ex l n x )=e x l n x (ln x+1)=xx (ln x+1). . (2) (3), 因为 , 所以 . (4)令. 则, 因为 =ln a1+ln a2+ +ln an=ln(a1a2 an). 即=ln(a1a2 an), 从而. 11. 证明下列不等式: (1)当时, ; (2):当x0时, . 证明 (1)令, . 因为, 所以在内f(x)为单调增加的. 因此当时有 , 即. (2)要证(1+x)ln(1+x)arctan x , 即证(1+x)ln(1+x)- arctan x 0. 设f(x)=(1+x)ln(1+x)- arctan x , 则f(x)在0, +)上连续,. 因为当x0时, ln(1+x)0, , 所以f (x)0, f(x)在0, +)上单调增加. 因此, 当x0时, f(x)f(0), 而f(0)=0, 从而f(x)0, 即(1+x)ln(1+x)-arctan x0 . 12. 设, 求f(x)的极值. 解 x=0是函数的间断点. 当x0时, f (x)=2x 2x (ln x +1). 令f (x)=0, 得函数的驻点. 列表: x(-, 0)0f (x)+不存在-0+f(x)2极大值极小值函数的极大值为f (0)=2, 极小值为. 13. 求椭圆x2-xy +y2=3上纵坐标最大和最小的点. 解 2x-y-xy+2yy=0, . 当时, y=0. 将代入椭圆方程, 得, y =2 . 于是得驻点x=-1, x=1. 因为椭圆上纵坐标最大和最小的点一定存在, 且在驻点处取得, 又当x=-1时, y =-2, 当x=1时, y=2, 所以纵坐标最大和最小的点分别为(1, 2)和(-1, -2). 14. 求数列的最大项. 解 令(x0), 则 , , . 令f (x)=0, 得唯一驻点x=e . 因为当0x0; 当xe时, f (x)0, 所以唯一驻点x=e为最大值点. 因此所求最大项为. 15. 曲线弧y=sin x (0xp)上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径. 解 y=cos x, y=-sin x, (0xp), . 在(0, p)内, 令r=0, 得驻点. 因为当时, r0, 所以是r的极小值点, 同时也是r的最小值点, 最小值为. 16. 证明方程x3-5x-2=0只有一个正根. 并求此正根的近似值, 使精确到本世纪末10-3. 解 设f (x)=x3-5x-2, 则 f (x)=3x2-5, f (x)=6x . 当x0时, f (x)0, 所以在(0, +)内曲线是凹的, 又f(0)=-2, , 所以在(0, +)内方程x3-5x-2=0只能有一个根. (求根的近似值略) 17. 设f (x0)存在, 证明. 证明
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