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.第五篇 向量代数与空间解析几何第8章 向量代数与空间解析几何 解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何的问题，为了把代数运算引入几何中来，最根本的做法就是设法把空间的几何结构有系统的代数化，数量化. 平面解析几何使一元函数微积分有了直观的几何意义，所以为了更好的学习多元函数微积分，空间解析几何的知识就有着非常重要的地位.本章首先给出空间直角坐标系，然后介绍向量的基础知识，以向量为工具讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容.第1节 空间直角坐标系1.1 空间直角坐标系 用代数的方法来研究几何的问题，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现.1.1.1 空间直角坐标系过定点，作三条互相垂直的数轴，这三条数轴分别叫做x轴(横轴）、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)，它们都以为原点且具有相同的长度单位. 通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则：右手握住轴，当右手的四指从x轴的正向转过角度指向y轴正向时，大拇指的指向就是z轴的正向，这样就建立了一个空间直角坐标系（图8-1），称为直角坐标系，点叫做坐标原点.图8-1在直角坐标系下，数轴Ox,Oz统称为坐标轴，三条坐标轴中每两条可以确定一个平面，称为坐标面，分别为，三个坐标平面将空间分为八个部分，每一部分叫做一个卦限（图8-2），分别用、表示.图8-2 1.1.2 空间点的直角坐标设为空间中的任一点，过点分别作垂直于三个坐标轴的三个平面，与轴、轴和轴依次交于、三点，若这三点在轴、轴、轴上的坐标分别为，于是点就唯一确定了一个有序数组，则称该数组为点在空间直角坐标系中的坐标，如图8-3，分别称为点的横坐标、纵坐标和竖坐标 图8-3反之，若任意给定一个有序数组，在轴、轴、轴上分别取坐标为，的三个点、，过这三个点分别作垂直于三个坐标轴的平面，这三个平面只有一个交点，该点就是以有序数组为坐标的点，因此空间中的点就与有序数组之间建立了一一对应的关系注：、这三点正好是过点作三个坐标轴的垂线的垂足1.2 空间中两点之间的距离 设两点，则与之间的距离为 （8-1-1）事实上，过点和作垂直于平面的直线，分别交平面于点和，则 ，显然，点的坐标为，点的坐标为（如图8-4）图8-4由平面解析几何的两点间距离公式知，和的距离为：过点作平行于平面的平面，交直线于，则，因此的坐标为，且，在直角三角形中，所以点与间的距离为例1 设与为空间两点，求与两点间的距离解 由公式（8-1-1）可得，与两点间的距离为例2 在轴上求与点和等距的点解 由于所求的点在轴上，因而点的坐标可设为，又由于，由公式（8-1-1），得从而解得，即所求的点为习题8-11讨论空间直角坐标系的八个卦限中的点的坐标的符号2在坐标轴上的点和在坐标平面上的点的坐标各有何特点？3在空间直角坐标系中，画出下列各点： ；4求点关于各坐标平面对称的点的坐标5求点关于各坐标轴对称的点的坐标6求下列各对点间的距离：(1) 与；(2) 与7在坐标平面上求与三点、和等距的点8求点与原点、各坐标平面和各坐标轴的距离9. 证明以为顶点的三角形ABC是一等腰三角形.第2节 空间向量的代数运算2.1 空间向量的概念在日常生活中，我们经常会遇到一些量，如质量、时间、面积、温度等，它们在取定一个度量单位后，就可以用一个数来表示这种只有大小没有方向的量，叫做数量（或标量）但有一些量，如力、位移、速度、电场强度等，仅仅用一个实数是无法将它们确切表示出来，因为它们不仅有大小，而且还有方向，这种既有大小又有方向的量，叫做向量（或矢量）在数学上，我们用有向线段来表示向量，称为向量的起点，称为向量的终点，有向线段的长度就表示向量的大小，有向线段的方向就表示向量的方向通常在印刷时用黑体小写字母，来表示向量，手写时用带箭头的小写字母来记向量.向量的长度称为向量的模，记作或，模为的向量叫做单位向量，模为的向量叫做零向量，记作0，规定：零向量的方向可以是任意的本章我们讨论的是自由向量，即只考虑向量的大小和方向，而不考虑向量的起点，因此，我们把大小相等，方向相同的向量叫做相等向量，记作.规定：所有的零向量都相等.与向量大小相等，方向相反的向量叫做的负向量(或反向量)，记作平行于同一直线的一组向量称为平行向量（或共线向量）平行于同一平面的一组向量，叫做共面向量，零向量与任何共面的向量组共面. 2.2 向量的线性运算 2.2.1 向量的加法我们在物理学中知道力与位移都是向量，求两个力的合力用的是平行四边形法则，我们可以类似地定义两个向量的加法定义1 对向量，从同一起点作有向线段、分别表示与，然后以、为邻边作平行四边形，则我们把从起点到顶点的向量称为向量与的和（图8-5），记作这种求和方法称为平行四边形法则 图8-5 图8-6若将向量平移，使其起点与向量的终点重合，则以的起点为起点，的终点为终点的向量就是与的和(图8-6），该法则称为三角形法则多个向量，如、首尾相接，则从第一个向量的起点到最后一个向量的终点的向量就是它们的和 （图8-7）图8-7对于任意向量，满足以下运算法则：(1) (交换律)(2) (结合律)(3) 2.2.2 向量的减法定义2 向量与的负向量的和，称为向量与的差，即 特别地，当时，有.由向量减法的定义，我们从同一起点作有向线段，分别表示，则也就是说，若向量与的起点放在一起，则，的差向量就是以的终点为起点，以的终点为终点的向量（图8-8） 图8-82.2.3数乘向量定义3 实数与向量的乘积是一个向量，记作，的模是，方向： 当时，与同向；当时，与反向；当时，对于任意向量，以及任意实数，有运算法则：(1) (2) (3) 向量的加法、减法及数乘向量运算统称为向量的线性运算，称为，的一个线性组合 特别地，与同方向的单位向量叫做的单位向量，记做，即. 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量. 例1 如图8-9，在平行六面体中，设,试用来表示对角线向量图8-9解 ； .由于向量与平行，所以我们通常用数与向量的乘积来说明两个向量的平行关系.即有,定理1 向量与非零向量平行的充分必要条件是存在一个实数，使得.2.3 向量的坐标表示2.3.1向量在坐标轴上的投影设为空间中一点，过点作轴的垂线，垂足为，则称为点在轴上的投影(图8-10)图8-10若为空间直角坐标系中的一点，则在轴、轴、轴上的投影为、，如图8-11所示图8-11设向量的始点与终点在轴的投影分别为、，那么轴上的有向线段的值叫做向量在轴上的投影，记作，轴称为投影轴.图8-12当与轴同向时，投影取正号，当与轴反向时，投影取负号注 (1) 向量在轴上投影是标量(2) 设为空间直角坐标系中的一个向量，点的坐标为，点的坐标为，显然，向量在三个坐标轴上的投影分别为， 2.3.2向量的坐标表示 取空间直角坐标系，在轴、轴、轴上各取一个与坐标轴同向的单位向量，依次记作，它们称为坐标向量空间中任一向量，它都可以唯一地表示为数乘之和事实上，设，过、作坐标轴的投影，如图8-13所示由于与平行，与平行，与平行，所以，存在唯一的实数，使得，即 (8-2-1)图 8-13我们把(8-2-1)式中系数组成的有序数组叫做向量的直角坐标，记为，向量的坐标确定了，向量也就确定了显然，(8-2-1)中的是向量分别在轴、轴、轴上的投影因此，在空间直角坐标系中的向量的坐标就是该向量在三个坐标轴上的投影组成的有序数组例2 在空间直角坐标系中设点，求向量及的直角坐标解 由于向量的坐标即为向量在坐标轴上的投影组成的有序数组，而向量的各投影即为终点坐标与起点坐标对应分量的差所以向量的坐标为，向量的坐标为例3(定比分点公式) 设和为两已知点，有向线段上的点将它分为两条有向线段和，使它们的值的比等于数，即，求分点的坐标. 图8-14解 如图8-14，因为与在同一直线上，且同方向，故，而 ， 所以 ， 解得 当l=1, 点的有向线段的中点, 其坐标为 , , .2.3.3向量的模与方向余弦的坐标表示式向量可以用它的模与方向来表示，也可以用它的坐标式来表示，这两种表示法之间的是有联系的.设空间向量与三条坐标轴的正向的夹角分别为，规定： ,称为向量的方向角. 图8-15因为向量的坐标就是向量在坐标轴上的投影，因此 (8-2-2) 公式(8.2.2)中出现的称为向量的方向余弦.而 是与向量同方向的单位向量.而 ，故向量的模为 (8-2-3)从而向量的方向余弦为 (8-2-4)并且 . 例4 已知两点和,求向量的模、方向余弦和方向角. 解 ；. 例5 已知两点和，求与同方向的单位向量. 解 因为 所以 于是 2.4 向量的数量积在物理中我们知道，一质点在恒力的作用下，由点沿直线移到点，若力与位移向量的夹角为，则力所作的功为类似的情况在其他问题中也经常遇到由此，我们引入两向量的数量积的概念定义1 设，为空间中的两个向量，则数叫做向量与的数量积(也称内积或点积)，记作，读作“点乘”即 （8-2-5）其中表示向量与的夹角，并且规定 两向量的数量积是一个数量而不是向量，特别地当两向量中一个为零向量时，就有.由向量数量积的定义易知：(1) ，因此 (2) 对于两个非零向量，与垂直的充要条件是它们的数量积为零，即注 数量积在解决有关长度、角度、垂直等度量问题上起着重要作用数量积的运算满足如下运算性质：对于任意向量，及任意实数，有(1) 交换律：(2) 分配律：(3) 与数乘结合律：(4) 当且仅当时，等号成立例6 对坐标向量，求， ，解 由坐标向量的特点及向量内积的定义得，例7 已知，求，解 由两向量的数量积定义有 ，因此在空间直角坐标系下，设向量，向量，即,则由于，所以 (8-2-6)也就是说，在直角坐标系下，两向量的数量积等于它们对应坐标分量的乘积之和同样，利用向量的直角坐标也可以求出向量的模、两向量的夹角公式以及两向量垂直的充要条件，即设非零向量，向量，则 (8-2-7) (8-2-8) (8-2-9)例8 在空间直角坐标系中，设三点，证明:是直角三角形证明 由题意可知，则，所以即是直角三角形2.5向量的向量积在物理学中我们知道，要表示一外力对物体的转动所产生的影响，我们用力矩的概念来描述设一杠杆的一端固定，力作用于杠杆上的点处，与的夹角为，则杠杆在的作用下绕点转动，这时，可用力矩来描述力对的力矩是个向量，的大小为的方向与及都垂直，且，成右手系，如图8-16所示 图8-162.5.1向量积的定义在实际生活中，我们会经常遇到象这样由两个向量所决定的另一个向量，由此，我们引入两向量的向量积的概念定义2 设，为空间中的两个向量，若由，所决定的向量，其模为 (8-2-10)其方向与，均垂直且，成右手系（如图8-17），则向量叫做向量与的向量积(也称外积或叉积)记作，读作“叉乘”注 (1) 两向量与的向量积是一个向量，其模的几何意义是以，为邻边的平行四边形的面积(2) 这是因为夹角=0，所以 图8-17(3)对两个非零向量与，与平行(即平行)的充要条件是它们的向量积为零向量向量积的运算满足如下性质：对任意向量，及任意实数，有(1) 反交换律：(2) 分配律: ，(3) 与数乘的结合律：例9 对坐标向量，求，解 ，2.5.2向量积的直角坐标运算在空间直角坐标系下，设向量，向量，即，因为，则为了便于记忆，借助于线性代数中的二阶行列式及三阶行列式有注 设两个非零向量，则，若某个分母为零，则规定相应的分子为零例10 设向量，求的坐标解 因此的直角坐标为例11 在空间直角坐标系中，设向量，求同时垂直于向量与的单位向量解 设向量，则同时与，垂直而，所以向量的坐标为再将单位化，得，即与为所求的向量例12 在空间直角坐标系中，设点，求的面积解 由两向量积的模的几何意义知：以、为邻边的平行四边形的面积为，由于，因此，所以故的面积为2.6向量的混合积定义3 给定空间三个向量，如果先作前两个向量与的向量积，再作所得的向量与第三个向量的数量积，最后得到的这个数叫做三向量的混合积，记做或. 说明：三个不共面向量的混合积的绝对值等于以为棱的平行六面体的体积. 定理 如果，那么 习题8-25.设为单位向量,且满足,求6.7.已知三点的坐标、模、方向余弦和方向角.8.一向量的终点在点B(2,-1,7),它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4，-4和7.求这向量的起点A的坐标.9设，求，10设向量，两两垂直，且，求向量的模及11在空间直角坐标系中，已知，求：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 12.已知向量，计算（1）（2）（3）.13设向量，的直角坐标分别为和，若，求的值 14设向量，求以为邻边构造的平行四边形面积15求同时垂直于向量和纵轴的单位向量16已知三角形三个顶点，求的面积第3节 空间中的平面与直线方程在本节我们以向量为工具，在空间直角坐标系中讨论最简单的曲面和曲线平面和直线.3.1平面及其方程首先利用向量的概念，在空间直角坐标系中建立平面的方程，下面我们将给出几种由不同条件所确定的平面的方程3.1.1平面的点法式方程若一个非零向量垂直于平面，则称向量为平面的一个法向量显然，若是平面的一个法向量，则 (为任意非零实数)都是的法向量，即平面上的任一向量均与该平面的法向量垂直由立体几何知识知道，过一个定点且垂直于一个非零向量有且只有一个平面设为平面上的任一点，由于，因此由两向量垂直的充要条件，得,而，所以可得 (8-3-1)由于平面上任意一点都满足方程(8-3-1)，而不在平面上的点都不满足方程(8-3-1)，因此方程(8-3-1)就是平面的方程由于方程(8-3-1)是给定点和法向量所确定的，因而称式(8-3-1)叫做平面的点法式方程图8-18例1 求通过点且垂直于向量的平面方程解 由于为所求平面的一个法向量，平面又过点，所以，由平面的点法式方程(6-14)可得所求平面的方程为，整理，得例2 求过三点， 的平面的方程解 所求平面的法向量必定同时垂直于与因此可取与的向量积为该平面的一个法向量即由于，因此,因此所求平面的方程为，化简得一般地，过三点的平面方程为称为平面的三点式方程。特殊地，过三点， 的平面的方程为化简整理得 (8-3-2)、三点为平面与三个坐标轴的交点，我们把这三个点中的坐标分量分别叫做该平面在轴，轴和轴上截距，方程(8-3-2)称平面的截距式方程，如图8-19图8-193.1.2平面的一般式方程 前面我们有了平面的点法式方程，展开平面的点法式方程(6-14)，得，设，则 (不全为零) (8-3-3)即任意一个平面的方程都是的一次方程反过来，任意一个含有的一次方程(8-3-3)都表示一个平面事实上，设是满足方程(8-3-3)的一组解，则 (8-3-4)式(8-3-3)减去式(8-3-4)，得 (8-3-5)由(8-3-5)决定一非零向量，它与向量垂直，其中，而为一固定点，为任一点因此平面(8-3-3)上任一点与的连线均与垂直，由平面的点法式方程可知，方程(8-3-3)表示一个平面我们称方程(8-3-3)为平面的一般式方程其中为该平面的一个法向量现在来讨论(8-3-3)的几种特殊情况，也就是当它的某些系数或常数项为零时，平面对坐标系来说具有某种特殊位置的情况.1. ，上式变为，此时为方程组的解，因此平面通过原点；反过来，如果平面通过原点，那么显然有.2. 中有一个为0，例如，上式就变为，当时，轴上任意一点都不满足方程，所以x轴与平面平行；当时，轴上每一点都满足方程，这时平面通过轴.反过来，当平面平行x轴时，我们有平面通过轴时，对于其他两种情况可以得出类似的结论.3. 中有两个为0时，可得下面的结论： 当且仅当，平面平行于坐标面当且仅当平面就是例3 求过两点，且与轴平行的平面方程解 要求出平面的方程，关键要找出平面所过的一个点以及平面的一个法向量由已知，所求平面的法向量同时与和轴垂直即法向量同时与和垂直因此，可取作为该平面的一个法向量所以为所求平面的一个法向量再由平面的点法式方程(6-14)得所求平面的方程为，整理得3.1.3两平面间的关系空间两个平面之间的位置关系有三种：平行、重合和相交下面根据两个平面的方程来讨论它们之间的位置关系设有两个平面与，它们的方程为： (不同时为零)，： (不同时为零)，则它们的法向量分别为和(1) 两平面平行(2) 两平面重合(3) 两平面相交与不成比例当两平面相交时，把它们的夹角定义为其法向量的夹角，且规定 图8-20即 特别地，当时，则，即反之亦然，所以例4 求两平面和的夹角.解 由公式有， 因此，所求夹角.例5 一平面通过两点和且垂直于平面，求它的方程.解 设所求平面的一个法向量为.因在所求平面上，它必与n垂直，所以有又因所求平面垂直与已知平面所以有所以得由平面的点法式方程可知，所求平面方程为,整理得 ,这就是所求的平面方程.3.1.4点到平面的距离在空间直角坐标系中，设点，平面：(不全为零)，可以证明点到平面的距离为例6 求点到平面：的距离解 由点到平面的距离公式得例7 求两个平行平面与间的距离解 在一个平面上任取一点，如取点，则点到另一平面的距离即为两平行平面间的距离所以例8 求过直线且与点的距离为1 的平面方程. 解 设过此直线的平面束方程为:,由点到平面的距离公式,故所求平面的方程为3.2空间中的直线及其方程3.2.1直线的点向式方程我们知道，一个点和一个方向可以确定一条直线，而方向可以用一个非零向量来表示因此，一个点和一个非零向量确定一条直线如果一个非零向量与直线平行，则称向量是直线的一个方向向量而向量的方向余弦叫做该直线的方向余弦.显然，若是直线的一个方向向量，则 (为任意非零实数)都是的方向向量在空间直角坐标系中，若是直线上的一个点，为的一个方向向量，下面求直线的方程设为直线上的任一点，如图8-21，则，所以两向量对应坐标成比例而的坐标为，因此有 (8-3-6)称式(8-3-6)为直线的点向式方程（或叫对称式方程）其中是直线上一点的坐标，为直线的一个方向向量注 由于直线的方向向量，所以不全为零，但当有一个为零时，如时，(8-3-6)应理解为该直线与平面平行当有两个为零时，如时，式(8-3-6)应理解为该直线与轴平行由直线的点向式方程很容易导出直线的参数方程.如设那么 ,方程组就是直线的参数方程.例9 设直线过两点和，求直线的方程解 直线的一个方向向量为，则,由直线的点向式方程(6-22)可得的方程为例10 求过点且与两平面：和：都平行的直线方程解 所求的直线与与都平行，即与、的法向量、都垂直，其中，因此可用作为直线的一个方向向量，即 于是所求直线的方程为3.2.2直线的一般式方程空间任一条直线都可看成是通过该直线的两个平面的交线，同时空间两个相交平面确定一条直线，所以将两个平面方程联立起来就代表空间直线的方程设两个平面的方程为 ：， ：，则 (8-3-7)表示一条直线，其中与不成比例称(8-3-7)为直线的一般式方程图8-22例11 将直线的一般式方程化为点向式方程和参数方程解 先求直线上一点，不妨设，代入方程中得解之得所以为直线上的一点再求直线的一个方向向量由于直线与两个平面的法向量、都垂直，其中，因此可用作为直线的一个方向向量，即于是，该直线的点向式方程为令得所给直线的参数方程为3.2.3两直线间的关系空间中两条直线的位置关系可以用两条直线的方程构成的方程组的解来确定设两条直线与的方程为：，：，由它们的方程构成的方程组 (8-3-8) 若方程组(8-3-8)有无穷组解，则与重合； 若方程组(8-3-8)只有一组解，则与相交，且方程组的解即为与的交点坐标； 若方程组(8-3-8)无解，且，即，则与平行； 若方程组(8-3-8)无解，且，则与异面直线两相交直线与所形成的4个角中，把不大于的那对对顶角叫做这两条直线的夹角若与的方向向量分别为，显然有 (8-3-9)注 (1) 若，相当于，规定与的夹角为0；(2) 对于异面直线，可把这两条直线平移至相交状态，此时，它们的夹角称为异面直线的夹角；(3) 若例12 判断直线：与的位置关系解 容易知由、的方程联立得到的方程组无解，因此直线与不相交而的一个方向向量为，的一个方向向量为,则与不平行因此与为异面直线 例13 求直线 和的夹角.解 直线的方向向量为, 直线的方向向量为两直线的夹角余弦为=,即 .例14 求与平面和的交线平行且过点的直线方程.解 直线方程的方向向量可取为：则所求直线方程为:例15 求过点(2,1,3)且与直线垂直相交的直线方程. 解 (法一)过点(2,1,3)作平面垂直于已知直线,则此平面的方程为 求已知直线与该平面的交点,将直线的参数方程代入平面方程得，从而得交点于是所求直线的方向向量为. 故所求直线的方程为:.(法二)设所求直线的参数方程为由于所求直线与已知直线垂直,从而有:. 又由于所求直线与已知直线相交,故由两直线的参数方程有,. 显然,从而解得:. 故有所求直线的参数方程为:,或者所求直线的方程为:.3.2.4直线与平面的位置关系在空间中，直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内，直线与平面平行，直线与平面相交，它们的位置关系可以根据联立直线与平面的方程构成的方程组解的情况来判定设直线：，平面：，将其联立起来的方程组为 (8-3-10)(1) 若方程组(8-3-10)有无穷组解，则在内，即(2) 若方程组(8-3-10)无解，则；(3) 若方程组(8-3-10)只有一组解，则与相交，方程组的解即为与的交点坐标注 还可以根据直线的方向向量与平面的法向量的关系来判定直线与平面的位置关系若，即时，在内或；若，即与不垂直时，与相交例16 判断下列直线与平面的位置关系，若相交，求出交点坐标(1) ：，：；(2) ：，：；(3) ：，：解 (1) 设，则代入，得，即（无解）因此(2) 显然方程组有无穷组解，因此在内(3) 解方程组得，因此，与相交，且交点坐标为直线与它在平面上的投影之间的夹角 ()，称为直线与平面的夹角若直线：，平面：，则直线的方向向量为，平面的法向量为，设直线与平面的法线之间的夹角为，则(如图8-23)所以， (8-3-11)特别地图8-233.2.5平面束 定义 通过定直线的所有平面方程的全体称为平面束。定理 设直线L为,其中系数A1,B1,C1和A2,B2,C2不成比例,则过L的平面束方程为 (8-3-12)其中是不全为零的任意实数.例17 求直线在平面上的投影直线方程. 解 设经过直线L:的平面束方程为即由于此平面与已知平面垂直,所以即有,代入平面束方程得投影平面的方程为从而得投影直线l的方程:习题8-3 9.求过两点的直线方程.11.求过点且与两直线平行的平面方程.14.求直线与平面的夹角.21.求点到直线的距离.第4节 空间曲面及其方程4.1曲面方程的概念空间曲面方程的意义与平面解析几何中曲线与方程的意义相仿，那就是在建立了空间直角坐标系之后，任何曲面都看成点的几何轨迹，由此可以定义空间曲面的方程定义1 如果曲面与方程,满足(1) 曲面上每一点的坐标都满足方程；(2) 以满足方程的解为坐标的点都在曲面上则称方程为曲面的方程，而称曲面为此方程的图形（图8-24） 图8-24 图8-25下面我们在直角坐标系下，举例说明怎样从曲面上的点的特征性质来导出曲面的方程.例1 求联结两点A（1,2,3）和B（2，-1,4）的线段的垂直平分面的方程.解 垂直平分面可以看成到两定点A和B为等距离的动点M（x，y，z）的轨迹.设M（x，y，z）为所求平面上的任意一点，根据点M的特性|AM|=|BM|，而 所以,化简得 这就是所求的垂直平分面的方程.例2 设球面的中心是点，半径为的球面方程(图8-25).解 定点为，定长为，设是球面上任一点，则，即，两边平方，得 （8-4-1）反之，若的坐标满足方程(6-28)，则总有，所以方程(8-4-1)为是以为球心，以半径的球面方程特别地，以坐标原点为球心，以半径的球面方程为 将（8-4-1）式展开得,所以，球面方程具有下列两个特点：（1） 它是之间的二次方程，且方程中缺项；（2） 的系数相同且不为零。例3 方程表示怎样的曲面？解 通过配方原方程可以改写为,所以原方程表示球心在、半径为的球面.上面几个例子表明在空间解析几何中关于曲面的研究，有下列两个问题：（1） 已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程（2） 已知坐标间的关系式，研究这个关系式所表示的曲面形状 下面我们继续介绍柱面、旋转曲面与常见的二次曲面.在这些曲面中，有的具有较为突出的几何特征，有的在方程上表现出特殊的简单形式，对于前者，我们从图形出发，去讨论曲面的方程；而对于后者，我们将从它的方程去研究它的图形.4.2柱面用直线沿空间一条曲线平行移动所形成的曲面称为柱面动直线称为柱面的母线，定曲线称为柱面的准线，如图8-26所示常见的柱面有：圆柱面： (图8-27),椭圆柱面： (图8-28),双曲柱面： (图8-29),抛物柱面： (图8-30) 图8-26 图8-27 图8-28 图8-29 图8-30注 若曲面方程为，则它一定是母线平行于轴，准线为平面的一条曲线(在平面直角坐标系中的方程为)的柱面类似的，只含而缺的方程和只含而缺的方程分别表示母线平行于y轴和x轴的柱面.如圆柱面：，它就是以平面上的圆作为准线，以平行于轴的直线作为母线形成的柱面 再如平面表示母线平行于轴,准线为平面上的直线:平面为特殊的柱面。图8-314.3 旋转曲面一条平面曲线绕同一平面内的一条定直线旋转所形成的曲面称为旋转曲面曲线称为旋转曲面的母线，定直线称为旋转曲面的旋转轴，简称轴前面讲过的球面，圆柱面等都是旋转曲面例4 设母线在平面上，它的平面直角坐标方程为证明：绕轴旋转所成的旋转曲面的方程为证明 设为旋转曲面上的任一点，并假定点是由曲线上的点绕轴旋转到一定角度而得到的因而，且点到轴的距离与到轴的距离相等而到轴的距离为，到轴的距离为，即又因为在上，因而，将上式代入得，即旋转曲面上任一点的坐标满足方程 . 图8-32注 此例说明，若旋转曲面的母线在平面上，它在平面直角坐标系中的方程为，则要写出曲线绕轴旋转的旋转曲面的方程，只需将方程中的换成即可同理，曲线绕轴旋转的旋转曲面的方程为，即将中的换成反之，一个方程是否表示旋转曲面，只需看方程中是否含有两个变量的平方和如在平面内的椭圆绕轴旋转所得到的旋转曲面的方程为，该曲面称为旋转椭球面 例5 将坐标面上的双曲线=1分别绕轴和轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程. 解 绕x轴旋转生成的旋转双叶双曲面: . 绕z轴旋转生成旋转单叶双曲面: 例6 直线绕另一条与相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面两直线的交点为 圆锥面的顶点，两直线的夹角叫圆锥面的半顶角试建立顶点在坐标原点，旋转轴为轴，半顶角为的圆锥面方程解 面上直线方程为,因为旋转轴为z轴，所以只要将方程中的y改成，便得到这个圆锥面方程 .或，其中.显然圆锥面上任一点M的坐标一定满足锥面方程.如果点M不住圆锥面上，那么直线OM与z轴的夹角就不等于，于是点M的坐标就不满足此方程. 4.4 二次曲面 我们把三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.适当选取坐标系，可得到它们的标准方程.下面就它们的标准方程来讨论几种常见的二次曲面的形状.二次曲面有九种，选取适当的坐标系，可以得到它们的标准方程.前面我们已经有了三种二次曲面，椭圆柱面 ，双曲柱面，抛物面下面我们讨论另外6种二次曲面的形状.1. 椭圆锥面 由方程所确定的曲面称为椭圆锥面,图像如右图2椭球面由方程 ()所确定的曲面称为椭球面，称为椭球面的半轴，此方程称为椭球面的标准方程椭球面的形状如图8-33图8-333双曲面由方程 () (8-4-2)所确定的曲面称为单叶双曲面（图8-34）由方程 () (8-4-3)所确定的曲面称为双叶双曲面（图8-35）注 方程和也都是单叶双曲面注 方程和也都是双叶双曲面 图8-33 图8-354抛物面由方程 () (8-4-4)所确定的曲面称为椭圆抛物面由方程 () (8-4-5)所确定的曲面称为双曲抛物面用截痕法可得到它们的图形分别如图(8-33)与(8-34)所示注 双曲抛物面的图形形状很象马鞍，因此也称马鞍面 图8-34 图8-35习题8-41 建立以点为球心，且过原点的球面方程.2 方程表示什么曲面？3 一动点与点的距离为与平面的距离的一半，试求其所生成的轨迹，并确定它为何种二次曲面.4 将面上的抛物线绕轴旋转，求出旋转后所得的曲面方程.5. 将坐标面上的圆绕轴旋转一周，求所生成的旋转曲面方程.6. 将坐标面上的双曲线分别绕轴，轴旋转一周，求所生成的旋转曲面方程.7说明下列二次曲面的名称，若它们是旋转曲面，那么，是怎样生成的？8指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中所表示的不同意义.（1）（2）；（3）；（4）。9指出下列各方程在空间解析几何中所表示的几何图形，并作出它们的草图.第5节 空间曲线及其方程5.1空间曲线的一般方程空间曲线可看作两曲面的交线，设 和 是两曲面的方程，它们的交线为.曲线上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面方程，因此，应满足方程组，(8-5-1)反过来，如果点不在曲线上，那么它不可能同时两曲面上.所以，它的坐标不满足方程组(1).由上述两点可知：曲线可由方程组(8-5-1)表示.图8-36方程组(8-5-1)称作空间曲线的一般方程.例1 方程组 表示怎样的曲线？解 表示圆柱面，表示平面，所以方程组就表示圆柱面与平面的交线，即椭圆. 例2 讨论方程组表示的曲线.解 该方程组表示上半球面与圆柱面的交线C，如下图 5.2空间曲线的参数方程 对于空间曲线，若上的动点的坐标可表示成为参数的函数(8-5-2)随着的变动可得到曲线上的全部点，方程组(8-5-2)叫做空间曲线参数方程.例3 将空间曲线 表示成参数方程.解 由方程组消去得 化简整理得 由于在此椭圆柱面上，故的方程可用如下形式来表示(1)如果我们以作为参数，即令 ,则 ， .从而得到曲线的参数方程 (2)如果令，由椭球柱面方程有 ，而,则曲线又可表示成为5.3 空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线的一般方程为,(8-5-3)下面，我们来研究由方程组(8-5-3)消去变量之后所得到的方程,(8-5-4)因(8-5-4)是由(8-5-3)消去后所得，则当坐标 适合方程组(8-5-3)时，前两个坐标必定适合方程(8-5-4)，即曲线上的所有点都在由(8-5-4)表示的曲面上.而方程(8-5-4)表示一个母线平行于轴的柱面，因此，此柱面必定包含曲线.以曲线为准线，母线平行于轴的柱面叫做关于面的投影柱面；投影柱面与面的交线叫做空间曲线在面上的投影曲线，该曲线的方程可写成.同理，消去方程组( 8-5-3) 中的变量 或 ，再分别与 或 联立，我们便得到了空间曲线在或 面上的投影曲线方程. 或 .例4 已知求它们的交线在面上的投影曲线方程.解 先求包含曲线且母线平行于轴的柱面，从方程组中消去，有,这便是所要求的柱面方程，即一个准线为坐标面上的抛物线，母线平行于轴的抛物柱面.于是，曲线在面上的投影曲线为. 在重积分和曲面积分的计算中，往往需要确定一个立体或曲面在坐标面上的投影，这时要利用投影柱面和投影曲线. 有时，我们需要确定一个空间立体（或空间曲面）在坐标面上的投影，一般来说，这种投影往往是一个平面区域，因此，我们称它为空间立体（或空间曲面）在坐标面的投影区域.投影区域可以利用投影柱面与投影曲线来确定.例5 求上半球面 和锥面 所围成的空间立体在面上的投影区域.解 上半球面与锥面的交线C为由方程组消去变量，有这是母线平行于轴的投影柱面，空间立体恰好镶在该柱体内，该柱体在面的交线所包围的区域正好是在面上的投影区域.投影柱面在面上的交线为这是一个圆，它所包围的区域为.习题8-51. 指出下列方程组在平面解析几何中与在空间解析几何中分别表示什么图形：（1） ； （2）；（3）2求曲线在坐标面上的投影方程.3.求抛物面与平面的截线在三个坐标面上的投影曲线方程.4.分别求母线平行于轴及轴而且通过曲线的柱面方程.5.求椭圆抛物面与抛物柱面的交线关于面的投影柱面和在面上的投影曲线方程.6求空间区域与的公共部分在坐标面上的投影区域.7画出旋转抛物面（）在三个坐标面上的投影.8.将下列曲线的一般式方程化为参数方程：9. 求螺旋线在坐标面上的投影.第6节 空间曲线和曲面的应用及举例6.1空间曲线的应用及举例6.1.1.螺旋线 例1 如果空间一点在圆柱面上以角速度绕轴旋转，同时又以线速度沿平行于轴的正方向上升(其中：，均为常数)，那未点的轨迹叫做螺旋线，试建立其参数方程. 解 取时间为参数.设当 时，动点与轴上的点 重合，经过时间，动点由运动到. 记在面上的投影为，它的坐标为由于动点在圆柱面上以角速度绕轴旋转，经过时间，从而 .又由于动点同时以线速度沿平行于轴正方向上升，所以.因此，螺旋线的参数方程为,或令，则方程形式可化为.螺旋线有一个重要性质：当从变到时，由变到；这表明当转过角时，点沿螺旋线上升了高度；特别地，当转过一周，即时，点就上升固定的高度为，这个高度在工程技术上叫螺距.螺旋线有广泛的应用，如：平头螺丝钉圆柱螺旋线、圆锥对数螺旋天线、植物中的对数螺旋线现象.6.1.2 摆线例2 一个圆在一直线上无滑动地滚动，求圆周上一定点的轨迹该定点的轨迹为旋轮线或摆线（cycloid）. 解 取直角坐标系，设半径为a的圆在x轴上滚动，开始时点P恰在原点O（如图），经一段时间的滚动，与直线的切点移到A点，圆心移到C的位置，这时有旋轮线是最速降线，应用广泛，如体育运动中滑板、高山滑雪等.6.2曲面的应用6.2.1 旋转抛物面的应用(1) 应用机理 旋转抛物面可将平行于主光轴(对称轴)的光线汇聚于其焦点处；反之，也可将放置在焦点处的光源产生的光线反射成平行光束并使光度增大.(2) 实例聚光太阳能灶 当太阳光线照射在呈旋转抛物面形状的聚光太阳能灶面上时，太阳的辐射能被聚集在一块小面积的灶具上，在阳光相对充足的天气，灶具内部温度可达到280度以上. 探照灯、汽车车灯的反射镜天文望远镜的反射镜 它能将来自宇宙的光线聚集在其焦点上，用放大镜瞄锥此焦点即可得到宇宙的信息.卫星天线 在实际应用中，卫星天线普遍采用旋转抛物面天线. 这种天线在频率很高的信号的接收和发射方面扮演着重要角色. 6.2.2. 锥面的应用 高等植物的外形、茎干，也有其最佳的形态. 许多树的树干，都是底部大，上部小，呈圆锥状.这是一种沉稳的、防倒伏的理想几何形状. 比较一下云杉、雪松与许多世界著名2. 锥面的应用建筑(如：北京的天坛、西安的大雁塔、荷兰的Delfut大学图书馆) 的形态、布局，是多么相像.6.2.3旋转单叶双曲面的应用(1)应用机理旋转单叶双曲面，又称为直纹面，它可由直线绕定轴旋转而成.其上有且只有两族直母线，同族的两条直母线不相交，不同族的两条直母线必相交.(2)实例化工厂或热电厂的冷却塔的外形常采用旋转单叶双曲面，其优点是对流快，散热效能好；此外，利用直纹面的特点，可把编织钢筋网的钢筋取为直材，建造出外形准确、轻巧且非常牢固的冷却塔.习题8-61. 把线绕在一个固定圆周上，将线头拉紧后向反方向旋转，以把线从圆周上解放出来，使放出来的部分成为圆的切线，求线头的轨迹(圆的渐伸线或称为切展线).这种曲线在工业上常被采用为齿廓曲线.2. 一动点到两定点的距离的乘积等于定值，求此动点的轨迹（卡西尼卵形线）.3. 当一圆周沿着一个定圆的外部作无滑动地滚动时，动圆上一点的轨迹叫做外旋轮线，如果我们用与分别表示定圆与动圆的半径，试导出其参数方程（时为心脏线）.4. 设为一圆的直径，过O任意作一直线OB，与圆上A点的切线相交于B点，设OB与圆交于另一点M，过M及B作交于P点的直线使MP垂直于OA，BP平行于OA，求P的轨迹（箕舌线）.5. 有一质点，沿着已知圆锥面的一条直母线自圆锥的顶点起，作等速直线运动，另一方面这一条母线在圆锥面上，过圆锥的顶点绕圆锥的轴作等速转动，这时质点咋圆锥面上的轨迹叫做圆锥螺线，求其方程.6. 有两条互相直交的直线与，其中绕作螺旋运动，即一方面绕作等速转动，另一方面又沿着作等速直线运动，在运动中永远保持与直交，这样由所画出的曲面叫做螺旋面，求其方程.第7节 MATLAB软件的应用7.1向量的运算 下面结合具体问题介绍向量间的加法、减法、点积、叉积等运算及向量的模、向量夹角的求法.注意点积的运算符是键盘上的小数点.7.1.1.向量的加减在MATLAB中就是根据坐标分量来定义向量的.例如在MATLAB中实现向量的线性运算可以在命令窗口执行如下语句：例1 求解以向量为未知元的线性方程组,
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