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.第一章：函数与极限1.1 初等函数图象及性质1.1.1 幂函数函数（m 是常数）叫做幂函数。幂函数的定义域，要看m 是什么数而定。例如，当m = 3时，y=x3的定义域是(- ,+)；当m = 1/2时，y=x1/2的定义域是0,+ )；当m = -1/2时，y=x-1/2的定义域是(0,+ )。但不论m 取什么值，幂函数在(0,+)内总有定义。最常见的幂函数图象如下图所示：如图1.1.2 指数函数与对数函数1指数函数函数y=ax（a是常数且a0,a1）叫做指数函数，它的定义域是区间(- ,+)。因为对于任何实数值x，总有ax 0，又a0=1，所以指数函数的图形，总在x轴的上方，且通过点(0,1)。若a1，指数函数ax是单调增加的。若0a0，a1），叫做对数函数。它的定义域是区间(0,+)。对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y = x对称（图1-22）。y=logax的图形总在y轴上方，且通过点(1,0)。若a1，对数函数logax是单调增加的，在开区间(0,1)内函数值为负，而在区间(1,+)内函数值为正。若0aN时都有，我们就称a是数列的极限，或者称数列收敛，且收敛于a，记为，a即为的极限。数列极限的几何解释：以a为极限就是对任意给定的开区间，第N项以后的一切数全部落在这个区间内。1.3 函数极限的概念设函数f(x)在点附近（但可能除掉点本身）有定义，设A为一个定数，如果对任意各定，一定存在，使得当时，总有，我们就称A是函数f(x)在点的极限，记作,这时称f(x)在点极限存在，这里我们不要求f(x)在点有定义，所以才有。 例如：，当x=1时，函数是没有定义的，但在x=1点函数的极限存在，为2。1.4 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限，是判断极限存在的重要准则之一，具体叙述如下： 如果数列满足条件，就称数列是单调增加的；反之则称为是单调减少的。在前面的章节中曾证明：收敛的数列必有界。但也曾指出：有界的数列不一定收敛。现在这个准则表明：如果数列不仅有界，而且是单调的，则其极限必定存在。对这一准则的直观说明是，对应与单调数列的点只可能向一个方向移动，所以只有两种可能情形：或者无限趋近某一定点；或者沿数轴移向无穷远（因为不趋向于任何定点且递增，已符合趋向无穷的定义）。但现在数列又是有界的，这就意味着移向无穷远已经不可能，所以必有极限。从这一准则出发，我们得到一个重要的应用。考虑数列，易证它是单调增加且有界（小于3），故可知这个数列极限存在，通常用字母e来表示它，即。可以证明，当x取实数而趋于或时，函数的极限存在且都等于e，这个e是无理数，它的值是e = 2.7182818284590451.5 柯西（Cauchy）极限存在准则我们发现，有时候收敛数列不一定是单调的，因此，单调有界数列必有极限准则只是数列收敛的充分条件，而不是必要的。当然，其中有界这一条件是必要的。下面叙述的柯西极限存在准则，它给出了数列收敛的充分必要条件。柯西（Cauchy）极限存在准则数列收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数，存在着这样的正整数N，使得当mN，nN时，就有。必要性的证明设，若任意给定正数，则也是正数，于是由数列极限的定义，存在着正整数N，当nN时，有；同样，当mN时，也有。因此，当mN， nN时，有所以条件是必要的。充分性的证明从略。这准则的几何意义表示，数列收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数，在数轴上一切具有足够大号码的点，任意两点间的距离小于。柯西极限存在准则有时也叫做柯西审敛原理。1.6 连续函数1.6.1 定义：若函数f(x)在x0点的附近包括x0点本身有定义，并且，则称f(x)在x0点连续，x0为f(x)的连续点。如图1.6.2 充要条件：f(x)在x0点既是左连续又是右连续。初等函数如三角、反三角函数，指数、对数函数等都是在自定义区间内的连续函数。1.6.3 三类不连续点：(1)第一类不连续点：f(x0+0),f(x0-0)存在但不相等。如图(2)第二类不连续点：f(x0+0),f(x0-0)中至少有一个不存在。如图(3)第三类不连续点：f(x0+0),f(x0-0)存在且相等，但它不等于f(x0)或f(x)在x0点无定义。如图1.7 一致连续性的概念及它与连续的不同1.7.1 定义：对，可找到只与有关而与x无关的，使得对区间内任意两点x1,x2，当时总有，就称f(x)在区间内一致连续。1.7.2 与连续的比较：(1)连续可对一点来讲，而一致连续必须以区间为对象。(2)连续函数对于某一点x0，取决于x0和，而一致连续函数的只取决于，与x值无关。(3)一致连续的函数必定连续。例：函数y = 1/x，当x(0,1)时非一致连续，当x(C,1)时一致连续(4)康托定理：闭区间a , b上的连续函数f(x)一定在a , b上一致连续。第二章：导数与微分微分学是微积分的重要组成部分，他的基本概念是导数与微分，其中导数反映出自变量的变化快慢程度，而微分则指明当自变量有微小变化时，函数大体上变化多少。2.1 导数的概念2.1.1 导数的定义：设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量x（点x0+x仍在该领域内）时，相应地函数取得增量；如果与之比当时的极限存在，则称函数在处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为,即,也可记作。导数的定义式也可取不同的形式,常见的有和导数的概念就是函数变化率这一概念的精确描述。2.1.2 求导举例例 求函数（n为正整数)在处的导数解 把以上结果中的换成得,即更一般地,对于幂函数（为常数）,有这就是幂函数的导数公式.例 求函数的导数解 即 这就是说, 正弦函数的导数是余弦函数.用类似的方法，可求得就是说,余弦函数的导数是负的正弦函数。例 求函数的导数.解 =即这就是指数函数的导数公式,特殊地,当时,因,故有 例 求函数的导数.解 = 作代换 即得 这就是对数函数的导数公式,特殊地,当时,由上式得自然对数函数的导数公式:2.1.3 导数的几何意义由导数的定义可知:函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线斜率，即,其中是切线的倾角.如下图：例 求等边双曲线y=1/x, 在点(1/2,2)处的切线的斜率,并写出在该点处的切线方程和法线方程。解 根据导数的几何意义知道,所求切线的斜率为由于,于是从而所求切线方程为即4x+y-4=0.所求法线的斜率为k2-1/k1=1/4, 于是所求法线方程为2x-8y+15=0. 2.2 微分的概念2.2.1 微分的定义 设函数在某区间内有定义,及在这区间内,如果函数的增量可表示为其中A是不依赖于的常数,而是比高阶的无穷小,那末称函数在点是可微的,而叫做函数在点相应于自变量增量的微分,记作,即例 求函数y=x2在x=1和x=3处的微分.解 函数在处的微分为在处的微分为函数在任意点的微分，称为函数的微分,记作或,即例如, 函数的微分为 函数的微分为通常把自变量的增量称为自变量的微分,记作dx，即.于是函数y=f(x)的微分又可记作dy=f(x)dx, 从而有x=3就是说，函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数的导数.因此，导数也叫做”微商”.2.2.2 微分的几何意义设y是曲线y=f(x)上的点的纵坐标的增量,dy是曲线的切线上的纵坐标的相应的增量,当x很小时, y-dy比x小得多,因此在M点的邻近,我们可以用切线段来近似代替曲线段.第三章：中值定理与导数的应用上一章里，从分析实际问题中因变量相对于自变量的变化快慢出发，引出了导数的概念，并讨论了导数的计算方法。本章中，我们将应用导数来研究函数以及曲线的某些性态，并利用这些知识解决一些实际问题。我们将介绍微分学的几个中值定理，他们是导数应用的理论基础3.1 三个中值定理3.1.1 罗尔定理罗尔定理如果函数f(x)在闭区间a , b上连续，在开区间(a,b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a) = f(b)，那么在(a,b)内至少有一点，使得函数f(x)在该点的导数等于零：。3.1.2 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函数f(x)在区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少有一点，使等式 (1)成立。3.1.3 柯西中值定理柯西中值定理如果函数f(x)及F(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且F(x)在(a,b)内的每一点处均不为零，那么在(a,b)内至少有一点，使等式(2)成立。3.2 洛必达法则3.2.1.洛必达法则的概念.定义:求待定型的方法(与此同时 );定理:若f(x)与g(x)在(a,a+)上有定义,且f(x)= g(x)=0;并且f(x)与g(x)在(a,a+)上存在. 0 且 =A 则= =A,(A可以是).证明思路: 补充定义x=a处f(x)=g(x)=0, 则a,a+) 上= 即 x时,x,于是= 3.2.2 定理推广:由证明过程显然定理条件x可推广到x, x,x。所以对于待定型,可利用定理将分子、分母同时求导后再求极限。注意事项: 1.对于同一算式的计算中,定理可以重复多次使用。2.当算式中出现Sin或Cos形式时,应慎重考虑是否符合洛必达法则条件中f(x)与g(x)的存在性。向其他待定型的推广。(下转化过程中描述引用的仅为记号.) 1. 可化为=，事实上可直接套用定理。2. 0=0 3. -=-，通分以后= 。4.、取对数0Ln0、Ln1、0Ln0、0、0 。3.3 泰勒公式及其误差图示 来源:实践,常用导数进行近似运算.由于 时所以,因此 范围:在直接求f(x)困难,而在x附近x0处f(x0)与f(x0)较易时应用.条件是x与x0充分接近,可达到一定的精度.利用当为不同函数时.有常用近似公式如下:(|x|很小时)Sinxx,tgxx,Ln(1+x)x.泰勒公式来源:上述公式在|x|很小时,于是即,p1=f(0)+f(0)x与f(x)在x=0处函数值相等，且一阶导数相等.为进一步提高精度欲使与在二阶导数处也相等.于是,.得依此类推:对于误差,有定理: 在x=0处有n+1阶连续导数,则上式误差( 在x 与0 之间)由定理:此式为 在x=0 处的关于x 的泰勒展开公式.即:公式推广:一般地在x=X0附近关于X0点的泰勒公式 注意:虽然泰勒公式是在x=附近展开,但是事实上x可以取f(x)定义域内任意值,只不过若|x-|过大(即x离过远)时,相应变大.即使用代替f(x)的误差变大.可是,无论如何泰勒公式总是成立的,当固定后,不同的x将使发生变化,并使变化,从而影响对f(x)的近似精度.3.4 函数图形描绘示例定理:若f(x)在a,b上连续,(a,b)可导.则f(x)在a,b单调上升(或单调下降)的充分必要条件为(a,b)内(或), 推论:若f(x)在a,b连续,(a,b)可导,且不变号, 则(或0). 解 .下面求积分的例子,它们的被积函数中含有三角函数,在计算这种积分的过程中,往往要用到一些三角恒等式.例5 求sin3 x dx. 解 sin3x dx =sin2x sinx dx=-(1-cos2x)d(cosx)=-d(cosx)+cos2xd(cosx)=-cosx+(1/3)cos3x+C.例6 求cos2 x dx.解 .类似地可得sin2 x dx=x/2-(sin2x)/4+C.利用定理1来求不定积分,一般却比利用复合函数的求导法则求函数的导数要来的困难,因为其中需要一定的技巧,而且如何适当的选择变量代换u=(x)没有一般途径可循,因此要掌握换元法,除熟悉一些典型的例子,需多练习.4.2.2 第二类换元法定理2 设x=(x)是单调的、可导的函数, 并且(x)0. 又设f(t)(t)具有原函数,则有换元公式,其中(x)是x=(t)的反函数.例7 求 (a0)解 求这个积分的困难在于有根式,但我们可以利用三角公式sin2t+cos2t=1来化去根式.设x=asint,-/2t/2,那么,于是根式化为了三角式,所求积分化为.利用例6的结果得.由于x=asint,-/2tb的情形同样成立。为方便起见，以后把F(b) F(a)记成。公式(1)叫做牛顿(Newton)-莱步尼兹(Leibniz)公式，给定积分提供了一种简便的计算方法，也称为微积分基本公式。例1计算定积分。 解。例2计算。 解。例3计算。 解。例4计算正弦曲线y = sinx在0,p 上与x轴所围成的平面图形的面积。 解。例5求 解易知这是一个型的未定式，我们利用洛必达法则来计算。因此。5.3 定积分的近似计算在应用问题中常遇到要求定积分的数值，但f(x)的原函数根本不能普通的初等函数表示出来。例如等，所以提出了积分的近似计算问题。定积分近似计算公式的原理：求定积分就是求面积，近似计算公式是对面积的近似求法。此处介绍抛物线法原理：实质上是用抛物线逼近曲线段，如图由此可推出。此公式称为辛卜生公式。近似计算方法很多，但实质上多是曲线逼近（见数值分析）。5.4 广义积分的概念5.4.1 无穷限的广义积分定义1设函数f(x)在区间a , + )上连续，取ba，若极限存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间a , + )上的广义积分，记作，即。(1)这时也称广义积分收敛；若上述极限不存在，称为广义积分发散。类似地，若极限存在，则称广义积分收敛。设函数f(x)在区间(- ,+ )上连续，如果广义积分和都收敛，则称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷区间(- , + )上的广义积分，记作，也称广义积分收敛；否则就称广义积分发散。上述广义积分统称为无穷限的广义积分。例1证明广义积分(a0)当p1时收敛，当p 1时发散。证当p = 1时，,当p 1时，因此，当p 1时，这广义积分收敛，其值为；当p 1时，这广义积分发散。5.4.2 无界函数的广义积分现在我们把定积分推广到被积函数为无界函数的情形。定义2设函数f(x)在(a,b上连续，而在点a的右领域内无界，取，如果极限 存在，则称此极限为函数f(x)在(a,b上的广义积分，仍然记作，这时也称广义积分收敛。类似地，设函数f(x)在a,b上除点c(acb)外连续，而在点c的领域内无界，如果两个广义积分与都收敛，则定义；(2)否则，就称广义积分发散。例2证明广义积分当q 1时收敛，当q1时发散。证当q = 1时，当q 1时，因此，当q 1时，这广义积分收敛，其值为(b-a)1-q/(1-q)；当q1时，这广义积分发散。第七章：空间解析几何与向量微分在平面解析几何中，通过坐标把平面上的点与一对有序实数对应起来，把平面上的图形和方程对应起来，从而可以用代数方法来研究几何问题，空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的。7.1 几种常见曲线：7.2 曲面方程7.2.1 曲面方程的概念及一般方程 如果曲面S与三元方程F(x, y, z)=0 (1),有下述关系：1. 曲面S上任一点的坐标都满足方程(1)；不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1)，那末，方程(1)就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程(1)的图形。7.2.2 平面方程的几种形式一般形式：Ax+By+Cy+D=0，其中A，B，C是平面法向， A2+B2+C20。点法式方程：。 截距式方程：。三点式方程：已知平面过空间三点，则平面方程为1. 几种特殊的曲面方程1. 旋转曲面方程 设平面曲线 l : 绕z轴旋转,则旋转曲线方程为 2. 柱面方程 母线平行与坐标轴的柱面方程为不完全的三元方程,如F(y, z)=0就表示母线平行与x轴, 准线为 的柱面. 二次曲面方程（见第七章知识点3）7.3 空间曲线7.3.1 空间曲线一般方程空间曲线可以看作两个曲面的交线。设F(x, y, z)=0 和 G(x, y, z)=0是两个曲面的方程，它们的交线为C如图。因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程，所以应满足方程组（1）反过来，如果点M不在曲线C上，那末它不可能同时在两个曲面上，所以它的坐标不满足方程组（1）。因此，曲线C可以用方程组（1）来表示。方程组（1）叫做空间曲线C的一般方程。1. 为空间曲线的一般方程，空间曲线的参数方程为 t为参数.1. 方程组 表示怎样的曲线?方程组中第一个方程表示母线平行于z轴的圆柱面,其准线是xOy面上的圆，圆心在原点O，半径为1。方程组中第二个方程表示一个母线平行于y轴的柱面，由于它的准线是zOx面上的直线，因此它是一个平面。方程组就表示上述平面与圆柱面的交线，如图。2. 方程组 表示怎样的曲线？方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O ，半径为a的上半球面。第二个方程表示母线平行于z 轴的圆柱面，它的准线是xOy面上的圆，这圆的圆心在点（a/2，0），半径为a/2。方程组就表示上述半球面与圆柱面的交线。7.3.2 空间曲线在坐标上的投影设空间曲线C的一般方程为由上述方程组消去变量z，x，y后所得的方程分别为：H( x , y )=0 R( y , z )=0 T( x , z )=0, 表示曲线C在xOy面上的投影,表示曲线C在yOz面上的投影,表示曲线C在xOz面上的投影。例 已知两球面的方程为（a） 和 (b)求它们的交线C在xOy面上的投影方程。解 先求包含交线C而母线平行于z轴的柱面方程。因此要由方程(a) , (b)消去z，为此可先从（a）式减去(b) 式并化简，得到y + z = 1,再以z = 1 y 代入方程（a）或（b）即得所求的柱面方程为x2+2y2-2y=0易看出，这是交线C关于xOy面的投影柱面方程，于是两球面的交线在xOy面上的投影方程是 注：在重积分和曲线积分的计算中，往往需要确定一个立体或曲面在坐标面上的投影，这时要利用投影柱面和投影曲线。 7.4 二次曲面我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。为了了解三元方程F (x , y ,z )=0所表示得的曲面的形状，我们通常采用截痕法。即用坐标面和平行于坐标面的平面与曲线相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。同学们可试用截痕法考察下面的二次曲面。7.4.1 椭球面 方程 所表示的曲面叫做椭球面，截痕法演示。7.4.2 抛物面 方程 （p 和q 同号）所表示的曲面叫做抛物面，截痕法演示。7.4.3 双曲抛物面 方程 （p 和q 同号）所表示的曲面叫做双曲抛物面，截痕法演示。7.4.4 双曲面 方程 所表示的曲面叫做单叶双曲面,截痕法演示。方程 所表示的曲面叫做双叶双曲面,截痕法演示。第八章：多元函数微分在很多实际问题中，往往牵涉到多方面的因素，反映到数学上，就是一个变量依赖于几个变量的情形，这就提出了多元函数微分和积分的问题，本章将在一元微分的基础上，讨论二元及二元以上的多元函数的微分。8.1 多元函数的极限与连续性8.1.1 定义 设函数f(x,y)在开区域（或闭区域）D内有定义，P0(x0,y0)是D的内点或边界点。如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式的一切点P(x,y)D,都有|f(x,y)-A|0，取，则当时，总有成立，所以。我们必须注意，所谓二重极限存在，是指P（x,y）以任何方式趋于P0（x0,y0）时，函数都无限接近于A。定义 设函数f(x,y)在开区域（或闭区域）D内有定义，P0(x0,y0)是D的内点或边界点且P0D。 如果则称函数f(x,y)在点P0(x0,y0)连续。8.1.2 性质性质1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最小值和最大值。性质2（介值定理） 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。所谓定义区域，是指包含在定义域内的区域或闭区域。由多元初等函数的连续性，如果要求它在点P0处的极限，而该点又在此函数的定义区域内，则极限值就是函数在该点的函数值，即。8.2 偏导数的定义及计算法8.2.1 定义 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量x时，相应的函数有增量f(x0+x,y0)-f(x0,y0),如果存在，则称此极限为函数z=f(x,y) 在点(x0,y0)处对x的偏导数，记作或 fx（x0，y0）。对于函数z=f(x,y)，求时，只要把y暂时看作常量而对y求导。例 求z=x2sin2y的偏导数。 解。8.2.2 高阶偏导数 定理 如果函数z=f（x,y）的两个二阶混合偏导数在区域D内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。8.3 多元复合函数求导法则及实例定理 如果函数u=(t)及（t）都在点t可导，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数z=f(t), (t)在点t可导，且其导数可用下列公式计算：。例 设z=eusinv，而u = xy，v = x+y。求。解8.4 隐函数的求导公式8.4.1 一个方程的情形隐函数存在定理1 设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续的偏导数，且F(x0,y0)=0, Fy(x0,y0) 0，则方程F(x,y) = 0在点(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y = f(x)，它满足条件y0 = f(x0)，并有。上面公式就是隐函数的求导公式。隐函数存在定理2 设函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内具有连续的偏导数，且F(x0,y0,z0) = 0, Fz(x0,y0,z0) 0，则方程F(x,y,z) = 0在点(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数z = f(x,y)，它满足条件z0 = f(x0,y0)，并有 。例 设x2+y2+z2-4z = 0，求，解 设F（x,y,z）= x2+y2+z2-4z ，则Fx = 2x，Fz = 2z-4。应同上面公式，得。再一次对x求偏导数，得。二、方程组的情形隐函数存在定理3 设F（x,y,u,v）、G（x,y,u,v）在点P（x0,y0,u0,v0）的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又F（x0,y0,u0,v0）= 0，G（x0,y0,u0,v0）= 0，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（Jacobi）式）：在点P（x0,y0,u0,v0）不等于零，则方程组F（x,y,u,v）= 0，G（x,y,u,v）= 0在点（x0,y0,u0,v0）的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续导数的函数u = u（x,y），v = v（x,y），它们满足条件u0 = u（x0,y0），v0 = v（x0,y0），并有8.5 微分法在几何上的应用8.5.1 空间曲线的切线与法平面设空间曲线的参数方称为x=(t)，y=(t)，z=(t)，这里假定上式的三个函数都可导。插图1在曲线上取对应于t=t0的一点M（x0，y0，z0）。根据解析几何，可得曲线在点M处的切线方程为。切线的方向向量称为曲线的切向量。向量T=（t0），（t0），（t0）就是曲线在点M处的一个切向量。通过点而与切线垂直的平面称为曲线在点M处的法平面，它是通过点M（x0，y0，z0）而以T为法向量的平面，因此这法平面的方程为（t0）（x-x0）+（t0）（y-y0）+（t0）（z-z0）= 0。8.5.2 曲面的切平面与法线 插图2设曲面由方程F（x,y,z）= 0给出，M（x0，y0，z0）是曲面上的一点，并设函数F（x,y,z）的偏导数在该点连续且不同时为零。则根据解析几何，可得曲面上通过点M的一切曲线在点M的切线都在同一个平面上。这个平面称为曲面在点M的切平面。这切平面的方程是Fx（x0，y0，z0）（x-x0）+Fy（x0，y0，z0）（y-y0）+Fz（x0，y0，z0）（z-z0）= 0通过点M（x0，y0，z0）而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线。法线方程是x=3垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量。向量n = Fx（x0，y0，z0），Fy（x0，y0，z0），Fz（x0，y0，z0）就是曲面在点M处的一个法向量。8.6 多元函数极值的求法8.6.1 多元函数的极值二元函数的极值问题，一般可以利用偏导数来解决。定理1（必要条件） 设函数z = f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数，且在点(x0,y0)处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：fx(x0,y0) = 0，fy(x0,y0) = 0。定理2（充分条件） 设函数z = f(x,y)在点(x0,y0)的某领域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x0,y0) = 0，fy(x0,y0) = 0，令fxx(x0,y0) = A，fxy(x0,y0) = B，fyy(x0,y0) = C，则f(x,y)在(x0,y0)处是否取得极值的条件如下：（1）AC-B20时具有极值，且当A0时有极小值；（2）AC-B2 0且在D上连续。现在要计算该薄片的质量M。由于面密度（x，y）是变量，薄片的质量不能直接用密度公式（M =S）来计算。但（x，y）是连续的，利用积分的思想，把薄片分成许多小块后，只要小块所占的小闭区域D s i的直径很小，这些小块就可以近似地看作均匀薄片。在D s i（这小闭区域的面积也记作D s i）上任取一点（x i，h i），则（x i，h i）D s i（i = 1，2，n）可看作第i个小块的质量的近似值插图1。通过求和，再令n个小区域的直径中的最大值（记作）趋于零，取和的极限，便自然地得出薄片的质量M，即。再设有一立体，它的底是xOy面上的闭区域D，它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面，它的顶是曲面z = f（x，y），这里f（x，y） 0且在D上连续。这种立体叫做曲顶柱体。现在要计算上述曲顶柱体的体积V。由于曲顶柱体的高f（x，y）是变量，它的体积不能直接用体积公式来计算。但仍可采用上面的思想方法，用一组曲线网把D分成n个小闭区域D s 1 ，D s 2，D s n，在每个D s i上任取一点（x i，h i），则f（x i，h i）D s i（i = 1，2，n）可看作以f（x i，h i）为高而底为D s i的平顶柱体的体积插图2。通过求和，取极限，便得出。上面两个问题所要求的，都归结为同一形式的和的极限。在其他学科中，由许多物理量和几何量也可归结为这一形式的和的极限。因此我们要一般地研究这种和的极限，并抽象出下述二重积分的定义。定义 设f（x，y）是有界闭区域D上的有界函数。将闭区域D任意分成n个小闭区域D s 1 ，D s 2，D s n，其中D s i表示第i个小闭区域，也表示它的面积。在每个D s i上任取一点（x i，h i），作乘积 f（x i，h i）D s i（i = 1, 2, , n,），并作和。如果当各小闭区域的直径中的最大值l 趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f（x，y）在闭区域D上的二重积分，记作，即。其中f（x，y）叫做被积函数，f（x，y）ds 叫做被积表达式，ds 叫做面积元素，x与y叫做积分变量，D叫做积分区域，叫做积分和。在二重积分的定义中对闭区域D的划分是任意的，如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D，那末除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域。设矩形闭区域D s i的边长为D xj和D yk，则D s = D xjD yk。因此在直角坐标系中，有时也把面积元素ds 记作dxdy，而把二重积分记作其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素。这里我们要指出，当f（x，y）在闭区域D上连续时，（*）式右端的和的极限必定存在，也就是说，函数f（x，y）在D上的二重积分必定存在。9.1.2 二重积分的性质二重积分与定积分有类似的性质：性质1 被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，即（k为常数）。性质2 函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重积分的和（或差）。例如。性质3 如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和。例如D分为两个闭区域D1与 D2，则。此性质表示二重积分对于积分区域具有可加性。性质4 如果在D上，f（x，y）= 1，s 为D的面积，则。此性质的几何意义很明显，因为高为1的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的底面积。性质5 如果在D上，f（x，y） j （x，y），则有不等式。特殊地，由于- | f（x，y）| f（x，y） | f（x，y）|，又有不等式。性质6 设M，m分别是f（x，y）在闭区域D上的最大值和最小值，s 是D的面积，则有。上述不等式是对二重积分估值的不等式。性质7（二重积分的中值定理） 设函数f（x，y）在闭区域D上连续，s 是D的面积，则在D上至少存在一点（x ，h ）使得下式成立：。9.2 二重积分的计算法（直角坐标，极坐标）按照二重积分的定义来计算二重积分，对特别简单的被积函数和积分区域来说可行，但对一般的函数和积分区域来说，这不是一种切实可行的方法。这里介绍一种方法，把二重积分化为两次单积分（即两次定积分）来计算。9.2.1 利用直角坐标计算二重积分 下面用几何的观点来讨论二重积分的计算问题。在讨论中我们假定f（x，y） 0。并设积分区域D可以用不等式j 1（x） y j 2（x），axb来表示插图1，其中函数j 1（x）、j 2（x）在区间 a，b 上连续。我们应用“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法，来计算这个曲顶柱体的体积。为计算截面面积，在区间 a，b 上任意取定一点x0，作平行于yOz面的平面x=x0。这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间 j 1（x0），j 2（x0） 为底、曲线z = f（x0，y）为曲边的曲边梯形（插图2中阴影部分），所以这截面的面积为。一般的，过区间 a，b 上任一点x且平行于yOz面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为，于是，得曲顶柱体的体积为。这个体积也就是所求二重积分的值，从而有等式。（1）上式右端的积分叫做先对y、后对x的二次积分。就是说，先把x看作常数，把f（x，y）只看作y的函数，并对y计算从j 1（x）到j 2（x）的定积分；然后把算得的结果（是x的函数）再对x计算在区间 a，b 上的定积分。这个先对y、后对x的二次积分也常记作。因此，等式（1）也写成，（1）在上述讨论中，我们假定f（x，y） 0，但实际上公式（1）的成立并不受此条件限制。类似地，如果积分区域D可以用不等式1（y） x 2（y），cyd来表示插图3，其中函数1（y）、 2（y）在区间 c，d 上连续，那末就有。上式右端的积分叫做先对x、后对y的二次积分，这个积分也常记作。因此，等式（2）也写成，（2）这就是把二重积分化为先对x、后对y的二次积分的公式。我们称图9-2-1所示的积分区域为X-型区域，图9-2-3所示的积分区域为Y-型区域。对不同的区域，可以应用不同的公式。如果积分区域D既不是X-型的，也不是Y-型的，我们可以把D分成几个部分，使每个部分是X-型区域或是Y-型区域。如果积分区域D既是X-型的，又是Y-型的，则由公式（1）及（2）就得。上式表明，这两个不同次序的二次积分相等，因为它们都等于同一个二重积分。二重积分化为二次积分时，确定积分限是一个关键。而积分限是根据积分区域D的类型来确定的。例1 计算，其中D是由直线y = 1、x = 2及y = x所围成的闭区域。解法1 首先画出积分区域D插图4。D是X-型的，D上的点的横坐标的变动范围是区间1，2。在区间1，2上任意取定一个x值，则D上以这个x值为横坐标的点在一段直线上，这段直线平行于y轴，该线段上点的纵坐标从y = 1变到y = x。利用公式（1）得。解法2 把积分区域D看成是Y-型的。同学们可作为练习，验证解出的答案是否与解法1的相一致。对于较复杂的积分区域，在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次序。这时，既要考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数f（x，y）的特性。例2 求量各底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积。解 设这两个圆柱面的方程分别为x2 + y2 = R2及x2 + z2 = R2利用立体关于坐标平面的对称性，只要算出它在第一卦限部分插图5的体积V1，然后再乘以8就行了。所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为，如图9-2-5（b）所示。它的顶是柱面。于是，。利用公式（1）得 从而所求立体体积为。9.2.2 利用极坐标计算二重积分有些二重积分，积分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，且被积函数用极坐标变量r，比较简单。这时，我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分。按二重积分的定义有，下面将推导出这个和的极限在极坐标系中的形式。假定从极点O出发且穿过闭区域D内部的射线与D的边界曲线相交不多于两点。我们用以极点为中心的一族同心圆：r=常数，以及从极点出发的一族射线：=常数，把D分成n个小闭区域插图6。除了包含边界点的一些小闭区域外，小闭区域的面积D s i可计算如下： 其中表示相邻两圆弧的
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