图形的平移与旋转

.第十讲 图形的平移与旋转 前苏联数学家亚格龙将几何学定义为：几何学是研究几何图形在运动中不变的那些性质的学科 几何变换是指把一个几何图形Fl变换成另一个几何图形F2的方法，若仅改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、旋转是常见的合同变换 如图1，若把平面图形Fl上的各点按一定方向移动一定距离得到图形F2后，则由的变换叫平移变换 平移前后的图形全等，对应线段平行且相等，对应角相等 如图2，若把平面图Fl绕一定点旋转一个角度得到图形F2，则由Fl到F2的变换叫旋转变换，其中定点叫旋转中心，定角叫旋转角旋转前后的图形全等，对应线段相等，对应角相等，对应点到旋转中心的距离相等 通过平移或旋转，把部分图形搬到新的位置，使问题的条件相对集中，从而使条件与待求结论之间的关系明朗化，促使问题的解决注 合同变换、等积变换、相似变换是基本的几何变换等积变换，只是图形在保持面积不变情况下的形变而相似变换，只保留线段间的比例关系，而线段本身的大小要改变例题求解【例1】如图，P为正方形ABCD内一点，PA：PB：PC1：2：3，则APD= 思路点拨 通过旋转，把PA、PB、PC或关联的线段集中到同一个三角形 【例2】 如图，在等腰RtABC的斜边AB上取两点M，N，使MCN=45，记AMm，MN= x，DN=n，则以线段x、m、n为边长的三角形的形状是( ) A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D随x、m、n的变化而改变思路点拨 把ACN绕C点顺时针旋转45，得CBD，这样ACM+BCN=45就集中成一个与MCN相等的角，在一条直线上的m、x、n 集中为DNB，只需判定DNB的形状即可注 下列情形，常实施旋转变换： (1)图形中出现等边三角形或正方形，把旋转角分别定为60、90； (2)图形中有线段的中点，将图形绕中点旋转180，构造中心对称全等三角形； (3)图形中出现有公共端点的线段，将含有相等线段的图形绕公共端点，旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合 【例3】 如图，六边形ADCDEF中，ANDE，BCEF，CDAF，对边之差BCEFEDABAFCD0，求证：该六边形的各角相等(全俄数学奥林匹克竞赛题)思路点拨 设法将复杂的条件BCFF=EDAB=AFCD0用一个基本图形表示，题设中有平行条件，可考虑实施平移变换注 平移变换常与平行线相关，往往要用到平行四边形的性质，平移变换可将角，线段移到适当的位置，使分散的条件相对集中，促使问题的解决【例4】 如图，在等腰ABC的两腰AB、AC上分别取点E和F，使AE=CF已知BC=2，求证：EF1 (西安市竞赛题)思路点拨 本例实际上就是证明2EFBC，不便直接证明，通过平移把BC与EF集中到同一个三角形中 注 三角形中的不等关系，涉及到以下基本知识： (1)两点间线段最短，垂线段最短； (2)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；(3)同一个三角形中大边对大角(大角对大边)，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 【例5】 如图，等边ABC的边长为，点P是ABC内的一点，且PA2+PB2PC2，若PC=5，求PA、PB的长 (“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 题设条件满足勾股关系PA2+PB2PC2的三边PA、PB、PC不构成三角形，不能直接应用，通过旋转变换使其集中到一个三角形中，这是解本例的关键学历训练1如图，P是正方形ABCD内一点，现将ABP绕点B顾时针方向旋转能与CBP重合，若PB=3，则PP= 2如图，P是等边ABC内一点，PA6，PB=8，PC10，则APB 3如图，四边形ABCD中，ABCD，D=2B，若AD=a，AB=b，则CD的长为 4如图，把ABC沿AB边平移到ABC的位置，它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是ABC的面积的一半，若AB=，则此三角形移动的距离AA是( ) A B Cl D (2002年荆州市中考题)5如图，已知ABC中，AB=AC，BAC=90，直角EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点C、F，给出以下四个结论：AE=CF；EPF是等腰直角三角形；S四边形AEPF=SABC；EF=AP当EPF在ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)，上述结论中始终正确的有( ) A1个 B2个 C 3个 D4个 (2003年江苏省苏州市中考题)6如图，在四边形ABCD中，ABBC，ABC=CDA=90，BEAD于E， S四边形ABCDd=8，则BE的长为( ) A2 B3 C D (2004年武汉市选拔赛试题)7如图，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为和，对角线BD、FH都在直线上，O1、O2分别为正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距，当中心O2在直线上平移时，正方形EFGH也随之平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有变化(1)计算：O1D= ，O2F= ；(2)当中心O2在直线上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1O2= ；(3)随着中心O2在直线上平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化?并求出相对应的中心距的值或取值范围(不必写出计算过程) (徐州市中考题)8图形的操做过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均为b）：在图a中，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2,得到封闭图形A1A2B1B2（即阴影部分）；在图b中， 将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B1B2B3（即阴影部分）； （1） 在图c中,请你类似地画一条有两个折点的折线,同样向右平移1个单位,从而得到一个封闭图形,并用斜线画出阴影；（2） 请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S1= ，,S2= ，S3= ；（3） 联想与探索： 如图d，在一块矩形草地上,有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的 (2002年河北省中考题)9如图，已知点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形，求证：ANBM 说明及要求：本题是几何第二册几15中第13题，现要求：(1)将ACM绕C点按逆时针方向旋转180，使A点落在CB上，请对照原题图在图中画出符合要求的图形(不写作法，保留作图痕迹)(2)在所得的图形中，结论“ANBM”是否还成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由(3)在得到的图形中，设MA的延长线与BN相交于D点，请你判断ABD与四边形MDNC的形状，并证明你的结论10如图，在RtABC中，A90，AB3cm，AC=4cm，以斜边BC上距离B点3cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90至DEF，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是 cm211如图，在梯形ABCD中，ADBC，D=90，BC=CD=12，ABE=45，点E在DC上，AE、BC的延长线交于点F，若AE=10，则SADE+SCEF的值是 (绍兴市中考题)12如图，在ABC中，BAC=120，P是ABC内一点，则PA+PB+PC与AB+AC的大小关系是( ) APA+PB+PCAB+AC BPA+PB+PCDC15如图，P为等边ABC内一点，PA、PB、PC的长为正整数，且PA2+PB2=PC2，设PA=m，n为大于5的实数，满，求ABC的面积16如图，五羊大学建立分校，校本部与分校隔着两条平行的小河，表示小河甲，表示小河乙，A为校本部大门，B为分校大门，为方便人员来往，要在两条小河上各建一座桥，桥面垂直于河岸图中的尺寸是：甲河宽8米，乙河宽10米，A到甲河垂直距离为40米，B到乙河垂直距离为20米，两河距离100米，A、B两点水平距离(与小河平行方向)120米，为使A、B两点间来往路程最短，两座桥都按这个目标而建，那么，此时A、D两点间来往的路程是多少米? (“五羊杯”竞赛题)17如图，ABC是等腰直角三角形，C=90，O是ABC内一点，点O到ABC各边的距离都等于1，将ABC绕点O顺时针旋转45，得A1BlC1，两三角形公共部分为多边形KLMNPQ(1)证明：AKL、BMN、CPQ都是等腰直角三角形；(2)求ABC与A1BlC1公共部分的面积 (山东省竞赛题)18(1)操作与证明：如图1，O是边长为a的正方形ACBD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转，求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值(2)尝试与思考：如图2，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正三角形或正五边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转，当扇形纸板的圆心角为 时，正三角形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a；当扇形纸板的圆心角为 时，正五边形的边被纸板覆盖部分的总长度也为定值a(3)探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转当扇形纸板的圆心角为 时，正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a；这时正n边形被纸板覆盖部分的面积是否也为定值?若为定值，写出它与正n边形面积S之间的关系；若不是定值，请说明理由(江苏省连云港市中考题).