全等三角形几种常见辅助线精典题型

.全等三角形几种常见辅助线精典题型一、截长补短1、已知中，、分别平分和，、交于点，试判断、的数量关系，并加以证明 2、如图，点为正三角形的边所在直线上的任意一点(点除外)，作，射线与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系?3、如图，ADAB，CBAB，DM=CM=，AD=，CB=，AMD=75，BMC=45，求AB的长。4、已知：如图，ABCD是正方形，FAD=FAE. 求证：BE+DF=AE.5、以的、为边向三角形外作等边、，连结、相交于点求证：平分6、如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长 7、如图所示，在中，是底边上的一点，是线段 上的一点，且，求证.8、 五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180，求证：AD平分CDE二、全等与角度1、如图，在中，是的平分线，且，求的度数.2、如图所示，在中，又在上，在上，且满足，求.3、 在正内取一点，使，在外取一点，使，且，求.4、如图所示，在中，为内一点，使得，求的度数. 5、如图：在内取一点，使得，.设，求.6、如图，点为正方形的边上任意一点，且与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系？如是正五边形，正六边形呢？参考答案：一、截长补短1、，理由是：在上截取，连结，利用证得，利用证得，2、.过点作交于点，又，而，3、 过点D作BC的垂线，垂足为E.AMD=75，BMC=45 DMC=60DM=CM CD=DMADAB，DEBC，CBAB，AMD=75ADM=EDCADMCDEAD=DE故ABED为正方形，AB=AD=，选D.4、延长CB至M，使得BM=DF，连接AM.AB=AD，ADCD，ABBM，BM=DF ABMADFAFD=AMB，DAF=BAMABCDAFD=BAF=EAF+BAE=BAE+BAM=EAMAMB=EAMAE=EM=BE+BM=BE+DF.5、因为、是等边三角形，所以，则，所以，则有，在上截取，连结，容易证得，进而由得；由可得，即平分6、如图所示，延长到使.在与中，因为，所以，故.因为，所以.又因为，所以. 在与中，所以，则，所以的周长为.7、如图所示，作的平分线交于，又过作交于，交于，则知，从而.又，则.由可得.注意到，故有，从而，于是.又由，有，且.而，从而，即，故.8、延长DE至F，使得EF=BC，连接AC.ABC+AED=180，AEF+AED=180 ABC=AEFAB=AE，BC=EF ABCAEF EF=BC，AC=AFBC+DE=CD CD=DE+EF=DFADCADF ADC=ADF即AD平分CDE.二、全等与角度1、如图所示，延长至使，连接、.由知，而，则为等边三角形.注意到，故.从而有，故.所以，【另解】在上取点，使得，则由题意可知.在和中，则，从而，进而有，.注意到，则：，故.【点评】由已知条件可以想到将折线“拉直”成，利用角平分线可以构造全等三角形.同样地，将拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的.需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想. 上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考虑的方法.2、过作的平行线交于，连接交于.连接，易知、均为正三角形. 因为，所以，则，故. 从而.进而有，3、如图所示，连接.因为，则，故.而，因此，故.4、在中，由可得，.如图所示，作于点，延长交于点，连接，则有，所以.又因为，所以.而，因此，故.由于，则，故5、如图所示，的高与直线交于点，则.而，由两角夹一边法则可知，因此，6、.在上截取，.