光的衍射习题(附答案)

.光的衍射（附答案）一 填空题1. 波长 = 500 nm（1 nm = 109 m）的单色光垂直照射到宽度a = 0.25 mm的单缝上，单缝后面放置一凸透镜，在凸透镜的焦平面上放置一屏幕，用以观测衍射条纹今测得屏幕上中央明条纹之间的距离为d = 12 mm，则凸透镜的焦距 f 为3 m2. 在单缝夫琅禾费衍射实验中，设第一级暗纹的衍射角很小，若钠黄光（1 589 nm）中央明纹宽度为 4.0 mm，则2 442 nm（1 nm = 109 m）的蓝紫色光的中央明纹宽度为3.0 mm3. 平行单色光垂直入射在缝宽为a = 0.15 mm的单缝上，缝后有焦距为f = 400 mm的凸透镜，在其焦平面上放置观察屏幕现测得屏幕上中央明纹两侧的两个第三级暗纹之间的距离为8 mm，则入射光的波长为500 nm（或5104mm）4. 当一衍射光栅的不透光部分的宽度b与透光缝宽度a满足关系 b = 3a 时，衍射光谱中第4, 8, 级谱线缺级5. 一毫米内有500条刻痕的平面透射光栅，用平行钠光束与光栅平面法线成30角入射，在屏幕上最多能看到第5级光谱6. 用波长为的单色平行红光垂直照射在光栅常数d = 2 m（1 m = 106 m）的光栅上，用焦距f = 0.500 m的透镜将光聚在屏上，测得第一级谱线与透镜主焦点的距离l = 0.1667 m，则可知该入射的红光波长=632.6或633nm7. 一会聚透镜，直径为3 cm，焦距为20 cm照射光波长550nm为了可以分辨，两个远处的点状物体对透镜中心的张角必须不小于2.24105rad这时在透镜焦平面上两个衍射图样中心间的距离不小于4.47m8. 钠黄光双线的两个波长分别是589.00 nm和589.59 nm（1 nm = 109 m），若平面衍射光栅能够在第二级光谱中分辨这两条谱线，光栅的缝数至少是5009. 用平行的白光垂直入射在平面透射光栅上，波长为1 = 440 nm的第3级光谱线将与波长为2 =660 nm的第2级光谱线重叠（1 nm = 109 m）10. X射线入射到晶格常数为d的晶体中，可能发生布拉格衍射的最大波长为2d二 计算题11. 在某个单缝衍射实验中，光源发出的光含有两种波长1和2，垂直入射于单缝上假如1的第一级衍射极小与2的第二级衍射极小相重合，试问：(1) 这两种波长之间有何关系？(2) 在这两种波长的光所形成的衍射图样中，是否还有其它极小相重合？解：(1) 由单缝衍射暗纹公式得a sin1 = 1 1 a sin2 = 2 2由题意可知 1 = 2, sin1 = sin2代入上式可得 1 = 2 2(2) a sin1 = k1 1 =2 k1 2 (k1=1, 2, )sin1 = 2 k1 2 / aa sin2 = k2 2 (k2=1, 2, )sin2 = 2 k2 2 / a若k2 = 2 k1，则1 = 2，即1的任一k1级极小都有2的2 k1级极小与之重合12. 在单缝的夫琅禾费衍射中，缝宽a = 0.100 mm，平行光垂直如射在单缝上，波长= 500 nm，会聚透镜的焦距f = 1.00 m求中央亮纹旁的第一个亮纹的宽度x解：单缝衍射第1个暗纹条件和位置坐标x1为a sin1 = x1 = f tan1 f sin1 f / a (1很小)单缝衍射第2个暗纹条件和位置坐标x2为a sin2 = 2 x2 = f tan2 f sin2 2 f / a (2很小)单缝衍射中央亮纹旁第一个亮纹的宽度x1 = x2 x1 f (2 / a / a) = f / a=1.005.00107/(1.00104) m=5.00mm13. 在单缝夫琅禾费衍射中，垂直入射的光有两种波长，1 = 400 nm，2 = 760 nm（1 nm = 109 m）已知单缝宽度a = 1.0102 cm，透镜焦距f = 50 cm(1) 求两种光第一级衍射明纹中心间的距离(2) 若用光栅常数a = 1.010-3 cm的光栅替换单缝，其它条件和上一问相同，求两种光第一级主极大之间的距离解：(1) 由单缝衍射明纹公式可知a sin1 = (2 k + 1) 1 = 1 （取k = 1）a sin2 = (2 k + 1) 2 = 2tan1 = x1 / f，tan2 = x1 / f由于 sin1 tan1，sin2 tan2所以 x1 = f 1 / ax2 = f 2 / a 则两个第一级明纹之间距为 x1 = x2 x1 = f / a = 0.27 cm(2) 由光栅衍射主极大的公式d sin1 = k 1 = 1 1d sin2 = k 2 = 1 2且有sin = tan = x / f所以x1 = x2 x1 = f / a = 1.8 cm14. 一双缝缝距d = 0.40 mm，两缝宽度都是a = 0.080 mm，用波长为 = 480 nm（1 nm = 109 m）的平行光垂直照射双缝，在双缝后放一焦距f = 2.0 m的透镜求：(1) 在透镜焦平面的屏上，双缝干涉条纹的间距l；(2) 在单缝衍射中央亮纹范围内的双缝干涉数目N和相应的级数解：双缝干涉条纹(1) 第k级亮纹条件：d sin = k 第k级亮条纹位置：x1 = f tan1 f sin1 k f / d相邻两亮纹的间距：x = xk +1 xk = (k + 1) f / d k / d = f / d = 2.4103 m = 2.4 mm(2) 单缝衍射第一暗纹：a sin1 = 单缝衍射中央亮纹半宽度：x0 = f tan1 f sin1 k f / d = 12 mmx0 / x = 5 双缝干涉第 5级主极大缺级 在单缝衍射中央亮纹范围内，双缝干涉亮纹数目N = 9分别为k = 0, 1, 2, 3, 4级亮纹或根据d / a = 5指出双缝干涉缺第 5 级主极大，同样可得出结论。15. 用钠光（ = 589.3 nm）垂直照射到某光栅上，测得第三级光谱的衍射角为60(1) 若换用另一光源测得其第二级光谱的衍射角为30，求后一光源发光的波长(2) 若以白光（400 nm 760n m）照射在该光栅上，求其第二级光谱的张角解：(1) (a+b) sin =3a+b = 3 / sin， = 60a+b = 2 / sin， = 303 / sin = 2 / sin = 510.3 nm(2) a+b = 3 / sin=2041.4 nm2 = arcsin (2400 / 2041.4) nm ( = 400 nm)2 = arcsin (2760 / 2041.4) nm ( = 760 nm)白光第二级光谱的张角 = 2 2 = 2516. 一束平行光垂直入射到某个光栅上，该光栅有两种波长的光，1 = 440 nm，2 = 660 nm实验发现，两种波长的谱线（不计中央明纹）第二次重合于衍射角 = 60 的方向上，求此光栅的光栅常数d解：由光栅衍射主极大公式得d sin1 = k 1d sin2 = k 2= = = 当两谱线重合时有1 = 2即 = = = = 两谱线第二次重合即是 = ，k1 = 6， k2 = 4由光栅公式可知d sin60 = 6 1 d = = 3.05103 mm17. 将一束波长 = 589 nm（1 nm = 109 m）的平行钠光垂直入射在1厘米内有5000条刻痕的平面衍射光栅上，光栅的透光缝宽度a与其间距b相等，求：(1) 光线垂直入射时，能看到几条谱线？是哪几级？(2) 若光线以与光栅平面法线的夹角 = 60 的方向入射时，能看到几条谱线？是哪几条？解：(1) (a+b) sin = k 当 = /2时，k = (a+b) / = 3.39，kmax = 3又 a = b，(a+b) sin = 2a sin = k 有谱线a sin = k / 2但当k = 2, 4, 6, 时缺级 能看到5条谱线，为0, 1, 3级(2) (a+b) (sin + sin) = k ， = 30， = 90 = ，k = (a+b) (sin30 + sin90) / = 5.09取kmax = 5 = ，k = (a+b) (sin30 sin90) / = 1.7取kmax = 1 a = b 第2, 4, 级缺级 能看到5条谱线，为 +5, +3, +1, 0, 1级18. 波长 = 600 nm（1 nm = 109 m）的单色光垂直入射到一光栅上，测得第二级主极大的衍射角为30，且第三级是缺级(1) 光栅常数 (a + b) 等于多少？(2) 透光缝可能的最小宽度a等于多少？(3) 在选定了上述 (a + b) 和a之后，求在衍射角 范围内可能观察到的全部主极大的级次解：(1) 由光栅衍射的主极大公式得a + b = = 2.4104 cm(2) 若第三级不缺级，则由光栅公式得 (a+b) sin = 3 由于第三级缺级，则对应于最小可能的a，方向应是单缝衍射第一级暗纹：两式比较，得a sin = a = = 8.0105 cm(3) (a+b) sin = k （主极大）a sin = k （单缝衍射极小）(k = 1, 2, 3, )因此k = 3, 6, 9, 缺级；又 kmax = = 4， 实际呈现出的是k = 0, 1, 2级明纹（k = 4在/2处不可见）19. 在通常亮度下，人眼瞳孔直径约为，若视觉感受最灵敏的光波长为 = 550 nm（1 nm = 109 m），试问：(1) 人眼最小分辨角是多大？(2) 在教室的黑板上，画的等号两横线相距2 mm，坐在距黑板10 m 处的同学能否看清？（要有计算过程）解：(1) 已知得d = 3 mm，= 550 nm，人眼的最小分辨角为： = 1.22 / d = 2.24104 rad(2) 设等号两横线相距x = 2 mm时，人距黑板刚好看清，则l = x / = 8.9 m所以距黑板10m处的同学看不清楚20. 一平面透射多缝光栅，当用波长1 = 600 nm（1 nm = 109 m）的单色平行光垂直入射时，在衍射角 = 30 的方向上可以看到第2级主极大，并且在该处恰能分辨波长差 = 5103 nm的两条谱线当用波长2 = 400 nm的单色平行光垂直入射时，在衍射角 = 30的方向上却看不到本应出现的第3级主极大求光栅常数d和总缝数N，再求可能的缝宽a解：根据光栅公式d sin = k 1得d = = 2.4103 nm = 2.4 m据光栅分辨本领公式R = 1 / = kN得N = = 60000在 = 30 的方向上，波长2 = 400 nm的第3级主极大缺级，因而此处一定恰好是波长为2入射光单缝衍射的一个极小出现的位置。故有：d sin30 = 3 2，a sin30 = k 2 a = k d / 3, k =1或2缝宽a有下列两种可能：当k =1时，a = d = 2.4 m = 0.8 m当k =2时，a = d = 2.4 m = 1.6 m21. 某单色X射线以30 角掠射晶体表面时，在反射方向出现第一级极大；而另一单色X射线，波长为0.097 nm，它在与晶体表面掠射角为60 时，出现第三级极大试求第一束X射线的波长解：设晶面间距为d，第一束X射线波长为1，掠射角1 = 30，级次k1 = 1；另一束射线波长为2 = 0.097 nm，掠射角2 = 60，级次k2 = 3根据布拉格公式：第一束2d sin1 = k1 1第二束2d sin2 = k2 2两式相除得1 = = 0.168 nm.