仿射变换在简单图形中的应用

.本科生毕业论文（设计）册 仿射变换在简单图形中的应用学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学班级：2012级B班学生：孙翔然指导教师：马凯二一六年五月十日.河北师范大学本科毕业论文（设计）任务书论文（设计）题目： 仿射变换在简单图形中的应用 学 院： 数学与信息科学学院 专业： 数学与应用数学 班级： 2012级 B班 学生姓名： 孙翔然 学号： 2012012766 指导教师： 马凯 职称： 副教授 1、论文（设计）研究目标及主要任务研究目标：仿射变换主要任务：探讨仿射变换在初等几何中的应用，提出了利用仿射变换解决初等几何问题的基本思路.应用仿射不变性和不变量解决一般梯形、平行四边形、椭圆的有关仿射命题是仿射几何思想方法和知识体现于解决初等几何中.2、论文（设计）的主要内容探讨仿射变换在初等几何中的应用，提出了利用仿射变换解决初等几何问题的基本思路.应用仿射不变性和不变量解决一般梯形、平行四边形、椭圆的有关仿射命题是仿射几何思想方法和知识体现于解决初等几何中.3、论文（设计）的基础条件及研究路线基础条件：初中几何图形的性质，高中接触的建立直角坐标系、解决几何问题问题，大学中学习的高等几何，数学分析.研究路线：阅读高等几何，数学分析等相关书籍深入学习研究总结全文.4、主要参考文献1 李修昌、宋建华、崔仁浩，高等几何 哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2008.6.2朱得祥、朱维宗，高等几何（第2版）.北京：高等教育出版社，2007.7.3苏雅格洛姆著，詹汉生译，几何变换.2/哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社2015.6.4周兴和、杨明升著，高等几何第三版 北京：科学出版社，2015.1.5、计划进度阶段起止日期1完成选题、确定论文题目2016.1.1-2016.1.152提交任务书、制定进度计划，对论文文献、资料进行准备2016.1.16-2016.2.163继续收集资料，完成开题报告2016.2.17-2016.3.174完成论文初稿，毕业论文中期检查，完成论文二稿，英文文献翻译2016.3.18-2016.4.165修改论文，完成论文定稿，打印，准备答辩2016.4.16-2016.5.10指 导 教师: 年 月 日教研室主任: 年 月 日河北师范大学本科生毕业论文（设计）开题报告书 数学与信息科学 学院 数学与应用数学 专业 2016 届学生姓名孙翔然论文（设计）题目仿射变换在简单图形中的应用指导教师马凯专业职称数学所属教研室几何研究方向拓扑学课题论证：见附页方案设计：复习仿射不变性的基本知识及其运用；通过各种渠道查找收集仿射不变性的基本知识及其应用的相关资料，并认真研读有关资料；总结仿射不变性性质及其仿射不变量求解的应用；努力发现一些问题和亮点，并进行研究；完成论文的撰写，并做好查漏补缺工作.进度计划：2016.01.01-2016.01.15： 完成选题、确定论文题目2016.01.16-2016.02.16：提交任务书、制定计划进度，对论文文献、资料进行准备2016.02.17-2016.03.17：继续收集资料，完成开题报告2016.03.18-2016.04.16：完成论文初稿，毕业论文中期检查，完成论文二稿，英文文献翻译2016.04.16-2016.05.10：修改论文，完成论文定稿，打印，准备答辩指导教师意见：指导教师签名： 年 月 日教研室意见： 教研室主任签名： 年 月 日河北师范大学本科生毕业论文附页课题论证： 课题的背景：射影几何学的创设人笛沙格（Girard Desargues，1591-1661法国数学家、建筑师）由中心射影理论推出两条平行直线应该在无穷远处相交并将交点成为理想点，将添加进了理想点的欧式空间叫做射影空间.1639年，笛沙格在试论锥面截一平面所得的结果的初稿一书中集中展现射影几何学的新思想和新方法，该书的创造性见解在射影几何的发展过程中具有决定性的意义.在射影几何学的早期发展中还有一个人不能不提，他就是布莱士帕斯卡（Blaise Pascal ,16231662），是法国著名的数学家、物理学家）.尽管年少时体弱多病，但他却在很早的时候就展现令人非凡的数学才能.从14岁起，帕斯卡的父亲经常带他在巴黎参加每周一次的数学家们的聚会.在数学的氛围中接受了良好的熏陶，帕斯卡在科学之路上迅速成长了起来.1641年，他发现了射影几何学中一条重要的定理：“内接于二次曲线的六边形的三双对边的交点共线.”这条定理后来被命名为帕斯卡六边形定理.1658年，他写了圆锥曲线论，这本书中的诸多都是射影几何方面的内容.因解析几何和微积分两大数学分支的影响，笛沙格和帕斯卡创建定理时使用的综合法逐渐被解析法所取代，射影几何的发展也自此而没落了200余年.1822年射影几何主要的奠基人彭赛列（Jean-VictorPoncelet，17881867，法国数学家）发表了射影几何的第一部系统著作.并开始采用建立坐标系的方法来解决几何问题，尽管建立的坐标系仍不完善，但迈出了至关重要的一步.此外，数学家们也开始运用解析法来研究射影几何.在以彭赛列为首的一批几何学家的努力钻研下，19世纪的射影几何迎来了蓬勃的发展.课题的意义：仿射变换，即平行投影变换，是几何学中的一个重要变换，是从运动变换过渡到射影变换的桥梁.在初等几何中，仿射图形经过平面仿射变换，可以由对特殊几何图形的证明，得出对一般几何图形的证明.而且，根据仿射变换的性质，可以把特殊图形的命题推广到一般图形，可以达到事半功倍的效果，至关重要.课题的研究内容：本文主要探讨了仿射变换在初等几何中的应用，以具体实例为依据，应用仿射变换解决一些简单几何图形的基本问题如一般梯形、一般平行四边形、一般椭圆形等基本图形问题，将特殊几何图形的证明转换为一般图形的证明，以达到事半功倍的效果.此外，理论用于实践，通过仿射变换将一般的图形和特殊的图形联系起来，并针对不同图形列出了典型例题，使问题更加清晰可见.课题的研究方法及路线：本论文主要以查找资料，以现有的知识水平，在前人的研究论述基础上，应用仿射变性的相关理论，采取了从大量阅读已有的数据资料-对资料进行研究总结-运用相关知识通过仿射变换性质及其应用来寻求解题的思路和相关问题的求解.课题预期达到的目标：通过这次论文的撰写，能更深地理解高等几何等相关课程的知识，通过对仿射变换性质及应用的研究使我重新审视了仿射变换的定义，对仿射变换的相关知识有了更深地理解，对计仿射变换的基本定义和应用技巧有较好的理解掌握.同时在本文的撰写过程中掌握参考文献资料的查找方法和论文写作的基本要求和方法，培养自己利用所学知识分析和解决问题的能力，学会从不同的角度看待问题，从而达到对所学知识融会贯通.河北师范大学本科生毕业论文（设计）文献综述仿射变换是高等几何中常见的一类基本变换.在高等几何中，把平行光线照射到物体上，得到的影子叫做平行投影.平行投影是仿射变换中最基本、最简单的一类.几何图形经过平行投影保留不变的性质成为图形的仿射性质.图形仿射性质有：平行投影点变成点；直线变成直线；平行投影保持直线的关系等.仿射几何是高等几何的重要组成部分，是联结射影几何与欧式几何的纽带，是应用高等几何只是解决初等几何问题的一条重要纽带.朱根顺、吕庆安在发表的仿射变换在初等几何中的应用指出：在初等几何里，有大量的命题是研究图形仿射性质的，即并不涉及距离，角度，面积的具体度量，反而涉及点线结合关系，直线的平行性，共线与平行线段之比，封闭图形面积之比以及线段中点的概念.对于这类命题，我们可以充分的利用仿射几何的有关理论.由特殊到一般，化繁为简的加以解决，从而达到事半功倍的效果，这方面问题的解决，常常可以借助于仿射变换与仿射坐标系来实现.徐天长在发表的论文仿射变换在初等几何中应用指出：仿射变换在初等几何的应用多样化的，只要是善于联系，善于分析，善于应用，许多复杂的问题都可以简化.从所举的例子可以看出，仿射变换的应用是灵活而有规律的，其方法是从特殊到一般的方法.正三角形是特殊的三角形，正方形是特殊的平行四边形，而圆由是特殊的椭圆.因此，利用平行投影把这种特殊和一般巧妙的联系起来，把一般的问题转化为特殊的问题，从而轻而易举地得到解决.从例题可以总结得出：应用仿射变换中的仿射不变性质与仿射不变量解体的步骤可以概括如下：判断求解的问题是否能利用仿射不变性质、仿射不变量求解，一般涉及到点共直线，直线共点，线段比，面积比等一类问题皆可应用仿射变换解题.选择合适的仿射变换，找出所给图形的合适的仿射图形.在仿射图形中求证，写出具体的仿射变换及解题过程.但值得我们注意的是，所考虑的问题都必须是仿射性质的问题，否则这种方法就不适用了.参考文献：1 闻仲良等，高等几何【M】.四川大学出版社，2006，6-152宋卫东等，解析几何【M】.高等教育出版社，2003，237-2453 罗崇善等，高等几何讲义【M】.四川科技技术出版社，1987，,15-274王中怀，化二次射影几何问题为初等几何问题数学通报，1993（4）41-435吴子汇等，高等几何简明教程【M】.中国矿业大学出版社，19996刘增贤等，高等几何学习指导书【M】.高等教育出版社，19897张世容，射影几何学研究【J】.教学与研究，1988（5）.8王敬庚，试论射影几何对中学几何教学的指导意义J,19869朱根顺，仿射变换在初等几何中的应用【J】，1992（4）10徐天长，仿射变换在初等几何中的应用【J】.2003（9）11俞冬梅，论高等几何在平面几何中的应用J.现代商贸工业，2009，（13）：192-193.12疗效用.高等几何在初等几何中的一些应用J.黔南民族师范学院学报，2006，（6）：12-26.13 李修昌、宋建华、崔仁浩，高等几何 哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2008.6.14朱得祥、朱维宗，高等几何（第2版）.北京：高等教育出版社，2007.7.15苏雅格洛姆著，詹汉生译，几何变换.2/哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社2015.6.16周兴和、杨明升著，高等几何第三版 北京：科学出版社，2015.1. 19胡旭光， 河北师范大学本科生毕业论文（设计）翻译文章文化发源地中国、印度、巴比伦、埃及都是大河流贯，土地肥沃，适合农牧的好地方，造成古代农牧民族定居生存的优良条件.为了驯服和利用湍急的河流为农牧业生产服务，满足生产和生活的实际需要，产生和发展了技术和数学（特别是几何学）.测量土地，窥测天象、制定历法以利农牧，这是历代的大事.我国计算圆周率常常与修订立法联系在一起.公元5世纪，我国数学家祖冲之计算精确到小数六位，比欧洲人早一千一百多年，就跟他制定大明历有关.我国古代搞土木建筑，计算面积、体积和谷仓的容积，积累了许多实践经验，留下许多公式.祖冲之的儿子祖暅计算球的面积，用奇妙的算法得到完全正确的公式.我国最早的数学书周髀算经和九章算术里有许多几何问题.由这两本书可看出，圆周率和勾股定理我国早就知道了，这两书的作者及著作年代尚无定论，但所记载的问题源流极古，有的上溯到周秦以前，也有两汉时代的算法.再推前一些，无论石器时代的陶器上，或殷商的钟鼎上，都已有了精美的几何图案，说明我国几何学的历史是悠久的.战国时的墨翟所著墨经十五卷，比欧几里得几何原本早一个多世纪，其中谈到圆是“一中同长”的图形（有一个中心，圆上各点到中心有相同长度）.这表明几何学在中国古代已有了较高的水平.从国外来说，几何学的发展可以因其质变分为四个时期.第一个时期是几何作为数学的萌芽时期，从人类积累到生产、生活经验到大约公元前5世纪止.古代埃及积累了不少几何知识，特别是从尼罗河泛滥之后土地的重新测量，建筑许多金字塔.古埃及有了相似性的概念，掌握了四棱台求体积的公式.后来希腊人和埃及人通商，去埃及留学.根据希腊史家的记载，几何学于公元前7世纪传入巴比伦河希腊.埃及不成系统的几何知识跟希腊的逻辑相结合，几何有了质变.第二时期，几何称为数学的独立学科，希腊的几何传遍世界各地.在希腊，从公元前7世纪到2世纪，几何学在泰勒斯、毕达哥斯拉、迪莫克里特、柏拉图、欧多克索斯等哲学学派手中发展起来，以抽象化、逻辑化为特点，这是埃及几何知识和希腊逻辑方法相结、合的产物.欧几里得在前人的基础上写了几何原本，可以说是集埃及、希腊几何之大成.欧式原本跟阿波罗尼奥斯关于圆锥曲线的著作是几何上十分成熟流传到现在的著作.7世纪阿拉伯人的势力到达希腊，文化中心东移到地中海东岸叙利亚一带.8世纪末9世纪初几何原本译成阿拉伯文，扩大了影响.8世纪初阿拉伯人的势力到达西班牙，几何原本跟着到了欧洲.1120年被英国传道士阿德哈译成拉丁文，从此几何原本早欧洲渐有地位，尤其在的德国与意大利.但在中学学习，则是在印刷术发明以后的事，或者说中国在其发明的印刷术传到欧洲，对欧洲科学文化的传播发挥了积极作用.1482年有拉丁文的几何原本印行于威尼斯，此后以各国文字印行的欧式原本不下500版.作为世界科学著作，其流传时间之长、范围之广、影响之深远，古今中外无出其右.1570年始译为英文.明万历卅五年（1607）徐光启和利玛窦合译原本前六卷于北京，清咸丰五年（1855）李善兰和伟烈亚历山大续译后九卷.1739年原文译为俄文、两千余年间，欧式原本是所有数学家应读的课本，它是仅存的古代数学名著之一，这是历史对它作出的最好的评价.很早在希腊就给几何添加了新的内容，除上述阿波罗尼奥斯的圆锥曲线外，还有阿基米德确定面积、体积的新方法，西巴尔卡的三角法初步与梅乃劳的球面几何.第三个时期是因资本主义的萌芽促进欧洲文艺复兴而引起的几何学的重新繁荣.关键的一步是17世纪前半叶，由笛卡尔和费马引进坐标法解决几何问题.这是划时代的革新，几何方法的革新跟当时正在发展的几何学和萌芽时期的解析学发生联系，相互促进，产生了解析几何以及后来的微分几何.此后百余年内，代数的和解析的方法统治了几何学，几乎排斥了综合法（纯几何法）.但还有写学者要将微积分奠基于几何，也得到了新结果.优美而直观明晰的几何方法总吸引着人.因此在17-18世纪，纯几何虽不处于生机勃勃的发展中心，也还维持着其惊人的活力.19世纪初，一些数学家认为过去的综合几何被不公平、不明智的忽视了因而积极努力来复兴并扩展它.第四个时期是从罗巴切夫斯基建立了第一种非欧几何开始的.他的论文1862年宣读，1829年以发展完备的形式印出.几千年来人们认为客观空间由欧式几何唯一的描述：通过直线以外一点在和决定的平面上有且仅有一条直线跟不相交，三角形的内角和等于两直角.现在罗氏建立了与此完全不同的几何学，通过在所说的平面上有无数条直线跟不相交，三角形的内角和小于两直角.难怪俄国当时最大的两位数学家把这说成是荒唐.这种几何德国的高斯和匈牙利的波尔纳也独立建立了起来，发展的最完善的是罗巴切夫斯基.当人们公认这种几何学的时候，这三个人都已进入坟墓了，另一种非欧几何后来由德国黎曼建立，经过点在所说的平面上没有任何直线跟不相交，三角形内角和大于两直角.罗巴切夫斯基的发现等于发现了新大陆，人们称它为“几何学中的哥白尼”.这是一次数学思想上的巨大进展，扩大了对空间的认识.几何学变成了研究各种不同空间（欧式空间、罗氏空间、黎氏空间、放射空间、射影空间等）以及这些个别空间图形的数学理论的总体.China, India, Babylon, Egypt, the cradle of culture, is a river flowing through, In order to tame and use rivers for agriculture and animal husbandry production services to meet the actual needs of production and life, production and development of technology and Mathematics (especially geometry). The measurement of land into sky, making the calendar to agricultural animal husbandry, this is the event. Our calculated pi and often revised legislation together. In the 5thcenturyadZu Chongzhi, a mathematician in China, calculates the exact to decimal six, more than one thousand years earlier than the Europeans, he developed the Daming calendar related. Chinas ancient civil construction, calculation area, volume and the volume of the barn, Accumulated a lot of practical experience, leaving many formulas. Zu xuan is Zu Chongzhis son,he calculate the area of the ball, with the wonderful algorithm to get the correct formula. There are many geometric problems in Chinas earliest math book Zhou Jing and the nine chapter arithmetic. From these two books can be seen, PI and Pythagorean theorem in the early to know. The author of the two books and the books time is not yet conclusive, but the record of the source of the problem is very ancient.Some back to Zhou Qin before the Han Dynasty also has the algorithm. Forward, regardless of the stone age pottery, or the tripods, has fine geometric patterns,The history of our countrys geometry is long. The Warring States period when those with Mojing volume fifteen, Fabio Eulid & lt; & gt; geometry; early more than a century. Among them, it comes to the circle is a medium with long & quot; the graph (there is a center, the circle on each point to the center of the same length). This shows that the geometry in ancient China has a higher level.From abroad, the development of geometry can change because it is divided into four periods.The first period was geometry as the budding period of mathematics, from the accumulation of human beings to the production and the life experience until about fifth Century B. c. Ancient Egypt accumulated a lot of knowledge, especially from the river after the flood of land re measurement, building a lot of Pyramid. Ancient Egypt had similar concepts, mastering four prism volume formula: . Then the Greeks and Egyptians go to Egypt to study trade. According to the Greek historian records geometry in seventh Century BC was introduced into Babylon River in greece. Egypt not geometric knowledge system with Greek logic combination geometry has been a qualitative change.In the second period, geometry is called the independent subject of mathematics, and the geometry of Greece is spread throughout the world. In Greece, from the 7th century BC to the 2nd century, geometry in Thales, Pythagoras of Godzilla, Dimmock Ritter, Plato, endoxus etc. School of Philosophy in the hands of developed, to abstract, logical features. This is Egypt geometry and Greek logic method of the combination of the product. Euclid wrote geometry, on the basis of predecessors, can be said to be in Egypt, the great Greek geometry. European original and Apollonius on the conic curve of the work is very mature in geometry and spread to the present work. The seventh Century Arab forces arrived in Greece, the cultural center moved to the east coast of the Mediterranean area of Syria. At the end of eighth Century and early ninth Century the geometry, translated into Arabic, expand the influence. Arabs arrived in Spain in early eighth Century, the geometry of the original followed to europe. 1120 years by the British transfer Taoist Adeha translated into Latin, from geometry originally Early Europe gradually status, especially in Germany and Italy. But in the middle school, it was in the printing of the invention of the future, or that China in its invention of the printing spread to Europe, the spread of European science and culture has played a positive role. 1482 is the Latin geometry, published in Venice, then to the countries of European languages was not under version 500. As the worlds scientific works, its spread time long, wide and profound influence at all times and in all countries, second to none. 1570 is translated into English. Ming Wanli 35 years (1607) Xu and Ricci translated originally the first six volumes in Beijing, Qing Xianfeng five years (1855) Li Shanlan and Wei strong Alexander continued translation after nine volumes. In 1739 translation of the original Russian, more than2000 years, European originally all mathematicians should read the textbook, it is only one of the ancient classics of mathematics. This is history for it to make the best evaluation.Early in Greece to geometric added new content, in addition to the Apollo mourinho, conic, determine a new method of area, volume and Archimedes, preliminary and west barr card trigonometry MeiNaiLao spherical geometry.The third period because the bud of capitalism to promote European Renaissance caused by geometry of prosperity. The key step is to first half of the 17th century, by Descartes and fermat introduction coordinates method to solve geometric problems. This is epoch-making innovations, the geometric method of innovation with was the development of analytic geometry and budding period study, promote each other, the analytic geometry and differential geometry. After hundreds of years, algebra and analytic method to rule the geometry, almost exclusive synthesis (pure geometric method). But will write scholars based on geometry, calculus and new results are obtained. Elegant and intuitive clear geometric method always attract people. So in 17 to 18 century, pure geometry, though not in a vibrant development center, also maintained its surprising vitality. In the early 19th century, some mathematicians think the past comprehensive geometric are unfair, unwise to neglect and positive efforts to revive and extend it.The fourth stage is from LObachevsky established the first start of the non Euclidean geometry. 1862 1829 to read his paper, developing the complete printed form. For thousands of years, people think that the objective space by Euclidean geometry only describe: other than through the linear plane in and decided to have and only a straight line with disjoint, the sum of the interior angles of a triangle and equal to two right angle. Now Roche establish the geometry and this is entirely different, through in the plane have innumerable lines with disjoint, the sum of the interior angles of a triangle and less than two right angles. It is no wonder that Russia was the largest of two mathematicians say it is absurd. This geometry of Germanys Gauss and Hungarys Porner has also been established independently, the development of the most perfect is LObachevsky. When it is recognized that this geometry, the three men have entered the tomb, another non Euclidean geometry later by German Riemannian establishment, after point in the plane no any line with disjoint, the angles of a triangle and greater than two right angle.The found of cutting, equal to found the new world, people call it Copernicus in the geometry. This is a huge progress on mathematical thinking, expand the knowledge of space. Geometry into the various space (European space, roche space, Li Shi space, space radiation, projective space, etc.) as well as the individual space overall graphics mathematical theory.本科生毕业论文（设计）册 仿射变换在简单图形中的应用 学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学班级：2012级B班学生：孙翔然指导教师：马凯二一六年五月十日.目录中文摘要、关键词11背景知识11.1射影几何学的产生与发展11.2仿射几何与射影几何和欧式几何12 仿射变换的基本概念22.1平行射影与透视仿射22.2透视仿射对应的基本性质22.3仿射变换32.3.1定义32.3.2单比32.3.3仿射不变性和仿射不变量32.3.4仿射变换的代数表示43 仿射变换在解题中的应用5 3.1梯形5 3.2平行四边形6 3.3五边形6 3.4椭圆8 3.4.1面积问题8 3.4.2角度问题114运用仿射坐标解题13 4.1三角形中心相等13 4.2证明线段相等144.3证明点共线问题15.仿射变换在简单图形中的应用数学与信息科学学院 数学与应用数学专业指导教师 马凯 作 者 孙翔然中文摘要：本文主要探讨了仿射变换在初等几何中的应用，以具体实例为依据，应用仿射变换解决一些简单几何图形的基本问题如一般梯形、一般平行四边形、一般椭圆形等基本图形问题，将特殊几何图形的证明转换为一般图形的证明，以达到事半功倍的效果.本论文主要以查找资料，以现有的知识水平，在前人的研究论述基础上，应用仿射变性的相关理论，采取了从大量阅读已有的数据资料-对资料进行研究总结-运用相关知识通过仿射变换性质及其应用来寻求解题的思路和相关问题的求解. 通过这次论文的撰写，能更深地理解高等几何等相关课程的知识，通过对仿射变换性质及应用的研究使我重新审视了仿射变换的定义，对仿射变换的相关知识有了更深地理解，对计仿射变换的基本定义和应用技巧有较好的理解掌握.同时在本文的撰写过程中掌握参考文献资料的查找方法和论文写作的基本要求和方法，培养自己利用所学知识分析和解决问题的能力，学会从不同的角度看待问题，从而达到对所学知识融会贯通.关键词：仿射变换 仿射坐标系 简单图.1.背景知识11射影几何学的产生与发展研究图形在射影变换下不变的性质的几何学叫做射影几何学，它所处理的是构成几何图形的最根本的定性方面和描述方面的性质，而且不用线段和角的度量.众所周知，早在远古时代，人类就会用绘画来记录日常生活，用绘画来记录要早于人类用文字来进行记录.人类这种智慧的生物在描绘的过程中促成了透视学的发展.在人类房屋等建筑物的建造工程中，我们将设计的房屋模型绘制到图纸上，实际上绘制的就是建筑物的平面投影.在绘画、建筑中渐渐产生了射影几何学.射影几何学的创设人笛沙格（Girard Desargues，1591-1661法国数学家、建筑师）由中心射影理论推出两条平行直线应该在无穷远处相交并将交点成为理想点，将添加进了理想点的欧式空间叫做射影空间.1639年，笛沙格在试论锥面截一平面所得的结果的初稿一书中集中展现射影几何学的新思想和新方法，该书的创造性见解在射影几何的发展过程中具有决定性的意义.笛沙格的好朋友费尔马在看过他的著作后甚至认为他是圆锥曲线理论的真正奠基人.在射影几何学的早期发展中还有一个人不能不提，他就是布莱士帕斯卡（Blaise Pascal ,16231662），是法国著名的数学家、物理学家）.尽管年少时体弱多病，但他却在很早的时候就展现令人非凡的数学才能.从14岁起，帕斯卡的父亲经常带他在巴黎参加每周一次的数学家们的聚会.在数学的氛围中接受了良好的熏陶，帕斯卡在科学之路上迅速成长了起来.1641年，他发现了射影几何学中一条重要的定理：“内接于二次曲线的六边形的三双对边的交点共线.”这条定理后来被命名为帕斯卡六边形定理.1658年，他写了圆锥曲线论，这本书中的诸多都是射影几何方面的内容. 因解析几何和微积分两大数学分支的影响，笛沙格和帕斯卡创建定理时使用的综合法逐渐被解析法所取代，射影几何的发展也自此而没落了200余年.1822年射影几何主要的奠基人彭赛列（Jean-VictorPoncelet，17881867，法国数学家）发表了射影几何的第一部系统著作.并开始采用建立坐标系的方法来解决几何问题，尽管建立的坐标系仍不完善，但迈出了至关重要的一步.此外，数学家们也开始运用解析法来研究射影几何.在以彭赛列为首的一批几何学家的努力钻研下，19世纪的射影几何迎来了蓬勃的发展.1.2仿射几何与射影几何和欧式几何仿射几何学是几何学的一个分支.平面仿射几何主要研究平面图形在仿射变换下不改变的性质.平面上的仿射变换可以看成是连续施行有限回两个平面之间的平行投影所得到的平面上点之间的一一对应，也可以说仿射变换是一个平行投影“链”. 经常说，仿射几何是空间的点的几何，射影几何是给每一个直线添加无穷远点使得任何两条在同一平面上的直线都相交.仿射几何似乎比较直观，射影几何不太直观.很可惜，现代数学思想离不开射影几何的思想，不理解射影几何就不能理解现代数学的精神. 仿射几何中的好几个定理在射影几何中特别容易证明.仿射几何学是几何学的一个分支.平面仿射几何主要研究平面图形在仿射变换下不改变的性质.平面上的仿射变换可以看成是连续施行有限回两平面之间的平行投影所得平面内的一一对应，我们同时也可以把仿射变换理解为一个平行投影“链”.因此仿射几何加上无穷远点集合就是一个射影集合，前者的仿射维数等于后者的射影维数，因此在一个抽象空间里既配备了仿射结构又配备了射影结构.这个事实，同时解释了射影几何定义的等价性. 在这个事实上，射影几何比仿射几何只多一点点，但却使得仿射定理在射影几何中变得简单了.这是因为仅仅考虑通过原点的子空间要比考虑可能甚至互不相交的陪集便利得多. 关于与的差有一个“自然”的仿射结构，如果你能在三维空间情形建立这个现象，那么你就算是理解了仿射几何与射影几何. 最后，这个对应，作为透视法的抽象，不仅仅是几何间的对应，也可以建立起线性映射间的对应，因此，这个对应是一个函子，是仿射几何范畴到射影几何范畴间的态射，你在仿射几何里考虑的事，可以对应到射影几何的情形；在射影几何里考虑的事，也可以对应到仿射几何的情形.这就是透视法的威力所在. 把射影几何换成仿射几何，就可以发现任意一个仿射几何，都能作为不通过原点的超平面嵌入到一个所谓的泛空间：嵌入到.这个嵌入，也可以建立起线性映射间的对应，于是也是一个函子，是仿射几何范畴到自身的态射.这个函子，就是射影几何观念建立前，透视法的抽象表示.仿射几何学作为连接欧式几何与射影几何的桥梁在几何中有着不可取代的作用.2.仿射变换的基本概念2.1平行射影与透视仿射（图1） （图2）考虑同一平面内直线到直线的平行射影（图1）.设为平面上一直线，与和都不平行.通过直线上诸点, 做的平行线，交于, , , , ,这样便定义了直线到直线的一个映射，称为平行射影或投射仿射.仿此可以定义平面到平面的平行射影或透视仿射,平行射影的方向要求既不与平面平行又不与平面平行.射影方向改变了就得出另外的从平面到平面的透视仿射.2.2透视仿射对应的基本性质：（1） 同素性.即透视仿射对应使点对点，直线对应直线.（2） 结合性.如（图2）所示，若,在直线上，经过透视仿射对应后，其对应点, ,在对应直线上，即透视仿射对应保持点和直线的结合关系.（3） 平行性.即若有直线，在透视仿射对应下对应直线为，如果，则有.（图3）是相反的.仿射是由有限回的平行射影组成的，所以仿射是透视仿射链或平行射影链.2.3仿射变换2.3.1定义定义：现设同一平面内有条直线, , （如图1），用,，顺次表示到,到，到的透视仿射，经过这一串平行射影，上的点和上的点建立了一个一一对应，称为到的仿射或仿射变换: = ，称为，按这个顺序的乘积. = = = =, =,等等.书写的顺序和平行投影的先后顺序是相反的.根据仿射在直线到直线中的定义，平面到平面的仿射是由有限回的平面射影组成，即仿射是透视仿射链.2.3.2单比单比：设,为共线三点，这三点的单比定义为：=/ 其中,是有向线段，称,为基点，为分点.2.3.3仿射不变性和仿射不变量仿射不变性和仿射不变量：经过一切透视仿射不改变的性质和数量，称为仿射不变性和仿射不变量.定理1：共线三点的单比是仿射不变量.定理2：两条直线之间的平行性是仿射不变性.定理3：两条平行线段之比是仿射不变量.定理4：一条直线上任两线段之比是仿射不变量.引理1：在透视仿射下，任何一对对应点到对应轴的距离之比是一个常数.定理5：任意两个三角形面积之比是仿射不变量.推论1：任意两个多边形面积之比是仿射不变量.推论2：任意两条封闭凸曲线所围成的面积之比是仿射不变量.2.3.4仿射变换的代数表示设笛卡尔坐标系经一仿射变换后其象为.设笛卡尔坐标系中(0，0),(1，0),(0，1)三点经过仿射变换后的坐标分别为(，)，（，），（，）.设 (，)为平面内的任意一点，经过仿射变换后的对应点为（，）.则,坐标之间的关系满足： - =（- ）+（-）， - =（-）+（-），或者=+，=+，有很多对仿射几何学不是很了解的人不习惯使用仿射坐标系，他们经常应用笛卡尔政教系来解决几何学中遇到的各种问题.尤其是对于几何的初学者，对于放射坐标系就更为陌生了.放射坐标系看似晦涩难懂，但只要细心学习，掌握其中的规律，定能让我们对几何学的理解上一个新台阶.在学习过程中，运用仿射坐标系来解决某些具有仿射性质的问题会为我们节省很多的时间和精力.在许多简单图形的问题中给我们带来新的思路.3仿射变换在解题中的应用3.1梯形例：梯形的两腰,延长后相交于点,是上任意一点（如图4）.如果的面积为1，的面积为4，求证：四边形的面积为2. （图4） 证明：设是由一个正三角形经过仿射变换而得到的，所以等腰梯形 经由同一个仿射变换得到梯形（图4）.即： ；等腰梯形 梯形.现设正的边长为，连接，有=所以=，所以四边形的面积与动点的位置无关.再设的长度为，由也是正三角形，得出：= ，=又因为 = ，所以：= （）根据仿射的性质可得：=（）又 =所以有= （）所以=2四边形面积为2.3.2平行四边形例：平行于平行四边形的对角线,做一条与,相交于,.若的面积为3，请求出 的面积. (图5)证明：如图5所示，设正方形经仿射变换之后得到平行四边形.即：正方形