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第一章 复变函数与解析函数 习题 1.1.1 1.设是 z 复数，且 z =1，求证 11 ( 2 z z =+) 是实数 11 . 解: 11 () 2 z z =+= 1 * 2 1* 1 () () 22 z z zz z = + zx= 由 1z = 时， 11x ， 11 2写出下列各复数的三角表示式和指数表示式： 3 (1) i 1 (2) i e + (3)1 3i (4) aib+ （5 ） 1cos sin,0i + （6 ） 3 (3 )i + （7 ） 2 1 i i+ 解： （1 ）由 (2 2 ik ie )+ = ， 0,1,2k = 3 i 2 () 63 22 cos( ) sin( ) 63 63 ik eki k + =+ （2 ） ，因 1 (cos1 sin1) ii eeee i + = + 1 = （3 ） 13i= (3)2 3 13 2 i iarctg k ee + + = 2(cos sin ) 33 i = （4 ） 1 2 (arg 2 ) 22 b ik a aib a be + += + 1 (arg ) 224 2 b ik a abe + =+ 224 11 cos( arg ) sin( arg ) 22 bb ab k i k aa =+ + + （5 ） 2 1 cos sin 2sin 2sin cos sin 222 i ie i 2 + = = + （6 ） 3 3 2 33 (3 ) 1 1 1 (3 ) sin 88 8 (3 )(3 ) i i iie ii 2 += = = + （7 ） 4 2 22(cossin 14 i i ei i ) 4 = + 3根据棣摩弗公式用 sin 和 cos表示 cos4和 sin 4 解： cos sin (cos sin ) n nin i +=+ 0 ! sin cos !( )! k n knk k in knk = = 2 432 4! 4! 4! cos4 sin 4 cos sin cos sin cos 0!4! 1!3! 2!2! ii i 2 += + + 34 34 4! 4! sin cos sin 3!1! 4!0! ii + 4224 2 (cos 6sin cos sin ) 4cos sin (cos sin )i 2 = + 422 cos4 cos 6sin cos sin 4 = + 22 sin 4 4cos sin (cos sin ) = 4.求证 1 1 sin( ) sin 22 cos 2sin 2 n k n k = + = 1 1 cos( ) cos 22 sin 2sin 2 n k n k = + = 证：利用等比级数前 n 项求和公式 1 (1 ) 1 n n aq s q = 计算 1 n ik k e = ，并将欧拉公式 cos sin ik ekk =+ 代入，可得 11 (1 ) (cos sin ) 1 iin nn ik i kk ee kik e e = += 分子母同乘（-1） 11 () 22 11 1 22 2 1 2sin 2 in i iin ii i ee e e i ee e + i 11 cos( ) cos sin( ) sin 22 22 2sin 2sin nn i + + = + 由两式实部与实部相等，虚部与虚部相等，即得证。 5已知反正切的主值范围为 cot 22 y ar x ，试用 cot y ar x 表示辐角主值 argz。 0 0arg 2, arctan z arctan , arg arctan z arctan 2 z z y x y z x z y x y x = = N时， 成立。由 （）（y ） y（）（y ） 根据微积分学中实数序列的科西判别法可知，必存在实数 和 ，使 ， 因而当 时， 的极 000 lim lim nnn nn zxiyxyz =+=+=限存在 （ ） 10. .( 22 lim 0 n nN 0，要使（ ）-0 ，就要求（ ） ，在不等式两边 2 2 ln ln 取对数整理后可得 n- 今取N=- ，当 时 ln ln 1+i 即可满足上述要求。按极限的定义，即有 （ ） 2 ) 1 1 11. 1 21 (4)1 21 21 (5) (6) 1 (2 1) (7) sin cos 66 n nn nn ni n nn ini = = = + + = = nnn n n n n 求下列序列的聚点和极限。 3+4i （1）z =（ ） （）z （ ） （3）z z （ ） 6 i1 z = z =n+( ） z （1+ ） （8）z （1+ ） n2 () 0lim0 11 2lim lim 22 lim 0; lim 0; (5) 1, 6 , , n n n n n n n n n n z z i z MNnNz = = = = nn nn 解 (1)通过证明z 在 的极限为 ，即得 z （） z ， z ，无极限 (3)仿照(1),同理可证 (4)仿照(1),同理可证 有四个聚点： ，没有极限； 序列 趋于无穷远点的几何意义是，任给以原点为中心，半径为 总可以找到一个 当 时 序列的复数 均在该大圆之外 换句话 说， 0, lim 13 (7) 0, 1 22 1 1 lim 1 lim 1 2 n n nn zz = = = 无穷远点就像 点一样 不规定其辐角，故 ； 有七个聚点： ， ， ，无极限，也没有上下极限(不是实数序列) (8)有四个聚点： ， ，无极限， ， 习题 1.1.2， 1. 试在复平面上画出下述点集的位置。 (1) 2 1 Re( ) 2 z ; (2)0arg( 1) 4 z 为曲线左右方位置。 （2 ） arg( 1) arg ( 1) 1 y zxiyarctg x = + = 0 14 y arctg x 1 0 1 y x 有移项， 即有 即 在 的 邻域内 2 22 22 9. ( ) 1 00 ( ) ( ) 1 1, 1, 2 2 2 fz z z zz fz fz z z z z zzzzz z z zzzz zz zz z = = + =+ = 试证明 在区域 中一致连续。 证 根据一致连续定义，必须证明任给 ，存在 ，当 时, 有 即可，其中 只有与 有关而与 ， 无关 对于 中的两点 故 因而 选取 ，则当 时 必有 22 2 2 ( ) 1zzz fzz z ，使 0 zz 时 000 () ( )fz fz z z z z = 解： 1. 作变换 z = 则 平面的全平面变为z 平面的上半平面。 2. 平面的等势 线与电力线方程。 等势线方程 1 c = （常数） 电力线方程 2 c = （常数） 3.z 平面的等势线方程与电力线方程 电力线 等势线 z = 22 ()izxiy +=+ 22 2ixiy + =+ 22 2 x y = = 将上式代入下式的平方，消去 222 222 44()4yx 4 x =+=+ 4 等势线方程即为： 22 11 44y cx c=+ 将上式代入下式的平方，消去 ， 222 22 2 44()4yx 4 4x =+=+ 4 电力线方程即为： 22 22 44y cx c= = 本题若作变换 ln z = 则改变了它的边界条件成为等位体 22 2 2 2 22 22 22 22 4. () () 4 () () () () , 2 2 2 2 () () 2( ), 2( ) () () ( ) x x x x xx xx y y yy yy xxyy fz D fz f z fz uv f zuivfz uv u v u v xxx fz fz u v uu vv u v uu vv xy fz D f z u iv v iu fz = =+ = + = + = + =+ =+ =+= 若 在 内解析，试证明： 解由 得 因而 同理 因为 在 内解析，其导数为 ，其模方为 2 22 22 22 22 2 22 22 22 2 22 22 0, 0 () 2 ( ) ( ) 2 4 ( ) xx yy xx yy xx yy x x y y xx yy xx yy xxyy uvuv uv uu u vv v fz u v u v uu u vv v xy uvuv fz =+=+ = + = + = +=+ =+= 考虑 ， 为调和函数. 由以上各式可得 （） 22 12 1 2 12 1 2 5. sin cos sin( ) sin cos sin cos cos( ) cos cos sin sin zzzz zz z z += = 21 22 12 12 12 21 12 12 1 试由定义出发证明，实变函数的三角恒等式与双曲恒等式可推广到 复变函数:(1) z=1;(2) z z; (3) z z ;(4)ch z-sh z=1; (5)sh(z z )=shzchz shz chz;(6)ch(z z )=chzchz shzshz 22 22 22 sin cos 22 1 (2 )1 4 iz iz iz iz iz iz iz iz ee ee z i ee ee + + =+= 2 22 解仅以(1)为例证明： z=( )+( ) 6. 22 iiz iiz z z ee ee shz i = 试证明双曲线函数与三角函数的关系如(24)所示。 解 以shz=-isin(iz)为例证明，由公式的右边出发，有 -isin(iz)=-i = 7. (1)(sin ) cos ;(2)(cos ) sin ;(3)( ) ;(4)( ) (3) ( ) 22 zz zz zz z zshzchzchzshz ee ee shz chz = + = 试证明： 证以 为例证明，由定义出发，有 （ ）= 22 8. sin ,cos , , sin 0 1 1 2 sin 2 iz iz iz ik zzshzchz ee zee i z = = null 试求 的零点集(即函数值为0的点的集合) 解 例如，由 得 ，与 比较 即得 的零点集为z=k (k=0, 1, , ). 高数复习 (一 ) 可微性的讨论 1） 定义 若 (, )xy = 的全微分 22 (, ) (, ) (, ) 0( ( ) ( ) xy xy xy x xy x y = + + +nullnullnullnull 存在，则称 (, )xy = 是可微的。 2） (, )xy 可微的充分条件 若 x 及 y 存在且连续，则 (, )xy 可微。 3）关系 “ x ， y 存在”低于“ (, )xy 可微”低于 “ x ， y 连续 ”。“微积分学教程” 4） (2)f 解析的充分条件： 若 则 , , xyxy 连续 满足C-R 条件 (2)f 解析。 二） x ， y 存在但 (, )xy 不可微的例子： 2 22 0, 0 (, ) 00, xy xy xy xy xy 0 = + = 处 证：用反证法，设 (, )xy 在（ 0， 0）可微，则 22 1 (0,0) (0,0) ( ) ( ) xy xyx y +nullnullnullnull（0,0）= null 1） 且 1 0 0 lim 0 x y = null null ，因 0 (0 ,0) (0,0) (0,0) lim x x x x + = null null null 2 2 0 (0 ) 0 0 (0 ) 0 lim 0 x x x x + + = null null i null null 0 (0,0 ) (0,0) (0,0) lim y y x y + = null null null 2 2 0 (0 ) 0 0 (0 ) 0 lim 0 y y y y + + = null nulli null null 22 1 (0,0) 0 0 ( ) ( )x=+ +nullnullynull 2） 另一方面，由 (0,0)null 的定义： (0,0) (0 ,0 ) (0,0)xy =+nullnullnull 22 2 (0 ) (0 ) ( ) 0 (0 ) (0 ) ( ) ( ) xy xy+ = + + nullnull nullnull nullnull nullnull 2 3） 既然 与 xnull ynull 可以任意方式趋于零。令 0 xy= nullnull 将 2）与 3)联立 2 22 1 22 () () () () () xx xy xx += + nullnull nullnull nullnull 1 1 22 = 这与 1）矛盾，故 (, )xy
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