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第一章 命题逻辑基本概念课后练习题答案1.将下列命题符号化，并指出真值：（1）pq,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1；（2）pq,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1；（3）pq,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1；（4）pq,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0；（5）pq,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0.2.将下列命题符号化，并指出真值：（1）pq,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1；（2）pq,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1；（3）pq,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；（4）pq,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1；（5）pq,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；3.（1）(pq)(pq),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨；（2）(pq)(pq),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；.4.因为p与q不能同时为真.5.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三：（1）pq，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）；（2）qp，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）；（3）pq，真值为1；（4）pr，若p为真，则pr真值为0，否则，pr真值为1.返回第二章 命题逻辑等值演算本章自测答案5.(1)：,成真赋值为00、10、11；(2)：0，矛盾式，无成真赋值；(3)：,重言式，000、001、010、011、100、101、110、111全部为成真赋值；7.(1)：；(2)：；8.(1)：1,重言式；(2)：；(3)：0，矛盾式. 11.(1)：；(2)：1；(3)：0. 12.A.第三章 命题逻辑的推理理论本章自测答案6.在解本题时，应首先将简单陈述语句符号化，然后写出推理的形式结构*，其次就是判断*是否为重言式，若*是重言式，推理就正确，否则推理就不正确，这里不考虑简单语句之间的内在联系(1)、(3)、(6)推理正确，其余的均不正确，下面以(1)、(2)为例，证明(1)推理正确，(2)推理不正确(1)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(pq)pq(记作*1)在本推理中，从p与q的内在联系可以知道，p与q的内在联系可以知道，p与q不可能同时为真，但在证明时，不考虑这一点，而只考虑*1是否为重言式.可以用多种方法（如真值法、等值演算法、主析取式）证明*1为重言式，特别是，不难看出，当取A为p,B为q时，*1为假言推理定律，即(pq)pq q(2)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(pq)pq(记作*2) 可以用多种方法证明*2不是重言式，比如，等值演算法、主析取范式（主和取范式法也可以）等(pq)qp(pq) q pq ppq从而可知，*2不是重言式，故推理不正确，注意，虽然这里的p与q同时为真或同时为假，但不考虑内在联系时，*2不是重言式，就认为推理不正确.9.设p:a是奇数，q:a能被2整除，r:a：是偶数推理的形式结构为 (pq)(rq)(rp) (记为*)可以用多种方法证明*为重言式，下面用等值演算法证明：(pq)(rq)(rp)(pq) (qr)(qr) (使用了交换律)(pq)(pr)qr(pq)(qr)p(qq)r110.设p:a,b两数之积为负数，q:a,b两数种恰有一个负数，r：a，b都是负数.推理的形式结构为(pq)p(qr)(pq) p(qr)p(qr) (使用了吸收律)p(qr)由于主析取范式中只含有5个W极小项，故推理不正确.11.略14.证明的命题序列可不惟一，下面对每一小题各给出一个证明 p(qr)前提引入 P前提引入 qr 假言推理 q前提引入 r 假言推理 rs 前提引入（2）证明： (pr) 前提引入 qr 置换 r前提引入 q 析取三段论 pq 前提引入 p拒取式（3）证明： pq 前提引入 qq 置换 (pq)(pp) 置换 p(qp 置换 p(pq) 置换15.(1)证明： S结论否定引入 SP 前提引入 P假言推理 P(qr)前提引入 qr 假言推论 q前提引入 r假言推理（2）证明： p附加前提引入 pq 附加 (pq)(rs)前提引入 rs 假言推理 s化简 st 附加 (st)u前提引入 u拒取式16.(1)证明： p结论否定引入 p q前提引入 q 假言推理 rq 前提引入 r析取三段论 rs 前提引入 r化简 rr 合取（2）证明： (rs) 结论否定引入 rs 置换 r化简 s化简 pr 前提引入 p拒取式 qs 前提引入 q拒取式 pq 合取 (pq) 置换口 pq 前提引入口 (pq) (pq) 口合取17设p：A到过受害者房间，q: A在11点以前离开，r：A犯谋杀罪，s：看门人看见过A。前提：(pq) r , p ,q s , s结论：r证明： qs 前提引入 s 前提引入 q 拒取式 p 前提引入 pq 合取（pq）r 前提引入 r 假言推理18（1）设 p：今天是星期六，q：我们要到颐和园玩，s：颐和园游人太多。前提：p(pr) , sq , p , s结论：r证明： sq 前提引入 s前提引入 q假言推理 p前提引入 p(qr)前提引入 qr 假言推理r 析取三段论（2）设p:小王是理科学生，q：小王数学成绩好，r：小王是文科学生。前提：pq ,rp ,q结论：r证明： pq 前提引入 q前提引入 p拒取式 rp 前提引入 r拒取式返回第四章 (一阶)谓词逻辑基本概念本章自测答案4.(1)x(F(x) G(x)x( F (x) G (x) ),其中,F(x)：x是有理数,G(x) ：x能表示成分数；(2)x( F (x) G (x) ) x(F(x) G(x),其中,F (x)：x在北京卖菜,G (x) ：x是外地人；(3)x( F (x) G (x) ),其中,F (x)：x是乌鸦,G (x) ：x是黑色的；(4)xF(x) G(x),其中,F (x)：x是人,G (x) ：x天天锻炼身体。因为本题中没有指明个体域,因而使用全总个体域。5.(1)xy (F(x) G( y ) H(x,y),其中,F(x)：x是火车,G(y) ：y是轮船,H(x,y)：x比y快；(2)xy (F(x) G( y ) H(x,y),其中,F(x)：x是火车,G(y) ：y是汽车,H(x,y)：x比y快；(3)x(F(x)y(G (y) H (x,y)x(F(x) y(G(y) H(x,y),其中,F(x)：x是汽车,G (y) ：y是火车,H(x,y)：x比y快；(4)x(F(x)y(G(y) H(x,y)xy(F(x)G(y)H(x,y),其中,F(x)：x是汽车,G(y) ：y是火车,H(x,y)：x比y慢。6.各命题符号化形式如下：(1)xy (x y = 0)；(2)xy (x y = 0)；(3)xy (y =x+1)(4)xy(x y = yx)(5)xy(x y =x+ y)(6)xy (x + y 0 )9.(1)对任意数的实数x和y,若x y,则x y；(2)对任意数的实数x和y,若xy = 0,则xy；(3)对任意数的实数x和y,若xy,则xy0；(4)对任意数的实数x和y,若xy 0,则x=y.其中,(1)(3)真值为1(2)与(4)真值为0.11.(1)、(4)为永真式,(2)、(6)为永假式,(3)、(5)为可满足式。这里仅对(3)、(4)、(5)给出证明。(3)取解释I 为：个体域为自然数集合N,F(x,y)：x y,在下,xy F(x,y)为真,而xy F(x,y)也为真(只需取x =0即可),于是(3)中公式为真,取解释 为：个体域仍为自然数集合N,而F(x,y)：x = y。此时,xyF(x,y)为真(取y为x即可),可是xyF(x,y)为假,于是(3)中公式在 下为假,这说明(3)中公式为可满足式。(4)设I为任意一个解释,若在I下,蕴涵式前件xy F(x,y)为假,则xyF(x,y)yxF(x,y)为真,若前件xyF(x,y)为真,必存在I的个体域D1中的个体常项x0,使yF(x0,y)为真,并且对于任意y,F(x0,y)为真,由于有x0,F(x0,y)为真,所以xF(x,y)为真,又其中y是任意个体变项,所以 yxF(x,y )为真,由于I的任意性,所以(4)中公式为永真式(其实,次永真式可用第五章的构造证明法证明之)。(5)取解释为：个体域为自然数集合,F(x,y)：x = y在下,(5)中公式为真,而将F(x,y)改为F(x,y)：x y,(5)中公式就为假了,所以它为可满足式。13（1）取解释为：个体域为自然数集合N，F（x）：x为奇数，G（x）：x为偶数，在 下， x（F（x）G（x）为真命题。取解释为：个体域为整数集合Z，F（x）：x为正整数，G（x）：x为为负整数，在 下， x（F（x）G（x）为假命题。（2）与（3）可类似解答。14提示：对每个公式分别找个成真的解释，一个成假的解释。返回第五章 谓词逻辑等值演算与推理本章自测答案2.(1) (F(a) F(b) F (c) (G (a )G (b)G (c)(2) (F(a) F(b) F (c) (G (a)G (b)G (c)(3) (F(a) F(b) F (c) (G (a)G (b)G (c)(4) (F(a ,y) F(b,y) F (c,y) (G (a)G (b)G (c)5.提示：先消去量词，后求真值，注意，本题3个小题消去量词时，量词的辖域均不能缩小，经过演算真值分别为：1,0,1 .(1) 的演算如下：xyF(x,y)x (F(x,3)F(x,4)(F(3,3)F(3,4)(F(4,3)F(4 ,4)1116.乙说得对，甲错了。本题中，全称量词 的指导变元为x ，辖域为(F (x)G(x,y),其中F(x )与G(x,y)中的x都是约束变元，因而不能将量词的辖域缩小。7.演算的第一步，应用量词辖域收缩与扩张算值式时丢掉了否定联结词“ ”。演算的第二步，在原错的基础上又用错了等值式，即(F(x)(G(y) H(x,y) (F(x) G(y)H (x,y)12.公式的前束范式不唯一，下面每题各给出一个答案。(1) xy (F(x) G(z,y);(2) xt (x,y) G(x,t,z);(3) x4 (F(,y) G(,y)(G(,y) F(x4,y);(4) (F()G(,) (H () L(,);(5) (F(,)(F() G (,).13.(1)xy(F(x) G(y) H(x ,y),其中，F(x):x是汽车，G(y)：y是火车，H(x，y)：x比y跑的快； (2)xy(F(x) G(y)H(x ,y),其中，F(x):x是火车，G(y)：y是汽车，H(x，y)：x比y跑的快； (3)xy(F(x) G(y) H(x ,y),其中，F(x):x是火车，G(y)：y是汽车，H(x，y)：x比y跑的快； (4)xy(F(x) G(y) H(x ,y),其中，F(x):x是飞机，G(y)：y是汽车，H(x，y)：x比y慢；14.(1)对F(x) xG(x)不能使用EI规则，它不是前束范式，首先化成前束范式。F(x) xG(x) x(F(y)G(x)因为量词辖域(F(y)G(x)中，除x外还有自由出现的y，所以不能使用EI规则。 (2)对 x F(x) y G(y)也应先化成前束范式才能消去量词，其前束范式为 x y(F(x) G(y),要消去量词，既要使用UI规则，又要使用EI规则。 (3)在自然推理系统F中EG规则为A(c)/x(x)其中c为特定的个体常项，这里A(y) = F(y) G(y)不满足要求。 (4)这里，使F(a)为真的a不一定使G(a)为真，同样地使G(b)为真的b不一定使F(b)为真，如，F(x):x为奇数，G(x):x为偶数，显然F(3)G(4)为真，但不存在使F(x)G(x)为真的个体。 (5)这里c为个体常项，不能对F(c)G(c)引入全称量词。15.(1)证明：xF(x)前提引入xF(x) y(F(y)G(y) R(y) 前提引入y(F(y)G(y) R(y) 假言推理F(c) EI(F(c)G(c)R(c) UIF(c)G(c) 附加R(c) 假言推理xR(x) EG(2)证明xF(x) 前提引入x(F(x)G(a)R(x) 前提引入F(c) EIF(c)G(a)R(a) UIG(a)R(c) 假言推理R(c) 化简F(c)R(c) 合取x(F(x)R(x)EG(3)证明：xF(x) 前提引入xF(x)置换F(c) UIx(F(x)G(x) 前提引入F(c)G(c) UIF(c) 析取三段论xF(x)EG(4)证明x(F(x)G(x)前提引入F(y)G(y) UIx(G(x)R(x) 前提引入G(y)R(y) UIx R(x) 前提引入R(y) UIG(y) 析取三段论F（y） 析取三段论xF(x) UG17本题不能用附加前提证明法.20.(1)与(2)均可用附加前提证明法。22.(1)设F(x)：x为偶数，G(x):x能被2整除。前提:x(F(x)G(x)，F(6)结论：G(6)(2)设F(x)：x是大学生，G(x):x是勤奋的，a：王晓山。前提:x(F(x)G(x)，G(a)结论：F(a)23.(1)设F(x)：x是有理数，G(x):x是实数，H(x)：x是整数。前提:x( F(x)G(x)， x(F(x)H(x)结论:x(G(x)H(x)证明提示：先消存在量词。(2)设F(x)：x是有理数，G(x):x是无理数，H(x)：x是实数，I(x)：x是虚数。前提:x(F(x)G(x) H(x)， x( I(x)H(x)结论:x(I(x)(F(x)G(x)证明x(I(x)(H(x)前提引入I(y)H(y) UIx(F(x)G(x)H(x) 前提引入(F(y)G(y)H(y)UIH(y)(F(y)G(y)置换I(y)(F(y)G(y)假言三段论x(I(x)(F(x)G(x)UG24.设F(x)：x喜欢步行，G(x)：x喜欢骑自行车，H(x)：x喜欢乘汽车。前提:x(F(x)G(x)， x(G(x)H(x)， xH(x)结论:xF(x)证明xH(x) 前提引入H(c)UIx(G(x)H(x)前提引入G(c)H(c)UIG(c)析取三段论x(F(x) G(x) 前提引入F(c)G(c)UIF(c)拒取式xF(x) UG25.设F(x)：x是科学工作者，G(x)：x是刻苦钻研的，H(x)：x是聪明的，I(x)：x在事业中获得成功。前提:x(F(x)G(x)，x(G(x)H(x)I(x)，a：王大海，F(a)，H(a)结论：I(a)证明F(a)前提引入x(F(x)G(x) 前提引入F(a)G(a)UIG(a)假言推理H(a)前提引入x(G(x)H(x)I(x)前提引入G(a)H(a)I(a) UIG(a)H(a)合取I(a)假言推理返回第六章 集合代数本章自测答案4.(1) (2) (3) (4) (5) 6.只有(2)为真，其余为假。9.(1) 4；(2) 1,3,5,6；(3) 2,3,4,5,6；(4) , 1 ；(5) 4 ,1,4.11.(1)； (2) 1,4,5.22.(2)、(3)、(4)、(8)、(10)为真，其余为假。24.(1)为真，其余为假，因为(P-Q) = P (P-Q)Q = PQ = PQ(2)(3)(4)的反例：P =1 ，Q =226.(AB)(BA) = (AB)(BA)=(AB)(BB)(AA)(BA)=(AB)E(AB)=(AB)-(AB)27.(1)(A-B)-C = ABC =A(BC) = A-(BC) (2)(A-C)-(B-C)AC(BC) =AC(BC) = (ACB)(ACC) =AC=(AB)- C (3)(AB-C=ABC =ACB=(AC)B28.(1)A(BA) = (AB)(AA) =(AB) =AB=BA (2)(AB)A) = (AB)A =(AB)A = A29.由第26题有(A-B)(B-A)=(AB)(AB)，故(A-B)(B-A)AB。假若xAB，那么xAB，因此x(AB)-(AB),与(A-B)(B-A) = (AB)-(AB) = AB矛盾.30.ABx(xAxB)x(xBxA) x(xBxA)BA AB AAAB EAB而ABE，因此AB AB=E反之， AB = E A(AB)= A AB = A AB 综合上述，ABAB = E AB A-B = A-BB反之A-BB (A-B)BB ABB AB = B AB综合上述ABA-BB31.任取x ,xA x A=xP(A)=xP(B)=xB xB32.先证CACB CAB,任取x,xC xCxC xAxB xAB,从而得到CAB.再证CAB CACB，这可以由CABA,CABB得到。33.PQ P-Q= P-QP，反之，P-QP P(P-Q)PP P-Q= PQ34.令X=，则有Y =，即Y = .35.AB AABA EBA因为E为全集,BAE综合上述BA=E.36.由ACBC,A-CB-C，利用ACBD有： (AC)(A-C) (BC)(B-C) (AC)(AC)(BC)(BC) (A(CC)(B(CC) AEBE AB37.恒等变形法B=B(BA)=B(AB)=B(AC) =(BA)(BC)=(AC)(BC) =(AB)C=(AC)C=C39.任取x，有xP(A) x A x B xP(B)，因此P(A)P(B).40.(1)任取x有xP(A)P(B)xP(A)xP(B)xAxBxABxP(AB)(2)任取x有xP(A)P(B)xP(A)xP(B)xAxB xABxP(AB)注意与(1)的推理不同，上面的推理中有一步是“ ”符号，而不是“”符号。(3)反例如下：A = 1，B = 2，则P(A)P(B)= ,1,2P(AB)=,1,2,1,2返回第七章 二元关系本章自测答案3.(1) 任取,有(A B)(C D) xA B y C Dx Ax By Cy D(x Ay C )(xByD)ACBD(AC)(BD)(2)都为假,反例如下:A =1, B =1,2, C =2, D =34.(1)为假,反例如下:A =1, B =,C = 2;(2)为真,证明如下:任取有A(BC)(CD)xAByByC(xAyB)(xAyC)ABAC(AB)(AC)(3)为真,令A = 即可;(4)为假,反例如下: A = 7.=,=, LA=,DA=,9.(1), , , , (2),;(3),(4),12.（略）13.AB = , A B =domA = 1,2,3,domB = 1,2,4,dom(A B) = 1,2,3,4ranA = 2,3,4,ranB = 2,3,4,ran(A B) = 4,fld(A - B) = 1,2,314.RR = , R= , R0,1 = , R1,2 = 2,318.(1)F(GH) = FGFH任取 ,有F (GH)t(FGH)t(F(GH)t(FG)(FH)t(FG)t(FH)FGFHFGFH (2)和(4)类似可证19.(2)任取y,有yRTWx(xTWR)x(xTxW)Rx(xAR)(xWR)x(xTR)x(xWR)yRTyRWyRTRW(3)任取,有F(AB)xABFxAxBF(xAF)(xBF)FAFBFAF B20.(1)任取,有() (2)和(1)类似可证.21.只有对称性,因为1+110,R,R不是自反的,又由于R,因此R不是反自反的,根据xRyx+y = 10=yRx ,可知R是对称的,又由于,都是属于R,因此R不是反对称的, ,都属于R,如果R是传递的,必有属于R.但这是不成立的,因此R也不是传递的.22.(1)关系图如图7.15所示; (P148) (2)具有反自反性、反对称性、传递性.26.(1)R=, = , (2)r(R)=,s(R)=,T(R)=,31.(1)R = ,；(2)R； (3)R.32.(1)不是等价关系，因为 R，R不是自反的； (2)不是等价关系，因为R不是传递的，1R3，3R2但是没有1R2； (3)不是等价关系，因为 R，R不是自反的； (4)不是等价关系，因为R不是传递的。 (5)是等价关系。33关系图如图7.17说示 (P151) a = b =a,b,c = d = c,d 38.现取x，有xA R RR R RR 任取,有 R R R RR 任取,有 R R R R (RR)( RR RR 42.x,xA R RR T,T是自反的。 x,yA,TRR RR T,T是对称的。 x,y,zA,TT RRRR RRRR RR T T是传递的。43哈斯图如下图所示. 44.(a)偏序集,A=1,2,3,4,5,R=, (b)偏序集,A=a,b,c,d,e,f,R=, (c)偏序集,A=1,2,3,4,5, R=,45.(a)A=a,b,c,d,e,f,g, =, , (b)A = a,b,c,d,e,f,g,R口 = , 46.哈斯图如图7.19所示 （P153）（1）极大元e,f；极小元a,f；没有最大与最小元。（2）极大元a,b,d,e；极小元a,b,c,e；没有最大与最小元。返回第八章 函数本章自测答案2. = , = , = , = ,= , = , = ,= , = , = ,3.(1)双射，反函数=,f(8=|8|),(4=4；(2)双射，反函数：R R，（x）= logx, (1) = 2, (1,2) =0,1；(3)单射，(5) = , (2,3) = 2；(4)单射，(2,3) = 5,7, (1,3) = 0,1；(5)单射，(-1,2) = 1,2, (1) = -1,1； (6)单射，(0,1) = (1/4,3/4),(1/4,1/2) = 0,1/2；(8)单射，(0,1) = (1,+),(2,3) = 1/2,1/3.4.(1) 单射 (2) 不单射,也不满射 (3) 不单射,也不满射 (4) 满射 (5) 单射 (6) 不单射，也不满射.5.(1) 为真，其余都为假.7.(1) 结果不唯一，=,;(2) 结果不唯一，=,(3) 不能(4) 存在单射还书的充要条件是m n ，存在满射函数的充要条件是m n,存在双射函数的充要条件是m = n .9.双射函数与单射函数都是n!个10.(1)不是单射，不是满射，也不是双射； (2),; (3)3,5,717.fg(x)=2x +7, bf(x) =2x +4, ff(x) =x +6, gg(x) =4x +3, hf(x)=x/2 +3, gh(x) = x +1/2, fh(x) =(x +5)/2 gh f(x) =x +7/218.ff(n) =n+2, gf(n)=2n+1, fg(n)=2n+2, gh(n) =0hg(n)=, hgf(n)=.19.(1)gf(x)=x+8x +14, fg(x)=x+2 (2)都不是单射，也不是满射和双射。 (3)g和h有反函数，g:RR,g(x) = x4; h:RR,h(x)=20 (1)fg:NN, fg(x) (2)不是单射，不是满射，也不是双射。21.(1)单射，假设f() = f()，那么 = 。根据有序对相等的条件得=，因此f是单射的，但是f不是满射的，因为ran (2)不存在反函数 (3)ran=nN24.这些函数都是不唯一的，以下只是一个可能的结果。 (1)f = , (2)f(x) = 2x (3)f(x) = x - 1 (4)f(x) = e 返回第九章 集合的基数本章自测答案1.令:P(A)2,(T) = X, 假如,P(A),且,那么存在x只属于和之中的一个集合，不妨设xx,因此(),()，于是（）（）,从而证明了是单射的，对于任意g2,令B=xxA,g(x) = 1，则BP(A), 且(B)= X = g.2.令:1,2 0,1,(x) = x 1,则为1,2到0,1的双射函数.3.令:AN,(x) = x/2 , 则为双射函数.6.提示：根据A C,B D，存在双射：AC,g:BD,构造函数h：ABCD,h() = 容易证明h的双射性。7.A = 2nnN,B = 2|kN,C=Z9.(1) 36 = 6, 25 = 2;(2)43 =3,31 = 1,2(3)4 = 3, 1 = 0(4)14 = ,2= ,，其中: =, = , =, = ,10.(1)3, (2), (3), (4), (5), (6), 返回第十章 代数系统本章自测答案3.(1)可以，A = -1,0,1.(2)不可以.4.(1)封闭 (2)不封闭 (4)加法不封闭，乘法封闭 (5)不封闭 (7)封闭 (9)加法不封闭，乘法封闭5.(1)没有交换律、结合律，对于一个运算不能考虑分配律；(3)加法满足交换律、结合律，乘法满足结合律，乘法对加法满足分配律；(4)乘法满足结合律(6)加法和乘法都满足交换律、结合律，乘法对加法满足分配律；(7)满足结合律；(8)乘法满足交换律、结合律；(9)乘法满足交换律、结合律；(10)乘法满足交换律、结合律。6.(1)没有单位元、零元，没有可逆元素。(3)n阶全0矩阵是加法单位元，也是乘法的零元；n阶单位矩阵是乘法单位元；加法没有零元。任意n阶矩阵M对于加法都是可逆元，起逆元为 M；只有n阶可逆矩阵(行列式不为0)对乘法是可逆元，其逆元为M .(4) 乘法单元为n阶单位矩阵，没有零元。每个矩阵M都有逆元M . (6) 加法单位元0，没有零元，每个元素x都可逆，其逆元是它的相反数 x 。当n = 1时，乘法有单位元1，只有两个可逆元素：1 = 1, ( - 1) = - 1.当n1时乘法没有单位元和可逆元素。(7)没有单位元和零元，也没有可逆元素。(8)乘法单位元为1，只有1是可逆元素，1 = 1(9)乘法单位元为1，只有1是可逆元素，1 = 1(10)乘法没有单位元、零元以及可逆元素。8.(1)不可交换。反例： * = , * = .可结合，因为 ,Q Q( * ) * = * = * ( * ) = * = 不是幂等的，因为 * = (2) 容易严整为单位元，没有零元，当 a0 时，的逆元为11.(1)能构成代数系统。满足交换律、结合律、无单位元，零元是1； (3)能构成代数系统。满足交换律、结合律，单位元是10，零元是1。 15.(1)能 (2)不能 (3)不能 (4)能返回第十一章 半群与群本章自测答案2.(1)构成半群、独异点和群；(3)构成半群，不构成独异点，也不构成群；(4)构成半群、独异点和群5.(1)假设a*b b*a，那么或者a*b = a , a = b ；或者a*b = b , b*a = a。若为前者，则(a*b)*a = a*a = b , a*(b*a) = a*b = a与结合律矛盾，若为后者，有(a*b)* a = b*a = a ; a*(b*a) = a*a = b也与结合律矛盾。(2) 假设b*b = a ，那么或者a*b = b*a = a，或者a*b = b*a = b 。若为前者，则(b*a)*a = a*a = b ; b*(a*a) = b*b = a与结合律矛盾，若为后者，有(b*a)*a = b*a = b ; b*(a*a) = b*b = a也与结合律矛盾。7.任取a + bi , c + diG , 有(a + bi)+(c + di)=(a + c)+(b + d)iG任取a + bi , c + di , e + i G ,有(a + bi)+(c + di)+(e + i)=(a + c)+(b + d)i +(r + i) = (a + c + e) + (b + d + ) i同理(a + bi)+(c + di)+(e + i)=(a + c + e) + (b + d + ) i单位元是0，a + bi的逆元是 a bi .9. 能构成群，运算封闭。 x , y , z A , 有(xy)z = (x + y - 2) z = (x + y - 2) + z 2 = x + y + z 4x(yz) = x(y + z - 2) = x + (y + z - 2) 2 = x + y + z 4结合律成立，单位元是2，x的逆元是4 x。11设矩阵A=, B=， C=， D=，那么运算表如表11.7所列ABCDABCD ABCDBADCCDABDCBA 13.(2)a,bG有(ab)(ba)=a(bb)a=aa=e(ba)(ab)=b(aa)b=bb=e因此b a 是ab的逆元，根据逆元唯一性，命题得证.(4) 当m，n为自然数时任意给顶n，对m进行归纳， aG，有m = 0,(a)= e = a 假设(a)= a，则(a)=(a)a=aa=a= a根据归纳法，命题得证. 下面对n或m小于0的情况进行验证,不妨设n0,m0,则n=-t,t0(a)=(a)=(a)=(a)=a=a其他类似情况可以类似加以验证. (5)设G为交换群，当n为自然数时对n归纳。N = 0,(ab)= e = ee = ab假设(ab)= ab,则(ab)= (ab)(ab) =(ab)ab = a(ba)b= a(ab)b = (aa)(bb) = ab根据归纳法，命题得证. 若n0,令n=-m,m0 ，那么有(ab)=(ba)=(ba)=(ba)=(ab) =(a)(b) =ab=ab 16.若xG有x= e,因此xG有x= x.x ,yG，有xy = (xy) = yx = yx17.设a是幕等元，则aa = a,即aa = ae.根据消去律必有a = e.19.由x=e|x|=1或2,换句话说。对于G中元素x，如果|x|2,必有xx，由于|x|=|x|，阶大于2的元素成对出现，共有偶数个，那么剩下的1阶元总共应该是偶数个，1阶元只有1个，就是单位元，从而证明了G中必有的2阶元. 22.aN(a),N(a),任取x,yN(a),有ay = ya a(ay)a= a(ya)a ya = a y (xy)a = x(ya) = x(ay) = x(ya) = x(ay ) = (xa)y = a(xy )根据判定定理，N(a)为G的子群。30.
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