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1 高等数学（B） （1）作业答案 高等数学（B） （1）作业 1 初等数学知识 一、名词解释： 邻域设 是两个实数，且 ，满足不等式 的实数 的和a0axx 全体，称为点 的 邻域。 绝对值数轴上表示数 的点到原点之间的距离称为数 的绝对值。记a 为 。a 区间数轴上的一段实数。分为开区间、闭区间、半开半闭区间、无穷 区间。 数轴规定了原点、正方向和长度单位的直线。 实数有理数和无理数统称为实数。 二、填空题 1绝对值的性质有 、 、 、 、0aba)0(ba 、 。ba 2开区间的表示有 、 。),(ba 3闭区间的表示有 、 。， 4无穷大的记号为 。 5 表示全体实数，或记为 。)(， x 6 表示小于 的实数，或记为 。b， b 7 表示大于 的实数，或记为 。，aaa 8去心邻域是指 的全体。用数轴表示即为 9.MANZU )()(， 9满足不等式 的数 用区间可表示为 。12xx21(， 三、回答题 2 1答：（1）发展符号意识，实现从具体数学的运算到抽象符号运算的转 变。 （2）培养严密的思维能力，实现从具体描述到严格证明的转变。 （3）培养抽象思维能力，实现从具体数学到概念化数学的转变。 （4）树立发展变化意识，实现从常量数学到变量数学的转变。 2答：包括整数与分数。 3答：不对，可能有无理数。 4答：等价于 。51(， 5答： 。)2， 四、计算题 1解： 。120120)(1 xxxx 或或 。,2,解 集 为 2解： 05)5(1562 xxx 或 。1x或 )，解 集 为 （ 3解： 为方程的解。20)(20312 x， 函 数（P3） 一、名词解释 函数设 x 与 y 是两个变量，若当 x 在可以取值的范围 D 内任意取一个 数值时，变量 y 通过某一法则 f,总有唯一确定的值与之对应，则称变量 y 是变 量 x 的函数。其中 D 叫做函数的定义域，f 称为对应法则，集合 G=y|y=f(x),x 叫做函数的值域。 奇函数若函数 的定义域关于原点对称，若对于任意的 ，恒)(xfy x 有 为奇函数。， 则 称 函 数)()(xfff 偶函数若函数 的定义域关于原点对称，若对于任意的 ，恒)(xy x 有 ，则称函数 为偶函数。)(xff f 定义域自变量的取值范围，记作 。Dx 值域所有函数值组成的集合，记作 G=y|y=f(x),x 。 初等数学包括几何与代数，基本上是常量的数学。 三角函数：称 为三角函数。xyxyxy cssecottancossin ， 3 指数函数称函数 为指数函数。)10(ayx， 复合函数设 若 的值域包含在 的定，)uf(x)(ufy 义域中，则 通过 构成 的函数，记作 ，称其为复合函数， 称为yufy 中间变量。 对数函数称函数 为对数函数。)10(logaxya， 且 反函数若函数 的值域为 ，若 ，都有一个确定的且满)fGy 足 的 值与之对应。则由此得到一个定义在 上的以 为自变量、 为)(xfy yx 因变量的新函数，称它为 的反函数，记作 。(xfy )(1fx 幂函数称函数 （ 为实数）为幂函数。 常函数称函数 为常函数。)为 常 数c 常量在某一变化过程中，始终保持不变的量。 变量在某一变化过程中，可以取不同数值的量。 二、填空题 1函数概念最早是由莱布尼兹引进的。有了函数概念，人们就可以从数量 上描述运动。 2在历史上第一个给出函数一般定义的是狄里克雷，并给出了一个不能画 出图形的函数。这就是著名的狄里克雷函数，其表达式是 。是 有 理 数， 是 无 理 数， xf10)( 3函数的三种表示法：解析法、图像法、列表法。 4函数表达了因变量与自变量之间的一种对应规则。 5单值函数是当自变量在定义域中取定了一数值时，与之对应的函数值是 唯一的函数。 6奇函数的图像特点是关于原点对称，偶函数的图像特点是关于 y 轴对称。 7单调函数的图像特点是总是上升或总是下降。 8反函数的图像特点是关于直线 y=x 对称。 三、回答题 1答：设函数 在集合 上有定义，如果存在一个正数 ，对所)(xfyDM 有的 ，恒有 ，则称函数 为有界函数。DxM)(xfy 2答：（1）当一个函数 在区间 有界时，正数 的取法)(f内， ba 不是唯一的。 （2）有界性是依赖于区间的。 4 3答： ，则称函数)()( 212121 xffxbax， 则， 且， 在区间 单调增加。否则，称为单调减少。)(xfy内， 4答：若函数 在区间 单调，其值域是 ，则函数fy内， )(ba)dc， 存在反函数 其定义域是 ，值域是 。f ，)1xdc， (ba， 四、作图题 （1） 解：是抛物线。2xy （2） 解：是立方抛物线。3 （3） 解：是正弦曲线。sin （4） 解：是余弦曲线。xyco （5） 解：是正切曲线。ta （6） 解：是半抛物线。2 1 （7） 解：是自然对数函数。xyln （8） 解：是指数函数(a1)。 （9） 解：是对数函数(a1)。2log （10） 解：是对数函数（a0，在（a ，b）内 ，根据定积分的几何)(xf 意义，则 （ A ） 。badxf)( A大于 ； B. 小于 ；) )(abf 25 C等于 ； D. 大于 .)(abf )(abf 五、计算题 1求函数 的定义域。231)(xf 解：由题意知 ， 函数的定义域为 .03x)3(， 2用导数定义求函数 在点 的导数。2)(f 1 解： xxfxx 2)()1(lim1(lim00 xx20lim)(li0x 3求 的近似值。1.e 解：令 ，取 ， ，xy01.x 则由近似公式： ，xfff )()(0001.01.0e 4设函数 ，求其原函数。7)(35xf 解： Cxdx4635 所以原函数为： yx461 5求不定积分 da2 解：令 ，则 ， ，txsintaxcos2tdaxcos ttdada )21(cos22 CtatCtt cosin)in41(2 axax22rcsi 如下图。in22 26 六、论述题 试简要论述微积分产生的历史背景。 答：见书 P205。
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