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第一章DIYIZHANG计数原理1分类加法计数原理和分步乘法计数原理第1课时1.某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明,有5名同学只会用综合法证明,有3名同学只会用分析法证明,现从这些同学中任选1名同学证明这个问题,不同的选法种数为()A.8B.15C.18D.30解析:共有5+3=8种不同的选法.答案:A2.从A地到B地要经过C地和D地,从A地到C地有3条路,从C地到D地有2条路,从D地到B地有4条路,则从A地到B地不同的走法有()A.9种B.1种C.24种D.3种解析:由分步乘法计数原理知,从A地到B地不同走法有234=24(种).答案:C3.从集合0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+bi,其中虚数有()A.30个B.42个C.36个D.35个解析:要完成这件事可分两步,第一步确定b(b0)有6种方法,第二步确定a有6种方法,故由分步乘法计数原理知共有66=36个虚数,故选C.答案:C4.某公共汽车上有10名乘客,沿途有5个车站,乘客下车的可能方式有()A.510种B.105种C.15种D.50种解析:每名乘客都有在5个车站中的任何一个车站下车的可能,由分步乘法计数原理得,下车的可能方式有5555555555=510种.答案:A5.有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学,在数学检测时要求每位教师不能在本班监考,则监考的方法有()A.8种B.9种C.10种D.11种解析:设四位监考教师分别为A,B,C,D,所教班分别为a,b,c,d,假设A监考b,则余下三人监考剩下的三个班,共有3种不同方法,同理A监考c,d时,也分别有3种不同方法,由分类加法计数原理得监考的方法共有3+3+3=9(种).答案:B6.满足a,b-1,0,1,2,且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为()A.14B.13C.12D.10解析:当a=0时,2x+b=0总有实数根,所以(a,b)的取值有4个.当a0时,需=4-4ab0,所以ab1.a=-1时,b的取值有4个,a=1时,b的取值有3个,a=2时,b的取值有2个.所以(a,b)的取法有9个.综合知,(a,b)的取法有4+9=13个.答案:B7.8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组,每组各4人,分别进行单循环赛,每组决出前两名,再由每组的第一名与另一组的第二名进行半决赛,获胜者角逐冠亚军,败者角逐第3,4名,则大师赛共有场比赛.解析:每个小组赛有6场比赛,两个小组有6+6=12场比赛,半决赛和决赛共有2+2=4场比赛,根据分类加法计数原理,共有12+4=16场比赛.答案:168.导学号43944001一学习小组有4名男生,3名女生,任选一名学生当数学课代表,共有种不同选法;若选男、女生各一名当组长,共有种不同选法.解析:任选一名当数学课代表可分两类,一类是从男生中选,有4种选法;另一类是从女生中选,有3种选法.根据分类加法计数原理,共有4+3=7种不同选法.若选男、女生各一名当组长,需分两步:第1步,从男生中选一名,有4种选法;第2步,从女生中选一名,有3种选法.根据分步乘法计数原理,共有43=12种不同选法.答案:7129.导学号43944002有一项活动,需从3位老师、8名男同学和5名女同学中选人参加.(1)若只需1人参加,有多少种不同的选法?(2)若需老师、男同学、女同学各1人参加,有多少种不同的选法?(3)若需1位老师、1名同学参加,有多少种不同的选法?解(1)选1人,可分三类:第一类从老师中选1人,有3种不同的选法;第二类从男同学中选1人,有8种不同的选法;第三类从女同学中选1人,有5种不同的选法,共有3+8+5=16种不同的选法.(2)选老师、男同学、女同学各1人,则分3步进行,第一步选1位老师,有3种不同的选法;第二步选1位男同学,有8种不同的选法;第三步选1位女同学,有5种不同的选法,共有385=120种不同的选法.(3)选1位老师、1名同学,可分两步进行,第一步选1位老师,有3种不同的选法,第二步选1位同学,有8+5=13种不同的选法,共有313=39种不同的选法.10.已知集合A=a1,a2,a3,a4,集合B=b1,b2,其中ai,bj(i=1,2,3,4,j=1,2)均为实数.(1)从集合A到集合B能构成多少个不同的映射?(2)能构成多少个以集合A为定义域,集合B为值域的不同函数?解(1)因为集合A中的元素ai(i=1,2,3,4)与集合B中元素的对应方法都有2种,由分步乘法计数原理,可构成AB的映射有N=24=16个.(2)在(1)的映射中,a1,a2,a3,a4均对应同一元素b1或b2的情形.此时构不成以集合A为定义域,以集合B为值域的函数,这样的映射有2个.所以构成以集合A为定义域,以集合B为值域的函数有M=16-2=14个.
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