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第11讲可测函数的定义与性质,目的：熟练掌握可测函数的定义，熟悉其性质，掌握常见的一些可测函数。重点与难点：可测函数的引入，性质的证明。,第11讲可测函数的定义与性质,基本内容：一可测函数的定义为了定义新的积分，我们已经对Rn中的一般集合定义了测度概念，但同时也看到了，Rn中的确存在一些集合，它们是不可测的，因此，有必要对定义于Rn中某个可测子集E上的函数f，考察形如,第11讲可测函数的定义与性质,的集合这可测性,假如对一切的上述集合都是可测的，则下面的和式就有意义了（见本书的引言），从而可以讨论其极限的存在性，本章的目的，就是研究使得集合,第11讲可测函数的定义与性质,对一切都可测的函数之结构。（1）关于的运算由于我们允许函数值取，所以需作一些规定，我们所讨论的函数都是指单值实函数，并且规定（i）（ii）对任意,第11讲可测函数的定义与性质,（iii）对任意（iv）但是,第11讲可测函数的定义与性质,及是没有意义的，因此，不允许作这种运算。（2）定义定义1假设是可测集，是E上的函数，如果对任意常数a，集合都是可测集，则称f是E上的可测函数。,第11讲可测函数的定义与性质,问题1：为了定义函数的Lebesgue积分，须要求这些函数满足什么条件？问题2：列举几类可测函数的例子？,第11讲可测函数的定义与性质,（3）简单函数的可测性定义设是可测集,E1，E2，En是E的互不相交的可测子集，且C1,C2，,Cn是常数，则称E上的函数为简单函数。,第11讲可测函数的定义与性质,记为的特征函数，则显然有命题1对任意可测集E，E上的简单函数是可测的。证明：设是E上的简单函数，不失一般性，假设,第11讲可测函数的定义与性质,（若，则将看作某个Ek），往证对任意是可测集。显然，,第11讲可测函数的定义与性质,所以是可测集。证毕。（4）非负函数可测性的等价定义如果可测函数，则称其为非负可测函数。定理1如果是可测集上的非负函数，则下列各陈述相互等价：,第11讲可测函数的定义与性质,（i）在E上非负可测；（ii）存在E上的非负简单函数列使得证明，其中,第11讲可测函数的定义与性质,是E上的非负简单函数，满足则对任意实数a及任意是可测集，但故是可测集。(i)(ii)假设f是E上的非负可测函数，即,第11讲可测函数的定义与性质,任意实数a,是可测集,不难看到故是可测集，于是对任意常数a，b，集合也是可测的。,第11讲可测函数的定义与性质,对任意正整数m及令则是互不相交的可测集，且定义简单函数,第11讲可测函数的定义与性质,可以证明（请读者自行验证）。下面证明若使则对任意，所以若则可取正整数则当时，,第11讲可测函数的定义与性质,因此。证毕。由于定理1中（i）与(ii)的等价性，所以，也可将（ii）作为非负可测函数的定义。,第11讲可测函数的定义与性质,（5）一般可测函数的等价定义而对一般的实值函数，可以作的正负部分解：,第11讲可测函数的定义与性质,则,于是又可利用的可测性来定义的f的可测性。即称可测当且仅当都是可测函数。可以证明该定义与定义1是等价的。,第11讲可测函数的定义与性质,定理2设是Rn中可测集E个的函数，则在E上可测当且仅当下列条件之一成立。(i)对任意常数a,可测；(ii)对任意常数a,可测；,第11讲可测函数的定义与性质,(iii)对任意常数a,可测；证明：因为,第11讲可测函数的定义与性质,故可测(i)(ii)(iii)可测。证毕。问题3：可否用Ex|f(x)=(R)的可测性作为可测函数的定义？为什么？,第11讲可测函数的定义与性质,问题4：可否用Ex|f(x)的集合表示？作业：P774，5，9,
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