资源描述
函数的单调性,创设情境，引入新课建立函数的目的是研究函数值与自变量的关系，自变量的变化对函数值变化的影响是经常受到关注的问题例如水位的涨落随时间变化的规律，是防涝抗旱工作中必须解决的实际问题下面我们开始研究函数在这方面的一个主要性质函数的单调性,下面是某一天温度的变化图象：,1、在上午6时的气温约是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？,2、什么时刻气温是0度？,3、在什么时段内，气温在0度以上？,4、说出这一天的气温变化趋势，怎样用数学语言刻画这一特征。,问题1:,问题1、观察自己所作函数图象，并指出图象的变化的趋势,学生活动,自己作出下列函数的图象：,-1,问题2：你能明确说出“图象呈下降趋势”的意思吗？,在某一区间内；当x的增大时，函数值y反而减小,学生讨论,图象在该区间内呈下降趋势；,问题3：你能明确说出“图象呈上升趋势”的意思吗？,在某一区间内；当x的增大时，函数值y也增大,学生讨论,结论,图象在该区间内呈上升趋势；,在某一区间内当x的增大时，函数值y反而减小,图象在该区间内呈下降趋势；,在某一区间内当x的增大时，函数值y也增大,图象在该区间内呈上升趋势；,函数的这种性质称为函数的单调性。,X不断增大，f(x)也不断增大,0,X,Y,X1,X2,f(X1),f(X2),Y,X,0,X不断增大，f(x)不断减小,X1,X2,f(X2),f(X1),函数f(x)在给定区间上为增函数。,如何用x与f(x)来描述上升的图象？,如何用x与f(x)来描述下降的图象？,函数f(x)在给定区间上为减函数。,如果对于属于定义域I内的某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有f（x1）f（x2），那么就说f（x）.,在这个区间上是增函数.,如果对于属于定义域I内的某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有f（x1）f（x2），那么就说f（x）.,在这个区间上是减函数.,增函数与减函数定义,建构数学,说明1,函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，就称函数y=f(x)在区间D上具有单调性，D称为函数的单调区间。,说明2,说函数的单调性必须指出所对应的单调区间,单调区间可能是定义域的一部分(如:y=x2),也可能是全部定义域(如:y=x3);一个函数在定义域内可以划分出若干个单调区间,不同的单调区间上可以表现出不同的单调性.,增函数和减函数的定义中两个变量x1,x2:1.必须在同一单调区间上;2.必须是任意的,不能用定值代替;3.必须设定它们的大小关系后,比较y1,y2的大小才有意义.,例:下图是定义在5，5上的函数yf（x）的图象，根据图象说出yf（x）的单调区间，以及在每一单调区间上，yf（x）是增函数还是减函数.,解：,yf（x）的单调区间有,5，3），3，1）,1，3），3，5.,其中yf（x）在5，3），1，3）上,是减函数，,在3，1），3，5）上是增函数.,数学应用,1.如图,已知y=f(x)的图象(包括端点),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,函数是增函数还是减函数.,作图是发现函数单调性的法之一,演练反馈,单调递增区间：,单调递减区间：,例1：证明函数f(x)=2x+1在区间(-,+)上是增函数。,注意：我们在证明函数的单调性时，不能“以图代证”,而是严格按照定义证明.,回想一下,定义的本质是什么?本题怎样用定义来证明?,证明：,（条件）,（论证结果）,（结论）,例1：证明函数f(x)=2x+1在区间(-,+)上是增函数。,证明函数单调性的步骤：,第一步：取值.即任取区间内的两个值，且x1x2,第二步：作差变形.将f(x1)f(x2)通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形。,第三步：定号.确定差的符号，适当的时候需要进行讨论。,第四步：判断.根据定义作出结论。,取值,作差变形,定号,判断,证明：,设x1，x2（0，+），且x1x2，则,减函数,例2：判断函数f(x)=1/x在区间(0,+)上是增函数还是减函数？并证明你的结论。,f(x)在定义域上是减函数吗？,解：,函数f（x）x21在（0，）上是增函数.,下面给予证明：,设x1，x2（0，），且x1x2,函数f（x）x21在（0，）上是增函数.,例3：判断函数f(x)=x2+1在区间(0,+)上是增函数还是减函数？并给予证明。,演练反馈,2.求证：函数y=-5x+3在R上为减函数.,3.求证：函数f(x)=-x3+1在(-,+)上是减函数.(能力提高题),证明:设x1,x2R且x1x2,x1x2x1x2f(x2),f(x)=x3+1在(,+)上是减函数.,小结：,（1）单调递增函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1x2时都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数。,（2）单调递减函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数。,x1,x2,y1,y2,x2,x1,y1,y2,小结：,作业,(1):P37练习：1、2、5、6,思考题:,结合图象说出函数的单调区间,以及在各个区间上是增函数还是减函数;你能给出相应的证明吗?,谢谢,澳大利亚旅游澳大利亚旅游fwuoplc4,再见！,
展开阅读全文