新编基础物理学上册3-4单元课后答案.pdf

第 三 章 3-1 半 径 为 R、 质 量 为 M的 均 匀 薄 圆 盘 上 ， 挖 去 一 个 直 径 为 R的 圆 孔 ， 孔 的 中 心 在 处 ， 求 所 剩 部 分 对 通 过 原 圆 盘 中 心 且 与 板 面 垂 直 的 轴 的 转 动 惯 量 。 分 析 ： 用 补 偿 法 （ 负 质 量 法 ） 求 解 ， 由 平 行 轴 定 理 求 其 挖 去 部 分 的 转 动 惯 量 ， 用 原 圆 盘 转 动 惯 量 减 去 挖 去 部 分 的 转 动 惯 量 即 得 。 注 意 对 同 一 轴 而 言 。 解 ： 没 挖 去 前 大 圆 对 通 过 原 圆 盘 中 心 且 与 板 面 垂 直 的 轴 的 转 动 惯 量 为 ： 由 平 行 轴 定 理 得 被 挖 去 部 分 对 通 过 原 圆 盘 中 心 且 与 板 面 垂 直 的 轴 的 转 动 惯 量 为 ： 由 式 得 所 剩 部 分 对 通 过 原 圆 盘 中 心 且 与 板 面 垂 直 的 轴 的 转 动 惯 量 为 ： 3-2 如 题 图 3-2所 示 ， 一 根 均 匀 细 铁 丝 ， 质 量 为 M， 长 度 为 ， 在 其 中 点 O处 弯 成 角 ， 放 在 平 面 内 ， 求 铁 丝 对 轴 、 轴 、 轴 的 转 动 惯 量 。 分 析 ： 取 微 元 ， 由 转 动 惯 量 的 定 义 求 积 分 可 得 解 ： （ 1） 对 x轴 的 转 动 惯 量 为 ： 题 图 3-2 （ 2） 对 y轴 的 转 动 惯 量 为 ： （ 3） 对 Z轴 的 转 动 惯 量 为 ： 3-3 电 风 扇 开 启 电 源 后 经 过 5s达 到 额 定 转 速 ， 此 时 角 速 度 为 每 秒 5转 ， 关 闭 电 源 后 经 过 风 扇 停 止 转 动 ， 已 知 风 扇 转 动 惯 量 为 ， 且 摩 擦 力 矩 和 电 磁 力 矩 均 为 常 量 ， 求 电 机 的 电 磁 力 矩 。 分 析 ： ， 为 常 量 ， 开 启 电 源 5s内 是 匀 加 速 转 动 ， 关 闭 电 源 16s内 是 匀 减 速 转 动 ， 可 得 相 应 加 速 度 ， 由 转 动 定 律 求 得 电 磁 力 矩 M。 解 ： 由 定 轴 转 动 定 律 得 ： ， 即 3-4 飞 轮 的 质 量 为 60kg， 直 径 为 ， 转 速 为 ， 现 要 求 在 5s内 使 其 制 动 ， 求 制 动 力 F， 假 定 闸 瓦 与 飞 轮 之 间 的 摩 擦 系 数 ， 飞 轮 的 质 量 全 部 分 布 在 轮 的 外 周 上 ， 尺 寸 如 题 图 3-4所 示 。 分 析 ： 分 别 考 虑 两 个 研 究 对 象 ： 闸 瓦 和 杆 。 对 象 闸 瓦 对 飞 轮 的 摩 擦 力 f 对 O点 的 力 矩 使 飞 轮 逐 渐 停 止 转 动 ， 对 飞 由 轮 转 动 定 律 列 方 程 ， 因 摩 擦 系 数 是 定 值 ， 则 飞 轮 做 匀 角 加 速 度 运 动 ， 由 转 速 求 角 加 速 度 。 对 象 杆 受 的 合 力 矩 为 零 。 解 ： 设 闸 瓦 对 飞 轮 的 压 力 为 N， 摩 擦 力 为 f， 力 矩 为 M， 题 图 3-4 飞 轮 半 径 为 R,则 依 题 意 得 ， 解 ： 式 得 3-5 一 质 量 为 的 物 体 悬 于 一 条 轻 绳 的 一 端 ， 绳 另 一 端 绕 在 一 轮 轴 的 轴 上 ， 如 题 图 3-5 所 示 轴 水 平 且 垂 直 于 轮 轴 面 ， 其 半 径 为 ， 整 个 装 置 架 在 光 滑 的 固 定 轴 承 之 上 当 物 体 从 静 止 释 放 后 ， 在 时 间 内 下 降 了 一 段 距 离 试 求 整 个 轮 轴 的 转 动 惯 量 (用 表 示 ) 分 析 ： 隔 离 物 体 ， 分 别 画 出 轮 和 物 体 的 受 力 图 ， 由 转 动 定 律 和 牛 顿 第 二 定 律 及 运 动 学 方 程 求 解 。 解 ： 设 绳 子 对 物 体 (或 绳 子 对 轮 轴 )的 拉 力 为 T，题 图 3 -5 则 根 据 牛 顿 运 动 定 律 和 转 动 定 律 得 ： b 由 运 动 学 关 系 有 ： 由 、 、 式 解 得 ： 又 根 据 已 知 条 件 题 图 3 -5 ， 将 式 代 入 式 得 ： 3-6 一 轴 承 光 滑 的 定 滑 轮 ， 质 量 为 半 径 为 一 根 不 能 伸 长 的 轻 绳 ， 一 端 固 定 在 定 滑 轮 上 ， 另 一 端 系 有 一 质 量 为 的 物 体 ， 如 题 图 3-6所 示 已 知 定 滑 轮 的 转 动 惯 量 为 ， 其 初 角 速 度 方 向 垂 直 纸 面 向 里 求 ： (1) 定 滑 轮 的 角 加 速 度 的 大 小 和 方 向 ； (2) 定 滑 轮 的 角 速 度 变 化 到 时 ， 物 体 上 升 的 高 度 ； (3) 当 物 体 回 到 原 来 位 置 时 ， 定 滑 轮 的 角 速 度 的 大 小 和 方 向 分 析 ： 隔 离 体 受 力 分 析 ， 对 平 动 物 体 由 牛 顿 第 二 定 律 列 方 程 ， 对 定 轴 转 动 物 体 由 转 动 定 律 列 方 程 。 解 ： (1) 题 图 3 -6 方 向 垂 直 纸 面 向 外 (2) 当 时 ， 物 体 上 升 的 高 度 图 3 -6(3) 方 向 垂 直 纸 面 向 外 . 3-7 如 题 图 3-7所 示 ， 质 量 为 m的 物 体 与 绕 在 质 量 为 M的 定 滑 轮 上 的 轻 绳 相 连 ， 设 定 滑 轮 质 量 M=2m， 半 径 R， 转 轴 光 滑 ， 设 ， 求 ： （ 1） 下 落 速 度 与 时 间 t的 关 系 ； （ 2） 下 落 的 距 离 ； （ 3） 绳 中 的 张 力 T。 分 析 ： 对 质 量 为 m物 体 应 用 牛 顿 第 二 定 律 、 对 滑 轮 应 用 刚 体 定 轴 转 动 定 律 列 方 程 。 解 ： (1)设 物 体 m与 滑 轮 间 的 拉 力 大 小 为 T， 则 题 图 3-7 解 ： 式 得 ， 并 代 入 式 得 （ 2） 设 物 体 下 落 的 距 离 为 s， 则 （ 3） 由 （ 1） 的 式 得 ， 3-8 如 题 图 3-8所 示 ， 一 个 组 合 滑 轮 由 两 个 匀 质 的 圆 盘 固 接 而 成 ， 大 盘 质 量 ， 半 径 ， 小 盘 质 量 ， 半 径 。 两 盘 边 缘 上 分 别 绕 有 细 绳 ， 细 绳 的 下 端 各 悬 质 量 的 物 体 ， 此 物 体 由 静 止 释 放 ， 求 ： 两 物 体 的 加 速 度 大 小 及 方 向 。 分 析 ： 分 别 对 物 体 应 用 牛 顿 第 二 定 律 ， 对 滑 轮 应 用 刚 体 定 轴 转 动 定 律 解 ： 设 物 体 的 加 速 度 大 小 分 别 为 与 滑 轮 的 拉 力 分 别 为 题 图 3-8 把 数 据 代 入 ， 解 上 述 各 式 得 方 向 向 上 方 向 向 下 3-9 如 题 图 3-9所 示 ， 一 倾 角 为 30 的 光 滑 斜 面 固 定 在 水 平 面 上 ， 其 上 装 有 一 个 定 滑 轮 ， 若 一 根 轻 绳 跨 过 它 ， 两 端 分 别 与 质 量 都 为 m的 物 体 1和 物 体 2相 连 。 （ 1） 若 不 考 虑 滑 轮 的 质 量 ， 求 物 体 1的 加 速 度 。 （ 2） 若 滑 轮 半 径 为 r， 其 转 动 惯 量 可 用 m和 r表 示 为 （ k是 已 知 常 量 ） ， 绳 子 与 滑 轮 之 间 无 相 对 滑 动 ， 再 求 物 体 1的 加 速 度 。 分 析 ： （ 1） 对 两 物 体 分 别 应 用 牛 顿 第 二 定 律 列 方 程 。 （ 2） 两 物 体 分 别 应 用 牛 顿 第 二 定 律 、 对 滑 轮 应 用 刚 体 定 轴 转 动 定 律 列 方 程 。 解 ： 设 物 体 1、 物 体 2与 滑 轮 间 的 拉 力 分 别 为 、 它 们 对 地 的 加 速 度 为 a。 （ 1） 若 不 考 虑 滑 轮 的 质 量 ， 则 物 体 1、 物 体 2与 滑 轮 间 的 拉 力 、 相 等 ， 记 为 T。 则 对 1、 2两 物 体 分 别 应 用 牛 顿 第 二 定 律 得 ， 题 图 3-9 解 上 两 式 得 ： ， 方 向 竖 直 向 下 。 （ 2） 若 考 虑 滑 轮 的 质 量 ， 则 物 体 1、 物 体 2与 滑 轮 间 的 拉 力 、 不 相 等 。 则 对 1、 2两 物 体 分 别 应 用 牛 顿 第 二 定 律 ， 和 对 滑 轮 应 用 刚 体 定 轴 转 动 定 律 得 解 上 述 各 式 得 ： ， 方 向 竖 直 向 下 。 3-10一 飞 轮 直 径 为 0.3m， 质 量 为 5.0kg， 边 缘 绕 有 绳 子 ， 现 用 恒 力 拉 绳 子 的 一 端 ， 使 其 由 静 止 均 匀 地 绕 中 心 轴 加 速 ， 经 0.5s转 速 达 每 秒 10 转 ， 假 定 飞 轮 可 看 作 实 心 圆 柱 体 ， 求 ： （ 1） 飞 轮 的 角 加 速 度 及 在 这 段 时 间 内 转 过 的 转 数 ； （ 2） 拉 力 及 拉 力 所 作 的 功 ； （ 3） 从 拉 动 后 时 飞 轮 的 角 速 度 及 轮 边 缘 上 一 点 的 速 度 和 加 速 度 。 分 析 ： 利 用 转 动 定 律 ， 力 矩 作 的 功 定 义 ， 线 量 与 角 量 的 关 系 求 解 。 解 ： （ 1） 角 加 速 度 为 ： 转 过 的 角 度 为 ： 转 过 的 圈 数 为 ： 圈 （ 2） 由 转 动 定 律 得 力 矩 做 的 功 为 ： （ 3） 角 速 度 为 ： 边 缘 一 点 的 线 速 度 为 ： 边 缘 一 点 的 法 向 加 速 度 为 ： 边 缘 一 点 的 切 向 加 速 度 为 ： 3-11 一 质 量 为 M， 长 为 的 匀 质 细 杆 ， 一 端 固 接 一 质 量 为 m的 小 球 ， 可 绕 杆 的 另 一 端 无 摩 擦 地 在 竖 直 平 面 内 转 动 ， 现 将 小 球 从 水 平 位 置 A向 下 抛 射 ， 使 球 恰 好 通 过 最 高 点 C， 如 题 图 3-11所 示 。 求 ： （ 1） 下 抛 初 速 度 ； （ 2） 在 最 低 点 B时 ， 细 杆 对 球 的 作 用 力 。 分 析 ： 由 机 械 能 守 恒 定 律 、 牛 顿 第 二 定 律 、 角 线 量 关 系 求 解 。 解 ： （ 1） 如 图 3-11， 取 向 下 抛 点 作 势 能 零 点 ， 由 机 械 能 守 恒 定 律 得 ， 题 图 3-11 J= 解 得 ， （ 2） 取 最 低 点 作 势 能 零 点 ， 由 机 械 能 守 恒 定 律 和 牛 顿 第 二 定 律 得 ， 解 ： 得 ， 3-12 物 体 质 量 为 时 位 于 ， 如 一 恒 力 作 用 在 物 体 上 ， 求 3s后 ， （ 1） 物 体 动 量 的 变 化 ； （ 2） 相 对 z轴 角 动 量 的 变 化 。 分 析 ： 写 出 的 表 达 式 及 力 f对 Z轴 的 力 矩 。 由 动 量 定 理 、 角 动 量 定 理 求 解 。 解 ： （ 1） 由 动 量 定 理 得 ， 动 量 的 增 量 为 ： （ 2） 由 角 动 量 定 理 得 ， 角 动 量 的 增 量 为 ： 而 把 代 入 解 得 ： 把 代 入 解 得 ： 3-13 水 平 面 内 有 一 静 止 的 长 为 、 质 量 为 的 细 棒 ， 可 绕 通 过 棒 一 末 端 的 固 定 点 在 水 平 面 内 转 动 。 今 有 一 质 量 为 、 速 率 为 的 子 弹 在 水 平 面 内 沿 棒 的 垂 直 方 向 射 向 棒 的 中 点 ， 子 弹 穿 出 时 速 率 减 为 ， 当 棒 转 动 后 ， 设 棒 上 单 位 长 度 受 到 的 阻 力 正 比 于 该 点 的 速 率 （ 比 例 系 数 为 k） 试 求 ： （ 1） 子 弹 穿 出 时 ， 棒 的 角 速 度 为 多 少 ？ （ 2） 当 棒 以 转 动 时 ， 受 到 的 阻 力 矩 为 多 大 ？ （ 3） 棒 从 变 为 时 ， 经 历 的 时 间 为 多 少 ？ 分 析 ： 把 子 弹 与 棒 看 作 一 个 系 统 ， 子 弹 击 穿 棒 的 过 程 中 ， 转 轴 处 的 作 用 力 的 力 矩 为 零 ， 所 以 击 穿 前 后 系 统 角 动 量 守 恒 ， 可 求 待 击 穿 瞬 间 棒 的 角 速 度 。 棒 转 动 过 程 中 ， 对 棒 划 微 元 计 算 元 阻 力 矩 ， 积 分 可 得 总 阻 力 矩 ， 应 用 转 动 定 律 或 角 动 量 定 理 可 求 得 所 需 时 间 。 解 ： （ 1） 以 子 弹 和 棒 组 成 的 系 统 为 研 究 对 象 。 取 子 弹 和 棒 碰 撞 中 间 的 任 一 状 态 分 析 受 力 ， 子 弹 与 棒 之 间 的 碰 撞 力 、 是 内 力 。 一 对 相 互 作 用 力 对 同 一 转 轴 来 说 ， 其 力 矩 之 和 为 零 。 因 此 ， 可 以 认 为 棒 和 子 弹 组 成 的 系 统 对 转 轴 的 合 外 力 矩 为 零 ， 则 系 统 对 转 轴 的 角 动 量 守 恒 。 解 上 述 两 式 得 ： （ 2） 设 在 离 转 轴 距 离 为 得 取 一 微 元 ， 则 该 微 元 所 受 的 阻 力 为 ： 该 微 元 所 受 的 阻 力 对 转 轴 的 力 矩 为 ： 则 细 棒 所 受 到 的 总 阻 力 矩 为 ： （ 3） 由 刚 体 定 轴 转 动 定 律 得 ， 即 上 式 可 化 为 ： 对 上 式 两 边 分 别 积 分 得 ： 解 上 式 积 分 得 ： 把 代 入 上 式 得 ： 3-14两 滑 冰 运 动 员 ， 质 量 分 别 为 ， ， 它 们 的 速 率 ， 在 相 距 1.5m的 两 平 行 线 上 相 向 而 行 ， 当 两 人 最 接 近 时 ， 便 拉 起 手 来 ， 开 始 绕 质 心 作 圆 周 运 动 并 保 持 两 人 间 的 距 离 1.5m不 变 。 求 ： （ 1） 系 统 总 的 角 动 量 ； （ 2） 系 统 一 起 绕 质 心 旋 转 的 角 速 度 ； （ 3） 两 人 拉 手 前 后 的 总 动 能 ， 这 一 过 程 中 机 械 能 是 否 守 恒 ， 为 什 么 ？ 分 析 ： 利 用 系 统 质 心 公 式 ， 两 人 组 成 系 统 前 后 角 动 量 守 恒 和 动 能 公 式 求 解 。 解 ： （ 1 ） 设 两 人 相 距 最 近 时 以 运 动 员 A作 原 点 ， 由 质 心 公 式 得 ， 两 运 动 员 的 质 心 为 ： 两 人 组 成 的 系 统 对 质 心 的 总 的 角 动 量 为 ： （ 2 ） 两 人 拉 手 过 程 中 ， 所 受 力 对 质 心 转 轴 的 力 矩 之 和 为 零 ， 则 两 人 组 成 系 统 前 后 角 动 量 守 恒 。 解 上 式 得 ： （ 3 ） 两 人 拉 手 前 的 动 能 为 ： 两 人 拉 手 后 的 动 能 为 ： 因 此 ， 系 统 前 后 的 机 械 能 不 守 恒 。 我 们 可 以 把 两 人 拉 手 的 过 程 看 作 完 全 非 弹 性 碰 撞 ， 因 此 系 统 前 后 机 械 能 不 守 恒 。 3-15 如 题 图 3-15所 示 ， 一 长 为 、 质 量 为 M的 匀 质 细 棒 ， 可 绕 棒 中 点 的 水 平 轴 在 竖 直 面 内 转 动 ， 开 始 时 棒 静 止 在 水 平 位 置 ， 一 质 量 为 m的 小 球 以 速 度 垂 直 下 落 在 棒 的 端 点 ， 设 小 球 与 棒 作 弹 性 碰 撞 ， 求 碰 撞 后 小 球 的 反 弹 速 度 及 棒 转 动 的 角 速 度 各 为 多 少 ？ 分 析 ： 以 小 球 和 棒 组 成 的 系 统 为 研 究 对 象 。 取 小 球 和 棒 碰 撞 中 间 的 任 一 状 态 分 析 受 力 ， 棒 受 的 重 力 和 轴 对 棒 的 支 撑 力 N对 O轴 的 力 矩 均 为 零 。 小 球 虽 受 重 力 mg作 用 ， 但 比 起 碰 撞 时 小 球 与 棒 之 间 的 碰 撞 力 、 而 言 ， 可 以 忽 略 不 计 。 又 、 是 内 力 ， 一 对 相 互 作 用 力 对 同 一 转 轴 来 说 ， 其 力 矩 之 和 为 零 。 因 此 ， 可 以 认 为 棒 和 小 球 组 成 的 系 统 对 O轴 的 合 外 力 矩 为 零 ， 则 系 统 对 O轴 的 角 动 量 守 恒 。 解 ： 取 垂 直 纸 面 向 里 为 角 动 量 L正 向 ， 则 系 统 初 态 角 动 量 为 ， 终 态 角 动 量 为 （ 小 棒 ） 和 （ 小 球 ） ， 有 角 动 量 守 恒 定 律 得 题 图 3-15 因 为 弹 性 碰 撞 ， 系 统 机 械 能 守 恒 ， 可 得 又 联 立 式 ， ， 解 得 3-16 一 长 为 L、 质 量 为 m的 匀 质 细 棒 ， 如 题 图 3-16所 示 ， 可 绕 水 平 轴 在 竖 直 面 内 旋 转 ， 若 轴 光 滑 ， 今 使 棒 从 水 平 位 置 自 由 下 摆 。 求 ： （ 1） 在 水 平 位 置 和 竖 直 位 置 棒 的 角 加 速 度 ； （ 2） 棒 转 过 角 时 的 角 速 度 。 分 析 ： 由 转 动 定 律 求 角 加 速 度 ， 由 在 转 动 过 程 中 机 械 能 守 恒 求 角 速 度 。 解 ： （ 1） 有 刚 体 定 轴 转 动 定 律 得 ， 细 棒 在 水 平 位 置 的 角 加 速 度 为 ： 题 图 3-16 细 棒 在 竖 直 位 置 的 角 加 速 度 为 ： （ 2） 细 棒 在 转 动 的 过 程 中 机 械 能 守 恒 ， 由 机 械 能 守 恒 定 律 得 ， 解 上 述 两 式 得 ： 3-17 弹 簧 、 定 滑 轮 和 物 体 如 题 图 3-17所 示 放 置 ， 弹 簧 劲 度 系 数 k为 ； 物 体 的 质 量 。 滑 轮 和 轻 绳 间 无 相 对 滑 动 ， 开 始 时 用 手 托 住 物 体 ， 弹 簧 无 伸 长 。 求 ： （ 1） 若 不 考 虑 滑 轮 的 转 动 惯 量 ， 手 移 开 后 ， 弹 簧 伸 长 多 少 时 ， 物 体 处 于 受 力 平 衡 状 态 及 此 时 弹 簧 的 弹 性 势 能 ； （ 2） 设 定 滑 轮 的 转 动 惯 量 为 ， 半 径 ， 手 移 开 后 ， 物 体 下 落 0.4m时 ， 它 的 速 度 为 多 大 ？ 题 图 3-17 分 析 ： （ 1） 不 考 虑 滑 轮 的 转 动 惯 量 ， 由 物 体 受 力 平 衡 求 伸 长 量 x， 再 求 弹 性 势 能 。 （ 2） 若 考 虑 滑 轮 的 转 动 惯 量 ， 则 弹 簧 、 滑 轮 、 物 体 和 地 球 组 成 的 系 统 机 械 能 守 恒 解 ： （ 1） 若 不 考 虑 滑 轮 的 转 动 惯 量 ， 设 弹 簧 伸 长 了 x距 离 时 物 体 处 于 受 力 平 衡 状 态 ， 则 ： 此 时 弹 簧 的 弹 性 势 能 为 ： （ 2） 若 考 虑 滑 轮 得 转 动 惯 量 ， 设 物 体 下 落 的 距 离 为 h时 ， 它 的 速 度 为 v， 滑 轮 的 角 速 度 为 ， 则 由 机 械 能 守 恒 定 律 得 ， 把 数 据 代 入 上 述 两 式 得 ， 解 上 述 两 式 得 ： 3-18一 转 动 惯 量 为 的 圆 盘 绕 一 固 定 轴 转 动 ， 起 初 角 速 度 为 设 它 所 受 阻 力 矩 与 转 动 角 速 度 成 正 比 ， 即 (k为 正 的 常 数 )， 求 圆 盘 的 角 速 度 从 变 为 时 所 需 的 时 间 分 析 ： 由 转 动 定 律 及 角 加 速 度 的 定 义 ， 对 角 速 度 积 分 可 求 解 。 解 ： 根 据 转 动 定 律 ： 两 边 积 分 ： 得 3-19 质 量 为 的 子 弹 ， 以 速 度 水 平 射 入 放 在 光 滑 水 平 面 上 质 量 为 、 半 径 为 R的 圆 盘 边 缘 ， 并 留 在 该 处 ， 的 方 向 与 射 入 处 的 半 径 垂 直 ， 圆 盘 盘 心 有 一 竖 直 的 光 滑 固 定 轴 ， 如 所 示 ， 试 求 子 弹 射 入 后 圆 盘 的 角 速 度 。 分 析 ： 在 子 弹 射 入 圆 盘 的 过 程 中 ， 子 弹 和 圆 盘 组 成 的 系 统 对 转 轴 的 角 动 量 和 力 矩 为 零 ， 因 此 对 转 轴 的 角 动 量 守 恒 。 解 ： 设 子 弹 射 入 后 圆 盘 的 角 速 度 为 ， 则 由 角 动 量 守 恒 定 律 得 ， 题 图 3-19 解 上 式 得 ： 3-20一 均 质 细 杆 ， 长 ， 可 绕 通 过 一 端 的 水 平 光 滑 轴 O在 铅 垂 面 内 自 由 转 动 ， 如 题 图 3-20所 示 。 开 始 时 杆 处 于 铅 垂 位 置 ， 今 有 一 子 弹 沿 水 平 方 向 以 的 速 度 射 入 细 杆 。 设 入 射 点 离 O点 的 距 离 为 ， 子 弹 的 质 量 为 细 杆 质 量 的 。 试 求 ： （ 1） 子 弹 和 细 杆 开 始 共 同 运 动 的 角 速 度 。 （ 2） 子 弹 和 细 杆 共 同 摆 动 能 到 达 的 最 大 角 度 。 分 析 ： 子 弹 射 入 细 杆 过 程 中 ， 子 弹 和 细 杆 组 成 的 系 统 角 动 量 守 恒 ； 细 杆 摆 动 时 ， 机 械 能 守 恒 。 解 （ 1） 子 弹 打 进 杆 的 过 程 中 子 弹 和 杆 组 成 的 系 统 角 动 量 守 恒 ， 设 子 弹 开 始 时 的 角 速 度 为 ， 弹 和 杆 一 起 共 同 运 动 的 角 速 度 为 ， 则 由 角 动 量 守 恒 定 律 得 : 又 O 题 图 3-20 把 式 代 入 式 并 解 得 ： （ 2） 设 子 弹 与 杆 共 同 摆 动 能 达 到 最 大 角 度 为 角 ， 在 摆 动 的 过 程 中 杆 和 子 弹 及 地 球 组 成 的 系 统 机 械 能 守 恒 ， 则 由 机 械 能 守 恒 定 律 得 ， 把 式 及 ， L=1代 入 式 解 得 ： 。 即 第 四 章 4-1 观 察 者 A测 得 与 他 相 对 静 止 的 Oxy平 面 上 一 个 圆 的 面 积 是 12 cm2， 另 一 观 察 者 B相 对 于 A以 0.8 c (c为 真 空 中 光 速 )平 行 于 Oxy平 面 作 匀 速 直 线 运 动 ， B测 得 这 一 图 形 为 一 椭 圆 ， 其 面 积 是 多 少 ？ 分 析 ： 本 题 考 察 的 是 长 度 收 缩 效 应 。 解 ： 由 于 B相 对 于 A以 匀 速 运 动 ， 因 此 B观 测 此 图 形 时 与 v平 行 方 向 上 的 线 度 将 收 缩 为 ， 即 是 椭 圆 的 短 轴 . 而 与 v垂 直 方 向 上 的 线 度 不 变 ， 仍 为 ， 即 是 椭 圆 的 长 轴 . 所 以 测 得 的 面 积 为 (椭 圆 形 面 积 ) =7.2cm2 4-2 长 度 为 1m的 米 尺 L静 止 于 中 ， 与 轴 的 夹 角 系 相 对 系 沿 轴 运 动 ， 在 系 中 观 察 得 到 的 米 尺 与 轴 的 夹 角 为 ， 试 求 ： （ 1） 系 相 对 系 的 速 度 是 多 少 ？ （ 2） 系 中 测 得 的 米 尺 的 长 度 ？ 分 析 ： 本 题 考 察 的 是 长 度 收 缩 效 应 。 根 据 两 个 参 考 系 下 米 尺 的 不 同 长 度 再 结 合 长 度 收 缩 效 应 我 们 可 以 很 方 便 的 得 到 两 个 参 考 系 之 间 的 相 对 速 度 解 ： （ 1） 米 尺 相 对 系 静 止 ， 它 在 轴 的 投 影 分 别 为 ： 米 尺 相 对 S系 沿 x方 向 运 动 ， 设 运 动 速 度 为 v， 为 S系 中 的 观 察 者 ， 米 尺 在 x方 向 将 产 生 长 度 收 缩 ， 而 y方 向 的 长 度 不 变 ， 即 故 米 尺 与 x轴 的 夹 角 满 足 将 与 、 的 值 代 入 可 得 ： （ 2） 在 S系 中 测 得 米 尺 的 长 度 为 ： 4-3 已 知 介 子 在 其 静 止 系 中 的 半 衰 期 为 。 今 有 一 束 介 子 以 的 速 度 离 开 加 速 器 ， 试 问 ， 从 实 验 室 参 考 系 看 来 ， 当 介 子 衰 变 一 半 时 飞 越 了 多 长 的 距 离 ？ 分 析 ： 本 题 考 察 的 是 时 间 膨 胀 效 应 。 根 据 静 止 系 中 的 半 衰 期 加 上 时 间 膨 胀 效 应 我 们 可 以 求 出 在 实 验 室 参 考 系 中 的 半 衰 期 ， 然 后 根 据 该 半 衰 期 求 出 飞 行 距 离 。 解 ： 在 介 子 的 静 止 系 中 ， 半 衰 期 是 本 征 时 间 。 由 时 间 膨 胀 效 应 ， 实 验 室 参 系 中 的 观 察 者 测 得 的 同 一 过 程 所 经 历 的 时 间 为 ： 因 而 飞 行 距 离 为 ： 4-4 在 某 惯 性 系 K中 ， 两 事 件 发 生 在 同 一 地 点 而 时 间 相 隔 为 。 已 知 在 另 一 惯 性 系 中 ， 该 两 事 件 的 时 间 间 隔 为 ， 试 问 它 们 的 空 间 间 隔 是 多 少 ？ 分 析 ： 本 题 考 察 的 是 时 间 膨 胀 效 应 以 及 洛 伦 兹 变 换 。 根 据 时 间 膨 胀 效 应 我 们 可 以 求 出 两 参 考 系 的 相 对 速 度 ， 继 而 根 据 洛 伦 兹 变 换 演 化 出 空 间 间 隔 变 换 的 公 式 求 出 该 两 事 件 在 S系 中 的 空 间 间 隔 。 解 ： 在 k系 中 ， 为 本 征 时 间 ， 在 系 中 的 时 间 间 隔 为 两 者 的 关 系 为 ： 故 两 惯 性 系 的 相 对 速 度 为 ： 由 洛 伦 兹 变 换 ， 系 中 两 事 件 的 空 间 间 隔 为 ： 两 件 事 在 K系 中 发 生 在 同 一 地 点 ， 因 此 有 ， 故 4-5 惯 性 系 相 对 另 一 惯 性 系 沿 x轴 作 匀 速 运 动 ， 取 两 坐 标 原 点 重 合 的 时 刻 作 为 计 时 起 点 。 在 系 中 测 得 两 事 件 的 时 空 坐 标 分 别 为 以 及 ， 已 知 在 系 中 测 得 该 两 事 件 同 时 发 生 。 试 问 ： （ 1） 系 相 对 系 的 速 度 是 多 少 ？ （ 2） 系 中 测 得 的 两 事 件 的 空 间 间 隔 是 多 少 ？ 分 析 ： 本 题 所 考 察 的 是 洛 伦 兹 变 换 的 应 用 问 题 。 根 据 洛 伦 兹 变 换 在 不 同 参 考 系 下 两 个 事 件 的 时 间 变 换 关 系 ， 我 们 可 以 很 方 便 的 得 到 两 个 参 考 系 之 间 的 相 对 速 度 。 有 了 相 对 速 度 以 后 ， 再 根 据 洛 伦 兹 变 换 的 空 间 变 换 关 系 ， 我 们 可 以 得 到 两 事 件 的 空 间 间 隔 。 解 ： （ 1） 设 系 相 对 S系 的 速 度 为 v， 由 洛 伦 兹 变 换 ， 系 中 测 得 两 事 件 的 时 间 为 ： 由 题 意 ， 因 此 有 其 中 负 号 表 示 系 沿 系 的 方 向 运 动 。 （ 2） 由 洛 伦 兹 变 换 ， 系 中 测 得 的 两 事 件 的 空 间 位 置 为 ： 故 空 间 间 隔 为 ： 4-6 （ 1） 火 箭 A和 B分 别 以 的 速 度 相 对 于 地 球 向 方 向 飞 行 ， 试 求 由 火 箭 B测 得 的 A的 速 度 。 （ 2） 若 火 箭 A相 对 地 球 以 0.8c 的 速 度 向 方 向 运 动 ， 火 箭 B的 速 度 不 变 ， 试 问 A相 对 B的 速 度 是 多 少 ？ 分 析 ： 本 题 考 察 的 是 洛 伦 兹 速 度 变 换 。 在 火 箭 B为 静 止 的 参 考 系 中 ， 先 求 出 地 面 参 考 系 相 对 此 参 考 系 的 运 动 速 度 （ 此 即 为 两 个 参 考 系 之 间 的 相 对 速 度 ） ， 然 后 由 火 箭 A相 对 地 面 的 运 动 速 度 以 及 洛 伦 兹 速 度 变 换 公 式 求 出 火 箭 A相 对 火 箭 B的 速 度 。 解 ： （ 1） 设 火 箭 B的 静 止 系 为 S， 则 地 面 参 考 系 相 对 S的 运 动 速 度 为 。 在 地 面 参 考 系 中 ， 火 箭 A的 运 动 速 度 为 ， 由 洛 伦 兹 速 度 变 换 公 式 可 得 火 箭 A相 对 火 箭 B的 运 动 速 度 为 ： （ 2） 由 于 S系 相 对 地 面 参 考 系 以 方 向 飞 行 ， 而 在 地 面 参 考 系 中 火 箭 A的 运 动 速 度 为 。 则 根 据 洛 伦 兹 速 度 变 换 公 式 在 S系 中 火 箭 A的 运 动 速 度 为 ： 所 以 火 箭 A相 对 火 箭 B的 速 度 为 ： 4-7 静 止 在 系 中 的 观 察 者 测 得 一 光 子 沿 与 x 轴 成 60 角 的 方 向 飞 行 ， 另 一 观 察 者 静 止 于 系 中 ， 系 相 对 系 为 的 速 度 沿 x轴 方 向 运 动 ， 试 问 系 中 的 观 察 者 测 得 的 光 子 运 动 方 向 是 怎 样 的 ？ 分 析 ： 本 题 考 察 的 是 洛 伦 兹 速 度 变 换 。 根 据 两 个 参 考 系 的 相 对 速 度 以 及 光 子 在 K系 的 速 度 ， 由 洛 伦 速 度 变 换 可 以 求 出 光 子 在 S系 中 的 运 动 速 度 。 解 ： 已 知 系 相 对 K系 的 速 度 为 ， 光 子 速 度 为 c， 在 K系 中 的 运 动 方 向 为 与 x轴 成 60 角 ， 因 此 该 光 子 在 K 系 中 的 速 度 为 。 所 以 在 系 中 光 子 的 运 动 速 度 为 ： 令 该 光 子 在 系 中 的 运 动 方 向 与 X轴 成 角 ， 则 有 ： 4-8 子 的 静 止 质 量 是 电 子 静 止 质 量 的 207倍 ， 静 止 时 的 平 均 寿 命 ， 若 它 在 实 验 室 参 考 系 中 的 平 均 寿 命 ， 试 问 其 质 量 是 电 子 静 止 质 量 的 多 少 倍 ？ 分 析 ： 本 题 考 察 的 是 时 间 膨 胀 效 应 和 相 对 论 质 量 问 题 。 根 据 时 间 膨 胀 效 应 我 们 可 以 求 出 该 粒 子 在 实 验 室 参 考 系 中 的 运 动 速 度 ， 然 后 根 据 该 速 度 可 以 求 出 速 度 下 的 相 对 论 质 量 。 解 ： 设 子 在 实 验 室 参 考 系 中 的 速 度 为 、 质 量 为 ， 依 题 意 有 ： 将 的 值 代 入 得 ： 当 子 速 度 为 时 其 质 量 为 ： 4-9 一 物 体 的 速 度 使 其 质 量 增 加 了 10%， 试 问 此 物 体 在 运 动 方 向 上 缩 短 了 百 分 之 多 少 ？ 分 析 ： 本 题 涉 及 的 是 相 对 论 质 量 和 长 度 以 收 缩 问 题 。 根 据 质 量 与 静 止 质 量 之 比 可 以 求 出 该 物 体 的 运 动 速 度 ， 然 后 根 据 速 度 可 以 求 出 该 物 体 在 运 动 速 度 方 向 上 的 长 度 收 缩 。 解 ： 设 物 体 速 度 为 、 质 量 为 、 长 度 为 ， 静 止 质 量 和 长 度 分 别 为 和 ， 依 题 意 有 ： 因 此 ， 根 据 长 度 收 缩 效 应 有 ： 所 以 在 运 动 方 向 上 缩 短 了 ： 4-10 一 电 子 在 电 场 中 从 静 止 开 始 加 速 ， 试 问 它 应 通 过 多 大 的 电 位 差 才 能 使 其 质 量 增 加 0.4%？ 此 时 电 子 速 度 是 多 少 ？ （ 电 子 的 静 能 为 0.511MeV.） 分 析 ： 此 题 考 察 的 是 相 对 论 质 量 与 速 度 之 间 的 关 系 。 根 据 相 对 论 质 量 公 式 可 以 很 方 便 的 求 出 电 子 的 运 动 速 度 ， 再 根 据 能 量 守 恒 ， 求 出 加 速 所 需 的 电 位 差 。 解 ： 设 电 子 速 度 为 、 质 量 为 ， 静 止 质 量 为 ， 所 加 的 电 位 差 为 U。 依 题 意 有 ： 所 以 此 时 电 子 的 速 度 为 ： 根 据 能 量 守 恒 ， 有 ： 4-11 已 知 一 粒 子 的 动 能 等 于 其 静 止 能 量 的 n倍 ， 试 求 该 粒 子 的 速 率 。 分 析 ： 该 题 考 察 的 是 相 对 论 的 质 能 关 系 式 。 根 据 粒 子 的 动 能 和 静 能 比 可 以 求 出 该 粒 子 总 能 量 和 静 能 之 比 ， 这 个 比 值 也 就 是 该 粒 子 的 质 量 与 静 止 质 量 之 比 ， 根 据 相 对 论 质 量 与 速 度 的 关 系 式 ， 我 们 可 以 求 出 该 粒 子 的 速 率 ， 从 而 求 出 该 粒 子 的 动 量 。 解 ： 依 题 意 有 ： 所 以 其 质 量 与 静 止 质 量 之 比 为 ： 根 据 相 对 论 质 量 与 速 度 的 关 系 有 ： 所 以 该 粒 子 的 速 度 为 ： 4-12 一 静 止 的 粒 子 （ 质 量 为 ） ， 裂 变 成 两 个 粒 子 ， 速 度 分 别 为 。 求 裂 变 过 程 的 静 质 量 亏 损 和 释 放 出 的 能 量 。 分 析 ： 该 题 涉 及 到 质 量 亏 损 的 概 念 和 动 量 守 恒 定 律 。 由 于 反 应 后 的 两 个 粒 子 的 质 量 未 知 ， 因 此 我 们 可 以 根 据 两 个 粒 子 之 间 的 速 度 关 系 推 导 出 二 者 的 质 量 比 ， 又 由 于 该 两 个 粒 子 的 总 动 能 来 源 于 该 反 应 的 静 质 量 亏 损 ， 因 此 结 合 反 应 后 两 个 粒 子 的 质 量 比 以 及 各 自 的 速 度 大 小 ， 我 们 可 以 求 出 该 反 应 的 质 量 亏 损 ， 从 而 求 出 该 反 应 所 释 放 的 能 量 。 解 ： 设 反 应 后 两 粒 子 的 质 量 分 别 为 、 ， 则 根 据 动 量 守 恒 定 律 有 ： （ 1） 反 应 前 后 总 的 能 量 守 恒 ， 所 以 有 ： （ 2） 将 （ 1） 式 代 入 （ 2） 式 ， 得 ： 所 以 反 应 前 后 的 静 质 量 亏 损 为 ： 释 放 出 的 能 量 为 ： 4-13 试 求 静 止 质 量 为 的 质 点 在 恒 力 F作 用 下 的 运 动 速 度 和 位 移 。 在 时 间 很 短 （ ） 和 时 间 很 长 （ ） 的 两 种 极 限 情 况 下 ， 速 度 和 位 移 值 又 各 是 多 少 ？ 分 析 ： 根 据 力 和 动 量 的 关 系 ， 经 过 积 分 后 我 们 可 以 求 解 在 恒 力 作 用 下 的 力 与 速 度 之 间 的 关 系 ， 经 过 再 次 积 分 ， 可 以 得 到 位 移 和 力 的 关 系 。 解 ： 由 于 力 代 表 的 是 动 量 的 变 化 率 ， 因 此 有 ： 将 上 式 积 分 ， 由 于 力 为 恒 力 与 时 间 无 关 ， 再 代 入 初 始 条 件 （ 起 始 时 为 静 止 ， 即 初 速 度 为 零 ） 可 得 ： 因 此 可 得 速 度 与 力 之 间 的 关 系 式 ： 将 上 式 再 积 分 ， 并 假 定 起 始 时 所 处 位 置 为 坐 标 原 点 ， 可 得 位 移 与 力 之 间 的 关 系 ： 当 时 ， 有 ： 当 时 ， 有 ： 4-14 在 原 子 核 聚 变 中 ， 两 个 原 子 结 合 而 产 生 原 子 。 试 求 ： （ 1） 该 反 应 中 的 质 量 亏 损 为 多 少 ？ （ 2） 在 这 一 反 应 中 释 放 的 能 量 是 多 少 ？ （ 3） 这 种 反 应 每 秒 必 须 发 生 多 少 次 才 能 产 生 1W的 功 率 ？ 已 知 原 子 的 静 止 质 量 为 原 子 的 静 止 质 量 为 。 分 析 ： 已 知 反 应 前 后 各 种 反 应 物 和 生 成 物 的 质 量 ， 我 们 可 以 很 方 便 的 求 出 反 应 前 后 的 质 量 亏 损 ， 并 据 此 求 出 反 应 所 释 放 的 能 量 。 解 ： 反 应 的 质 量 亏 损 为 ： 该 反 应 所 释 放 的 能 量 为 ： 要 达 到 1W的 功 率 需 要 每 秒 钟 反 应 的 次 数 为 ： 4-15 当 一 个 粒 子 所 具 有 的 动 能 恰 好 等 于 它 的 静 能 时 ， 试 问 这 个 粒 子 的 速 度 有 多 大 ？ 当 动 能 为 其 静 能 的 400倍 时 ， 速 度 有 多 大 ？ 分 析 ： 粒 子 的 总 能 量 可 以 用 粒 子 的 动 质 量 与 光 速 的 平 方 的 乘 积 来 表 示 ， 而 粒 子 的 静 能 则 等 于 粒 子 的 静 质 量 与 光 速 的 平 方 的 乘 积 ， 因 上 我 们 可 以 很 方 便 的 把 粒 子 的 动 能 和 静 能 之 比 用 粒 子 的 速 度 表 示 出 来 。 解 ： 根 据 粒 子 的 质 量 和 速 度 之 间 的 关 系 可 得 ： 所 以 粒 子 的 总 能 与 静 能 之 比 为 ： 又 该 粒 子 的 总 能 等 于 动 能 与 静 能 之 和 ， 所 以 该 粒 子 的 动 能 与 静 能 之 比 为 ： 所 以 当 动 能 等 于 静 能 时 ， 有 ： 当 动 能 等 于 静 能 的 400倍 时 ， 有 ： 4-16同 位 素 核 由 两 个 质 子 和 一 个 中 子 组 成 ， 它 的 静 质 量 为 。 （ 1） 以 为 单 位 ， 的 静 能 为 多 少 ？ （ 2） 取 出 一 个 质 子 使 成 为 （ 静 质 量 为 ） 加 一 个 质 子 （ 静 质 量 为 ） ， 试 问 需 要 多 少 能 量 ？ 分 析 ： 本 题 涉 及 的 是 静 能 以 及 质 量 亏 损 的 概 念 。 粒 子 的 静 能 由 粒 子 的 静 质 量 与 光 速 的 平 方 的 乘 积 表 示 ； 而 反 应 前 后 总 能 量 守 恒 的 要 求 指 明 反 应 进 行 需 要 的 能 量 由 反 应 前 后 的 质 量 亏 损 所 决 定 。 解 ： 静 能 为 ： 当 从 同 位 素 氦 核 中 取 出 一 个 质 子 时 ， 此 时 质 量 亏 损 为 ： 所 以 反 应 需 要 能 量 为 ： 4-17 把 一 个 静 止 质 量 为 的 粒 子 由 静 止 加 速 到 0.1c所 需 的 功 是 多 少 ？ 由 速 率 0.89c加 速 到 0.99c所 需 的 功 又 是 多 少 ？ 分 析 ： 此 题 涉 及 到 的 是 粒 子 的 总 能 量 与 速 度 之 间 的 关 系 。 根 据 能 量 守 恒 定 律 ， 通 过 计 算 任 一 速 度 下 的 总 能 量 即 可 求 出 从 该 速 度 下 再 增 加 0 .1 c的 速 度 所 需 要 做 的 功 。 解 ： 粒 子 的 静 能 量 为 ： 速 度 为 0.1c时 ， 该 粒 子 的 总 能 量 为 ： 因 此 将 粒 子 由 静 止 加 速 到 0.1c所 需 要 做 的 功 为 ： 同 理 粒 子 在 速 度 为 0.89c和 0.99c时 的 总 能 量 分 别 为 ： 所 以 将 粒 子 由 0.89c加 事 到 0.99c时 所 需 做 的 功 为 4-18 两 个 静 止 质 量 都 是 的 小 球 ， 其 中 ， 一 个 静 止 ， 另 一 个 以 运 动 ， 在 它 们 做 对 心 碰 撞 后 粘 在 一 起 ， 求 碰 后 合 成 小 球 的 静 止 质 量 。 分 析 ： 由 于 碰 撞 前 后 ， 体 系 的 总 能 量 不 变 ， 所 以 可 以 得 出 碰 后 合 成 小 球 的 动 质 量 与 的 关 系 ； 再 根 据 碰 撞 前 后 动 量 守 恒 ， 加 上 已 求 出 的 合 成 小 球 的 动 质 量 ， 可 以 求 出 合 成 小 球 的 速 度 ； 最 后 根 据 合 成 小 球 的 速 度 和 相 应 的 动 质 量 可 以 求 出 合 成 小 球 的 静 质 量 。 解 ： 设 碰 撞 前 运 动 小 球 的 质 量 为 ， 碰 撞 后 合 成 小 球 的 质 量 和 速 度 分 别 为 M和 u ， 根 据 题 意 ， 显 然 有 ： （ 1 ） 由 能 量 守 恒 ， 有 ： （ 2 ） 碰 撞 前 后 动 量 守 恒 ， （ 3 ） 由 （ 1 ） 、 （ 2 ） 和 （ 3 ） 式 可 得 ： 所 以 合 成 小 球 的 静 质 量 为 ：