资源描述
中 南 民 族 大 学 06、 07微 积 分 （ 下 ）试 卷 及 参 考 答 案 06年 A卷 评分 阅卷 人 1 、 已 知 ,则 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 2 、 已 知 ,则 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 3 、 函 数 在 点 取 得 极 值 . 4 、 已 知 ,则 _ _ _ _ _ _ _ _ . 5 、 以 (为 任 意 常 数 )为 通 解 的 微 分 方 程 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 二 、 选 择 题 (每 小 题 3 分 ,共 1 5 分 ) 评分 阅卷 人 6 知 与 均 收 敛 , 则 常 数 的 取 值 范 围 是 ( ). (A) (B) (C) (D) 7 数 在 原 点 间 断 , 是 因 为 该 函 数 ( ). (A) 在 原 点 无 定 义 (B) 在 原 点 二 重 极 限 不 存 在 (C) 在 原 点 有 二 重 极 限 ,但 无 定 义 (D) 在 原 点 二 重 极 限 存 在 ,但 不 等 于 函 数 值 8 、 若 , , ,则 下 列 关 系 式 成 立 的 是 ( ). (A) (B) (C) (D) 9 、 方 程 具 有 特 解 ( ). (A) (B) (C) (D) 1 0 、 设 收 敛 ， 则 ( ). (A) 绝 对 收 敛 (B) 条 件 收 敛 (C) 发 散 (D) 不 定 三 、 计 算 题 (每 小 题 6分 ,共 60分 ) 评分 评分 评阅 人 1 1 、 求 由 ,所 围 图 形 绕 轴 旋 转 的 旋 转 体 的 体 积 . 评分 评阅 人 1 2 、 求 二 重 极 限 . 评分 评阅 人 1 3 、 由 确 定 ， 求 . 评分 评阅 人 1 4 、 用 拉 格 朗 日 乘 数 法 求 在 条 件 下 的 极 值 . 评分 评阅 人 1 5 、 计 算 . 评分 评阅 人 1 6 、 计 算 二 重 积 分 ， 其 中 是 由 轴 及 圆 周 所 围 成 的 在 第 一 象 限 内 的 区 域 . 评分 评阅 人 1 7 、 解 微 分 方 程 . 评分 评阅 人 1 8 、 判 别 级 数 的 敛 散 性 . 评分 评阅 人 1 9 、 将 函 数 展 开 成 的 幂 级 数 ,并 求 展 开 式 成 立 的 区 间 . 评分 评阅 人 2 0 、 某 公 司 可 通 过 电 台 及 报 纸 两 种 方 式 做 销 售 某 商 品 的 广 告 .根 据 统 计 资 料 ,销 售 收 入 (万 元 )与 电 台 广 告 费 用 (万 元 )的 及 报 纸 广 告 费 用 (万 元 )之 间 的 关 系 有 如 下 的 经 验 公 式 : ，求 最 优 广 告 策 略 . 四 、 证 明 题 (每 小 题 5分 ,共 10分 ) 评分 评分 评阅 人 2 1 、 设 ， 证 明 ： . 评分 评阅 人 2 2 、 若 与 都 收 敛 ,则 收 敛 . 答 案 一 、 填 空 题 (每 小 题 3分 ,共 15分 )1 、 . 2 、 . 3 、 . 4 、 1 . 5 、 .二 、 选 择 题 (每 小 题 3分 ,共 15分 ) 6 、 (C ). 7 、 (B). 8 、 (A ) . 9 、 (D). 1 0 、 (D). 三 、 计 算 题 (每 小 题 6分 ,共 60分 ) 1 1 、 求 由 ,所 围 图 形 绕 轴 旋 转 的 旋 转 体 的 体 积 . 解 ： 的 反 函 数 为 。 且 时 ， 。 于 是 1 2 、 求 二 重 极 限 . 解 ： 原 式 (3 分 ) (6 分 ) 1 3 、 由 确 定 ， 求 . 解 ： 设 ， 则 ， ， ， (3 分 ) (6 分 ) 1 4 、 用 拉 格 朗 日 乘 数 法 求 在 条 件 下 的 极 值 . 解 ： 令 ,得 , , 为 极 小 值 点 . (3 分 ) 故 在 下 的 极 小 值 点 为 ,极 小 值 为 (6 分 ) 1 5 、 计 算 . 解 ： (6 分 ) 1 6 、 计 算 二 重 积 分 ， 其 中 是 由 轴 及 圆 周 所 围 成 的 在 第 一 象 限 内 的 区 域 .解 ： (6 分 ) 1 7 、 解 微 分 方 程 . 解 ： 令 ,方 程 化 为 ,于 是 (3 分 ) (6 分 ) 1 8 、 判 别 级 数 的 敛 散 性 . 解 ： (3 分 ) 因 为 (6 分 ) 1 9 、 将 函 数 展 开 成 的 幂 级 数 ,并 求 展 开 式 成 立 的 区 间 . 解 ： 由 于 ,已 知 , (3 分 ) 那 么 ,. (6 分 ) 2 0 、 某 公 司 可 通 过 电 台 及 报 纸 两 种 方 式 做 销 售 某 商 品 的 广 告 .根 据 统 计 资 料 ,销 售 收 入 (万 元 )与 电 台 广 告 费 用 (万 元 )的 及 报 纸 广 告 费 用 (万 元 )之 间 的 关 系 有 如 下 的 经 验 公 式 : ，求 最 优 广 告 策 略 . 解 ： 公 司 利 润 为令 即 得 驻 点 ,而 (3 分 ), , 所 以 最 优 广 告 策 略 为 ： 电 台 广 告 费 用 (万 元 ),报 纸 广 告 费 用 (万 元 ). (6 分 ) 四 、 证 明 题 (每 小 题 5分 ,共 10分 )2 1 、 设 ， 证 明 ： .证 ： (3 分 ) (6 分 ) 2 2 、 若 与 都 收 敛 ,则 收 敛 . 证 ： 由 于 , (3 分 ) 并 由 题 设 知 与 都 收 敛 ,则 收 敛 ,从 而 收 敛 。 (6 分 ) 06年 B卷 一 、 填 空 题 (每 小 题 3 分 ,共 1 5 分 ) 评分 阅卷 人 1 、 设 ， 则 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 2 、 已 知 ， 则 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 3 、 设 函 数 在 点 取 得 极 值 ， 则 常 数 . 4 、 已 知 ,则 _ _ _ _ _ _ _ _ . 5 、 以 (为 任 意 常 数 )为 通 解 的 微 分 方 程 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 二 、 选 择 题 (每 小 题 3 分 ,共 1 5 分 ) 评分 阅卷 人 6 、 已 知 与 均 收 敛 , 则 常 数 的 取 值 范 围 是 ( ). (A) (B) (C) (D) 7 、 对 于 函 数 ,点 ( ). (A) 不 是 驻 点 (B) 是 驻 点 而 非 极 值 点 (C) 是 极 大 值 点 (D) 是 极 小 值 点 8 、 已 知 , ,其 中 为 ,则 ( ). (A) (B) (C) (D) 9 、 方 程 具 有 特 解 ( ). (A) (B) (C) (D) 1 0 、 级 数 收 敛 ， 则 级 数 ( ). (A) 条 件 收 敛 (B) 绝 对 收 敛 (C) 发 散 (D) 敛 散 性 不 定 三 、 计 算 题 (每 小 题 6分 ,共 60分 ) 评分 评分 评阅 人 1 1 、 求 ,所 围 图 形 绕 轴 旋 转 的 旋 转 体 的 体 积 . 评分 评阅 人 1 2 、 求 二 重 极 限 . 评分 评阅 人 1 3 、 设 ,求 . 评分 评阅 人 1 4 、 用 拉 格 朗 日 乘 数 法 求 在 满 足 条 件 下 的 极 值 . 评分 评阅 人 1 5 、 计 算 . 评分 评阅 人 1 6 、 计 算 二 重 积 分 ,其 中 是 由 轴 及 圆 周 所 围 成 的 在 第 一 象 限 内 的 区 域 . 评分 评阅 人 1 7 、 解 微 分 方 程 . 评分 评阅 人 1 8 、 判 别 级 数 的 敛 散 性 . 评分 评阅 人 1 9 、 将 函 数 展 开 成 的 幂 级 数 . 评分 评阅 人 2 0 、 某 工 厂 生 产 甲 、 乙 两 种 产 品 ,单 位 售 价 分 别 为 4 0 元 和 6 0 元 ,若 生 产 单 位 甲 产 品 ,生 产 单 位 乙 产 品 的 总 费 用 为 ,试 求 出 甲 、 乙 两 种 产 品 各 生 产 多 少 时 该 工 厂 取 得 最 大 利 润 . 四 、 证 明 题 (每 小 题 5分 ,共 10分 ) 评分 评分 评阅 人 2 1 、 设 ,证 明 . 评分 评阅 人 2 2 、 若 与 都 收 敛 ,则 收 敛 . 07年 A卷 一 、 填 空 题 (每 小 题 3 分 ,共 1 5 分 ) 评分 阅卷 人 1 、 设 ， 且 当 时 ， ， 则 . 2 、 计 算 广 义 积 分 = . 3 、 设 ， 则 . 4 、 微 分 方 程 具 有 形 式 的 特 解 . 5 、 设 ， 则 _ 二 、 选 择 题 (每 小 题 3分 ,共 15分 ) 评分 阅卷 人 6 、 的 值 为 ( ). (A) (B) (C) (D)不 存 在 7 、 和 存 在 是 函 数 在 点 可 微 的 ( ). (A) 必 要 非 充 分 的 条 件 (B) 充 分 非 必 要 的 条 件 (C) 充 分 且 必 要 的 条 件 (D) 即 非 充 分 又 非 必 要 的 条 件 8 、 由 曲 面 和 及 柱 面 所 围 的 体 积 是 ( ). (A) (B) (C) (D) 9 、 设 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 方 程 有 三 个 特 解 ， ， ， 则 其 通 解 为 ( ). (A) (B) (C) (D) 1 0 、 无 穷 级 数 (为 任 意 实 数 ) ( ). (A) 收 敛 (B) 绝 对 收 敛 (C) 发 散 (D) 无 法 判 断 三 、 计 算 题 (每 小 题 6分 ,共 60分 ) 评分 评分 评阅 人 1 1 、 求 极 限 . 评分 评阅 人 1 2 、 求 由 与 直 线 、 、 所 围 图 形 绕 轴 旋 转 的 旋 转 体 的 体 积 . 评分 评阅 人 1 3 、 求 由 所 确 定 的 隐 函 数 的 偏 导 数 . 评分 评阅 人 1 4 、 求 函 数 的 极 值 . 评分 评阅 人 1 5 、 某 公 司 可 通 过 电 台 及 报 纸 两 种 方 式 做 销 售 某 商 品 的 广 告 . 根 据 统 计 资 料 ,销 售 收 入 (万 元 )与 电 台 广 告 费 用 (万 元 )的 及 报 纸 广 告 费 用 (万 元 )之 间 的 关 系 有 如 下 的 经 验 公 式 : .若 提 供 的 广 告 费 用 为 万 元 ,求 相 应 的 最 优 广 告 策 略 . 评分 评阅 人 1 6 、 计 算 积 分 ,其 中 是 由 直 线 及 所 围 成 的 闭 区 域 . 评分 评阅 人 1 7 、 已 知 连 续 函 数 满 足 ， 且 ， 求 . 评分 评 阅人 1 8 、 求 解 微 分 方 程 =0 . 评分 评阅 人 1 9 、 求 级 数 的 收 敛 区 间 . 评分 评阅 人 2 0 、 判 定 级 数 是 否 收 敛 ， 如 果 是 收 敛 级 数 ， 指 出 其 是 绝 对 收 敛 还 是 条 件 收 敛 . 四 、 证 明 题 (每 小 题 5分 ,共 10分 ) 评分 评分 评阅 人 2 1 、 设 正 项 级 数 收 敛 ,证 明 级 数 也 收 敛 . 评分 评阅 人 2 2 、 设 ,其 中 为 可 导 函 数 , 证 明 . 07（ A） 卷 参 考 答 案 （ 可 能 会 有 错 误 大 家 一 定 要 自 己 核 对 ）一 、 填 空 题 (每 小 题 3 分 ,共 1 5 分 ) 1 、 设 ， 且 当 时 ， ， 则 。（ ）2 、 计 算 广 义 积 分 = 。 （ ） 3 、 设 ， 则 。 （ ） 4、 微 分 方 程 具 有 形 式 的 特 解 .（ ） 5 、 设 ， 则 _。 （ 1）二 、 选 择 题 (每 小 题 3分 ,共 15分 ) 1 、 的 值 为 （ A ）A.3 B.0 C.2 D.不 存 在 2 、 和 存 在 是 函 数 在 点 可 微 的 （ A ） 。 A.必 要 非 充 分 的 条 件 ； B.充 分 非 必 要 的 条 件 ； C.充 分 且 必 要 的 条 件 ； D.即 非 充 分 又 非 必 要 的 条 件 。3 、 由 曲 面 和 及 柱 面 所 围 的 体 积 是 （ D ） 。 A. ； B. ； C、 ； D. 4、 设 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 方 程 有 三 个 特 解 ， ， ， 则 其 通 解 为 （ C ） 。 A.； B.； C.； D.5 、 无 穷 级 数 (为 任 意 实 数 ) （ D） A、 收 敛 B、 绝 对 收 敛 C、 发 散 D、 无 法 判 断三 、 计 算 题 (每 小 题 6分 ,共 60分 ) 1、 求 下 列 极 限 ： 。解 ： （ 3 分 ） （ 6 分 ）2、 求 由 与 直 线 、 、 所 围 图 形 绕 轴 旋 转 的 旋 转 体 的 体 积 。 解 ： （ 4 分 ） （ 6分 ） 3、 求 由 所 确 定 的 隐 函 数 的 偏 导 数 。解 ： 方 程 两 边 对 求 导 得 : ,有 （ 3 分 ）方 程 两 边 对 求 导 得 : ,有 （ 6 分 ）4 、 求 函 数 的 极 值 。解 ： ， 则 ， ， ， ， 求 驻 点 ， 解 方 程 组 得 和 . （ 2 分 ）对 有 ， ， ，于 是 ， 所 以 是 函 数 的 极 大 值 点 ， 且 （ 4 分 ）对 有 ， ， ，于 是 ， 不 是 函 数 的 极 值 点 。 （ 6 分 ）5、 某 公 司 可 通 过 电 台 及 报 纸 两 种 方 式 做 销 售 某 商 品 的 广 告 .根 据 统 计 资 料 ,销 售 收 入 (万 元 )与 电 台 广 告 费 用 (万 元 )的 及 报 纸 广 告 费 用 (万 元 )之 间的 关 系 有 如 下 的 经 验 公 式 : .若 提 供 的 广 告 费 用 为 万 元 ,求 相 应 的 最 优 广告 策 略 . 解 ： 显 然 本 题 要 求 :在 条 件 下 ,求 的 最 大 值 .令 , （ 3 分 ） 解 方 程 组 （ 5 分 ） 得 :, 所 以 ,若 提 供 的 广 告 费 用 为 万 元 ,应 将 万 元 全 部 用 在 报 纸 广 告 费 用 是 最 优 的 广 告 策 略 . （ 6 分 ） 6 、 计 算 积 分 ,其 中 是 由 直 线 及 所 围 成 的 闭 区 域 ；解 ： . （ 4 分 ） （ 6 分 ）7 、 已 知 连 续 函 数 满 足 ， 且 ， 求 。 解 ： 关 系 式 两 端 关 于 求 导 得 ：即 （ 2 分 ） 这 是 关 于 的 一 阶 线 性 微 分 方 程 ， 其 通 解 为 ： = （ 5 分 ）又 ， 即 ， 故 ， 所 以 （ 6 分 ） 8 、 求 解 微 分 方 程 =0 。解 ： 令 ， 则 ， 于 是 原 方 程 可 化 为 ： （ 3 分 ） 即 ， 其 通 解 为 （ 5 分 ） 即 故 原 方 程 通 解 为 ： （ 6 分 ） 9、 求 级 数 的 收 敛 区 间 。解 ： 令 ,幂 级 数 变 形 为 , . （ 3 分 ）当 时 ,级 数 为 收 敛 ；当 时 ,级 数 为 发 散 .故 的 收 敛 区 间 是 , （ 5 分 ）那 么 的 收 敛 区 间 为 . （ 6 分 ）1 0 、 判 定 级 数 是 否 收 敛 ， 如 果 是 收 敛 级 数 ， 指 出 其 是 绝 对 收 敛 还 是 条 件 收 敛 。 解 ： 因 为 （ 2分 ）由 比 值 判 别 法 知 收 敛 ( )， （ 4分 ）从 而 由 比 较 判 别 法 知 收 敛 ， 所 以 级 数 绝 对 收 敛 . （ 6分 ）四 、 证 明 题 (每 小 题 5分 ,共 10分 ) 1、 设 正 项 级 数 收 敛 ,证 明 级 数 也 收 敛 。证 ： ， （ 3 分 ） 而 由 已 知 收 敛 ， 故 由 比 较 原 则 ， 也 收 敛 。 （ 5 分 ）2 、 设 ,其 中 为 可 导 函 数 , 证 明 . 证 明 ： 因 为 , （ 2 分 ） （ 4 分 ） 所 以 . （ 5 分 ） 一 、 填 空 题 (每 小 题 3 分 ,共 1 5 分 ) 评分 阅卷 人 1 、 设 ， 且 当 时 ， ， 则 . 2 、 计 算 广 义 积 分 . 3 、 设 ， 则 . 4 、 微 分 方 程 具 有 形 式 的 特 解 . 5 、 级 数 的 和 为 . 二 、 选 择 题 (每 小 题 3分 ,共 15分 ) 评分 阅卷 人 6 、 的 值 为 ( ). (A) (B) (C) (D)不 存 在 7 、 和 在 存 在 且 连 续 是 函 数 在 点 可 微 的 ( ). (A) 必 要 非 充 分 的 条 件 (B) 充 分 非 必 要 的 条 件 (C) 充 分 且 必 要 的 条 件 (D) 即 非 充 分 又 非 必 要 的 条 件 8 、 由 曲 面 和 及 柱 面 所 围 的 体 积 是 ( ). (A) (B) (C) (D) 9 、 设 二 阶 常 系 数 非 齐 次 微 分 方 程 有 三 个 特 解 ， ， ， 则 其 通 解 为 ( ). (A) (B) (C) (D) 1 0 、 无 穷 级 数 (为 任 意 实 数 ) ( ). (A) 无 法 判 断 (B) 绝 对 收 敛 (C) 收 敛 (D) 发 散 三 、 计 算 题 (每 小 题 6分 ,共 60分 ) 评分 评分 评阅 人 1 1 、 求 极 限 . 评分 评阅 人 1 2 、 求 由 在 区 间 上 ,曲 线 与 直 线 、 所 围 图 形 绕 轴 旋 转 的 旋 转 体 的 体 积 . 评分 评阅 人 1 3 、 求 由 所 确 定 的 隐 函 数 的 偏 导 数 . 评分 评阅 人 1 4 、 求 函 数 的 极 值 . 评分 评阅 人 1 5 、 某 公 司 可 通 过 电 台 及 报 纸 两 种 方 式 做 销 售 某 商 品 的 广 告 . 根 据 统 计 资 料 ,销 售 收 入 (万 元 )与 电 台 广 告 费 用 (万 元 )的 及 报 纸 广 告 费 用 (万 元 )之 间 的 关 系 有 如 下 的 经 验 公 式 : .若 提 供 的 广 告 费 用 为 万 元 ,求 相 应 的 最 优 广 告 策 略 . 评分 评阅 人 1 6 、 计 算 二 重 积 分 ,其 中 是 由 , 及 所 围 成 的 闭 区 域 . 评分 评阅 人 1 7 、 已 知 连 续 函 数 满 足 ， 求 . 评分 评阅 人 1 8 、 求 微 分 方 程 的 通 解 . 评分 评阅 人 1 9 、 求 级 数 的 收 敛 区 间 . 评分 评阅 人 2 0 、 判 定 级 数 是 否 收 敛 ， 如 果 是 收 敛 级 数 ， 指 出 其 是 绝 对 收 敛 还 是 条 件 收敛 . 四 、 证 明 题 (每 小 题 5分 ,共 10分 ) 评分 评分 评阅 人 2 1 、 设 级 数 收 敛 ， 证 明 也 收 敛 . 评分 评阅 人 2 2 、 设 ,证 明 :. 07年 （ B） 卷 参 考 答 案 （ 可 能 会 有 错 误 大 家 一 定 要 自 己 核 对 ）一 、 填 空 题 (每 小 题 3 分 ,共 1 5 分 ) 1 、 设 ， 且 当 时 ， ， 则 。（ ）2 、 计 算 广 义 积 分 = 。 （ ） 3 、 设 ， 则 。 （ ） 4 、 微 分 方 程 具 有 形 式 的 特 解 .（ ） 5 、 级 数 的 和 为 。 （ ）二 、 选 择 题 (每 小 题 3分 ,共 15分 ) 1 、 的 值 为 （ B ）A、 0 B、 3 C、 2 D、 不 存 在 2 、 和 在 存 在 且 连 续 是 函 数 在 点 可 微 的 （ B ） A.必 要 非 充 分 的 条 件 ； B.充 分 非 必 要 的 条 件 ； C.充 分 且 必 要 的 条 件 ； D.即 非 充 分 又 非 必 要 的 条 件 。3 、 由 曲 面 和 及 柱 面 所 围 的 体 积 是 （ B ） A. ； B. ； C、 ； D. 4、 设 二 阶 常 系 数 非 齐 次 微 分 方 程 有 三 个 特 解 ， ， ， 则 其 通 解 为 （ D） A、 ； B、 ； C、 ； D、5 、 无 穷 级 数 (为 任 意 实 数 ) （ A）A、 无 法 判 断 B、 绝 对 收 敛 C、 收 敛 D、 发 散 三 、 计 算 题 (每 小 题 6分 ,共 60分 )1、 求 下 列 极 限 ： 。解 ： （ 3 分 ） （ 6 分 ）2、 求 由 在 区 间 上 ,曲 线 与 直 线 、 所 围 图 形 绕 轴 旋 转 的 旋 转 体 的 体 积 。 解 ： （ 4 分 ） （ 6 分 ）3、 求 由 所 确 定 的 隐 函 数 的 偏 导 数 。解 ： （ 一 ） 令 则 ， ， 利 用 公 式 ， 得 （ 3 分 ） （ 6 分 ） （ 二 ） 在 方 程 两 边 同 时 对 x求 导 ， 得 解 出 ， （ 3 分 ） 同 理 解 出 （ 6 分 ）4 、 求 函 数 的 极 值 。 解 ： ， 则， ， ， ，求 驻 点 ， 解 方 程 组 得 和 . （ 2 分 ） 对 有 ， ， ，于 是 ， 所 以 点 不 是 函 数 的 极 值 点 . （ 4 分 ） 对 有 ， ， ，于 是 ， 且 ， 所 以 函 数 在 点 取 得 极 小 值 , （ 6 分 ）5、 某 公 司 可 通 过 电 台 及 报 纸 两 种 方 式 做 销 售 某 商 品 的 广 告 .根 据 统 计 资 料 ,销 售 收 入 (万 元 )与 电 台 广 告 费 用 (万 元 )的 及 报 纸 广 告 费 用 (万 元 )之 间的 关 系 有 如 下 的 经 验 公 式 : .若 提 供 的 广 告 费 用 为 万 元 ,求 相 应 的 最 优 广告 策 略 . 解 ： 显 然 本 题 要 求 :在 条 件 下 ,求 的 最 大 值 .令 , （ 3 分 ） 解 方 程 组 （ 5 分 ） 得 :, 所 以 ,若 提 供 的 广 告 费 用 为 万 元 ,应 将 万 元 全 部 用 在 报 纸 广 告 费 用 是 最 优 的 广 告 策 略 . （ 6 分 ） 6 、 计 算 二 重 积 分 ,其 中 是 由 及 所 围 成 的 闭 区 域 ； 解 ： （ 4 分 ） （ 6 分 ） 7 、 已 知 连 续 函 数 满 足 ， 求 。解 ： 关 系 式 两 端 关 于 求 导 得 ： 即 （ 2 分 ）这 是 关 于 的 一 阶 线 性 微 分 方 程 ， 其 通 解 为 ： （ 5 分 ） 又 ， 即 ， 故 ， 所 以 （ 6 分 ）8、 求 微 分 方 程 的 通 解 。 解 这 是 一 个 不 明 显 含 有 未 知 函 数 的 方 程 作 变 换 令 ， 则 ， 于 是 原 方 程 降 阶 为 （ 3分 ） ， 分 离 变 量 ， 积 分 得 即 ， 从 而 （ 5分 ）再 积 分 一 次 得 原 方 程 的 通 解 y （ 6分 ） 9、 求 级 数 的 收 敛 区 间 。解 ： 令 ,幂 级 数 变 形 为 , . （ 3 分 ）当 时 ,级 数 为 收 敛 ； 当 时 ,级 数 为 发 散 .故 的 收 敛 区 间 是 , （ 5 分 ） 那 么 的 收 敛 区 间 为 . （ 6 分 ）1 0 、 判 定 级 数 是 否 收 敛 ， 如 果 是 收 敛 级 数 ， 指 出 其 是 绝 对 收 敛 还 是 条 件 收 敛 ：。 解 ： 因 为 （ 2分 ）由 比 值 判 别 法 知 收 敛 ( )， （ 4分 ）从 而 由 比 较 判 别 法 知 收 敛 ， 所 以 级 数 绝 对 收 敛 . （ 6分 ）四 、 证 明 题 (每 小 题 5分 ,共 10分 ) 1、 设 级 数 收 敛 ， 证 明 也 收 敛 。证 ： 由 于 ， （ 3 分 ） 而 ,都 收 敛 ， 故 收 敛 ， 由 比 较 原 则 知 收 敛 .。 （ 5 分 ） 2 、 设 ,证 明 :。证 明 ： 因 为 , （ 2 分 ）, , （ 4 分 ） 所 以 （ 5 分 ）
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