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1 1.4.1 在 R 2 中， z a, b ，令 z 1 |a|b|;z 2 a 2 b 2 ; z 3 max|a|, |b| ; z 4 a 4 b 4 1 2 . (1) 求证 i , i 1, 2, 3, 4 都是 R 2 上范数 ； (2) 画出 R 2 , i i 1, 2, 3, 4 各空间中的单位球面图形 ； (3) 取 O 0, 0, A 1, 0, B 0, 1 ， 试在上述四种不 同范数下求出 OAB 三边的长度 . |AB| 1 |1 0| |0 1| 2. |AB| 2 2 . |AB| 3 max|1 0|, |0 1| 1. |AB| 4 2 1 4 . 1.4.2 C0, 1 表示 0, 1 上连续且有界的函数 xt 全体 对 x C0, 1 ，令 x sup 0t1 |xt|. 求证 ： (1) 是 C0, 1 空间上的范数 ； (2) l 与 C0, 1 的一个子空间是等距同构的 解 x C0, 1, x x1, x 1 2 , , x 1 n , l 2 x sup n1 |x 1 n | x. 反之 , 1 , 2 , , n , l , 将点列 1, 1 , 1 2 , 2 , , 1 n , n , 用折线连接起来 , 得到一个函数 x t C0, 1. x sup n1 | n | . x x x x. 11 2 1 3 1 n ( ) 1 1, 2 1 , 2 1 , n n 注 折线函数在每一个折线段上的最大值由端点值决定 . a b ( ) xa ( ) xb ( ) xt t x t x a b x b a x b x a b a | x t | | x a | b x b a | x b | x a b a ma x | x a | , | x b | . 3 1.4.3 在 C 1 a, b 中令 x 1 a b |xt| 2 |x t| 2 dt 1 2 x C 1 a, b (1) 求证 1 是 C 1 a, b 上的范数 ;(2) 问 C 1 a, b, 1 是否完备 ？ 考虑 C 1 0, 1 中的函数列 : f n x x 2 1 n 2 1 x 1 可以验证 f n x 1 按范数 1 是基本列 . 但是 f n x |x| C 1 0, 1. f n x x x 2 1 n 2 , m n f m x f n x 2 2 0 1 x 2 1 m 2 x 2 1 n 2 2 x 2 1 x 2 1 m 2 1 x 2 1 n 2 2 dx I 1 I 2 I 1 2 1 n 2 1 m 2 2 0 1 1 x 2 1 m 2 x 2 1 n 2 2 dx 2 n 2 0 n . I 2 2 0 1 x 2 1 x 2 1 m 2 1 x 2 1 n 2 2 dx 2 0 1 x 2 x 2 1 n 2 x 2 1 m 2 2 x 2 1 m 2 x 2 1 n 2 dx 4 2 n 4 0 1 1 x 2 1 n 2 x 2 1 n 2 x dx 0 1 1 x 2 1 n 2 x 2 1 n 2 x dx 0 1 n 1 n 1 0 1 n 1 x 2 1 n 2 x 2 1 n 2 x dx n 3 1 n 1 1 x 2 1 n 2 x 2 1 n 2 x dx 1 n 1 dx 2 n 2 2 1 n 1 1 n n 3 n 3 I 2 2 n 0 n . 但是 f n x |x| C 1 0, 1. 1.4.4 在 C0, 1 中， 对每个 x C0, 1 令 x 1 0 1 |xt| 2 dt 1 2 ; x 2 0 1 1 t|xt| 2 dt 1 2 , 求证 1 和 2 是 C0, 1 中两个等价范数 . 证明 显然 x 1 x 2 . x 2 2 0 1 1 t|xt| 2 dt 0 1 |xt| 2 dt 0 1 t |xt| 2 dt 2 0 1 |xt| 2 dt 2x 1 2 x 2 2 x 1 . 1.4.5 设 BC0, 表示 0, 上连续且有界的函数 fx 全体 ， 对于每个 f BC0, 及 a 0, 定义 f a 0 e ax |fx| 2 dx 1 2 . (1)求证 a 是 BC0, 上的范数 (2)若 a, b 0, a b 5 求证 a , b 作为 BC0, 上的范数是不等价的 证明 不妨假设 b a 0, 显然有 f b f a , 由 此可见 ,为了证明 不等价性 , 只要证不存在 c 0, 使得 f a cf b f BC0, . 只需证 f n BC0, , 使得 f n a 2 f n b 2 . g n x def e ax ,0 x n e ax n 1 x, n x n 1 0, x n 1 f n x def g n x f a 2 0 n e ax e ax dx n, f b 2 0 e bx e ax dx 0 e bax dx 1 ba f n a 2 f n b 2 n ba . 1.4.6 设 X 1 , X 2 是两个线性赋范空间 ， 定义 X X 1 X 2 x 1 , x 2 | x 1 X 1 , x 2 X 2 称 为 X 1 与 X 2 的 Decard笛卡尔空间 . 规定线性运算如下 ： x 1 , x 2 y 1 , y 2 x 1 y 1 , x 2 y 2 6 , K, x 1 , y 1 X 1 , x 2 , y 2 X 2 ， 并赋以范数 x 1 , x 2 maxx 1 1 , x 2 2 其中 1 和 2 分别是 X 1 和 X 2 的范数 ， 求证 ： 如果 X 1 , X 2 是B 空间 ， 那末 X 也是 B空间 . 证明 设 x n 是 X 中的基本列 .则 x n x m 0 n, m x 1 n x 1 m 1 0 n, m x 2 n x 2 m 2 0 n, m 因为 X 1 是 B 空间 ,所以 x 1 X 1 使得 x 1 n x 1 ; 又因为 X 2 是 B 空间所以 x 2 X 2 使得 x 2 n x 2 . x def x 1 , x 2 . 下证 x n x. 事实上 , 0, N 使得 x n x m 2 n, m N x 1 n x 1 m 1 2 n, m N x 2 n x 2 m 2 2 n, m N m x 1 n x 1 1 2 n N x 2 n x 2 2 2 n N x n x max x 1 n x 1 1 , x 2 n x 2 2 2 n N. 1.4.7 设 X 是 B 空间 ,求证 ： X 是 B 空间 ， 必须且仅须 对 7 x n X, n1 x n n1 x n 收敛 . 证 由 m mp x n m mp x n 显然 . 设 x n 是基本列 , 由 1.2.2 只要 x n 存在一 串收敛子列 . 事实上 , 对 k , 取 k 1 2 k , 因为 x n 是基本列 , 所以 N k , 使得 n, m N k , 有 x n x m 1 2 k , 于是 n k , n k1 n k N k , 使得 x n k x n k1 1 2 k , 取 y k x n k k 1, 2, . 改写 y k y 1 i1 k y i1 y i , 因为 i1 y i1 y i i1 1 2 k 1, 由 假设 , i1 y i1 y i 收敛 . 即 y k 收敛 , 也就是 x n k 收敛 . 即 x n 存在一串收敛子列 . 1.4.9 在 2 中,对 x x 1 , x 2 2 , 定义范数 x max |x 1 |, |x 2 |, 并设 x 0 0, 1, e 1 1, 0. 求 a 1 适合 x 0 ae 1 min 1 x 0 e 1 , 8 并问这样的 a 是否唯一 ? 请对结果作出几何解释 解 x 0 ae 1 a,1 max|a|,1 |a| |a| 1 1 |a| 1 -2 . 0 -1 . 5 -1 . 0 -0 . 5 0. 0 0. 5 1. 0 1. 5 2. 0 0. 5 1 .0 1 .5 2 .0 a mi n a 1 x 0 ae 1 1, 最佳逼近元 ae 1 | a | 1 , 不唯一 . 2 , 非严格凸 , 如图所示 , x y xy 2 1. x y 2 xy + 1 . 4 . 1 1 设 X 是线性赋范空间 ， 函数 : x 1 称为 凸的 ， 如果不等式 x 1 x x 1 x 成立 . 求证凸函数的局部极小值必然是全空间最小值 证明 用反证法 . 设 x 0 是局部极小点 , 则 x 1 U x 0 x 1 x 0 . 如果 x 2 X 9 使得 x 2 x 0 , 那么 ( ) ( ) ( ) ( ) ()()() () 10 2 000 xx1x x1 x x, + = = 于是 f 0 |f 0 |., 即 |Tf| |f 0 |.
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