南通大学线性代数练习册答案.pdf

线 性 代 数 练 习 册 详 解 答 案 （ 南 通 大 学 ） 第 一 章 行 列 式 习 题 答 案 二 、 三 阶 行 列 式 及 阶 行 列 式 的 定 义 部 分 习 题 答 案 1.计 算 下 列 二 阶 行 列 式 （ 1） ； （ 2） ； （ 3） （ 4） 2.计 算 下 列 三 阶 行 列 式 （ 1） ； (2) （ 3） 3.按 自 然 数 从 小 到 大 为 标 准 次 序 ， 求 下 列 各 排 列 的 逆 序 数 ： （ 1） ； （ 2） . （ 3） 当 为 偶 数 时 ， ， 排 列 为 其 中 为 的 逆 序 数 ； 为 与 它 前 面 数 构 成 的 逆 序 数 ； 为 与 它 们 前 面 数 构 成 的 逆 序 数 的 和 ； 为 ， 与 它 们 前 面 数 构 成 的 逆 序 数 的 和 . 当 为 奇 数 时 ， ， 排 列 为 其 中 为 的 逆 序 数 ； 为 与 它 们 前 面 数 构 成 的 逆 序 数 的 和 ； 为 与 它 们 前 面 数 构 成 的 逆 序 数 的 和 . 4.确 定 ， 使 6元 排 列 为 奇 排 列 . 解 ： ， 为 奇 排 列 . 5.写 出 4阶 行 列 式 中 含 有 的 项 . 解 ： ； 6.按 定 义 计 算 下 列 行 列 式 ： （ 1） （ 2） 7. 求 的 展 开 式 中 和 的 系 数 . 的 系 数 为 ； 含 的 项 只 有 ， 所 以 的 系 数 为 行 列 式 的 性 质 与 展 开 部 分 习 题 答 案 1.计 算 下 列 行 列 式 ： （ 1） ； 解 ： (2) ； 解 ： （ 3） （ 4） . （ 5） . 2.证 明 ： （ 1） ； 证 明 ： 将 的 各 列 都 加 到 最 后 一 列 再 提 出 公 因 式 有 （ 2） . 证 明 ： 左 式 类 似 有 , 所 以 3.计 算 阶 行 列 式 （ 1） =； 各 行 加 到 第 一 行 后 提 取 公 因 式 有 ： （ 2） . 4.利 用 范 德 猛 行 列 式 计 算 ： . 克 拉 默 法 则 部 分 习 题 答 案 1.用 克 拉 默 法 则 解 线 性 方 程 组 （ 1） ； 解 ： ， ， （ 2） . 解 ： , , 2.当 为 何 值 时 ， 齐 次 线 性 方 程 组 (1) 仅 有 零 解 ； (2) 有 非 零 解 解 ： ， （ 1） 且 时 ， 该 齐 次 线 性 方 程 组 只 有 零 解 。 （ 2 ） 要 使 该 齐 次 线 性 方 程 组 有 非 零 解 ， 则 或 时 。 经 验 证 ， 时 方 程 组 有 非 零 解 ， 就 是 一 组 非 零 解 . 时 方 程 组 有 非 零 解 ， 就 是 一 组 非 零 解 . 第 一 章 自 测 题 与 答 案 第 一 章 自 测 题 一 .判 断 题 （ 每 题 3分 ， 共 15分 ） 1. ( 错 ) 2.在 四 阶 行 列 式 中 ， 的 余 子 式 与 代 数 余 子 式 互 为 相 反 数 . ( 对 ) 3.则 .（ 错 ） 4.,则 . （ 错 ） 5. . （ 对 ） 二 .填 空 题 （ 每 题 4分 ， 共 16分 ） 1.已 知 ， 则 2.已 知 ， 则 3. 由 行 列 式 确 定 的 多 项 式 中 的 系 数 分 别 为 8,-6 含 的 项 为 4. 三 .计 算 下 列 行 列 式 （ 各 10分 ， 共 40分 ） 1.； 解 2.； 解 ： 3.； 解 ： 按 第 一 行 展 开 后 再 按 最 后 一 行 展 开 ， 有 即 有 ， 所 以 4. . 解 ： 四 （ 10分 ） 设 为 阶 行 列 式 ， ,（ 为 非 零 数 ） , 1.讨 论 的 关 系 ； 2. 讨 论 的 关 系 . 解 ： 五 .（ 10分 ） ,求 . 解 ： 六 .（ 7分 ） 设 齐 次 线 性 方 程 组 为 用 克 拉 默 法 则 解 讨 论 应 取 何 值 时 ， 方 程 组 (1) 仅 有 零 解 ； (2) 有 非 零 解 解 ： 当 时 ， 方 程 组 只 有 零 解 ； 要 使 方 程 组 有 非 零 解 ， 必 有 或 . 当 时 ， 方 程 组 有 非 零 解 .事 实 上 ， 就 是 一 组 非 零 解 . 当 时 ， 方 程 组 有 非 零 解 .事 实 上 ， 就 是 一 组 非 零 解 . 第 二 章 矩 阵 及 其 运 算 习 题 答 案 矩 阵 的 运 算 部 分 习 题 答 案 1. 已 知 ， 且 ,求 . 解 ： 2.计 算 （ 1） ,求 ， ,及 . 解 ： ； ， 利 用 结 合 律 ： （ 2） . 解 ： 原 式 （ 3） ， 求 . 解 ： ,其 中 由 于 矩 阵 的 乘 法 没 有 交 换 律 ， 一 般 来 讲 二 项 式 定 理 不 成 立 ， 但 是 由 于 ， 所 以 而 ， 所 以 时 ， 时 ， （ 4） 解 ： 假 设 由 数 学 归 纳 法 知 3. , ,求 及 . 解 ： ， 4.， ,， 求 及 解 ： ； 5.已 知 三 个 线 性 替 换 为 ： ， ， 求 从 到 的 线 性 替 换 . 解 ： ； ； 所 以 6.如 果 ,则 称 矩 阵 与 可 交 换 ,求 与 可 交 换 的 矩 阵 具 有 的 形 式 . 其 中 当 时 . 解 ： 设 ， 则 利 用 同 型 矩 阵 相 等 当 且 仅 当 对 应 位 置 元 素 相 等 有 ， 由 于 时 所 以 时 ， 故 即 与 主 对 角 线 上 元 素 互 不 相 同 的 对 角 矩 阵 可 交 换 的 矩 阵 必 为 对 角 矩 阵 . 7.如 果 ,证 明 :当 且 仅 当 . 证 明 ： ， 所 以 当 且 仅 当 当 且 仅 当 ， 当 且 仅 当 . 8.设 都 是 阶 对 称 矩 阵 ， 证 明 ： 仍 是 对 称 矩 阵 当 且 仅 当 . 证 明 ： 由 已 知 ， 所 以 而 是 对 称 矩 阵 当 且 仅 当 ， 所 以 是 对 称 矩 阵 当 且 仅 当 . 9.设 维 列 向 量 满 足 ， , 证 明 ： 1） 是 对 称 矩 阵 ； 2） . 证 明 ： 1） 所 以 是 对 称 矩 阵 . 2） 10. 已 知 是 3阶 方 阵 ,且 ,计 算 (1)； (2) ； (3). 解 ： (1)； (2) （ 3） 可 逆 矩 阵 部 分 习 题 答 案 1.求 下 列 矩 阵 的 逆 矩 阵 ： （ 1） ； 解 ： （ 2） ； 解 ： (3)； 解 ： (4). 解 ： 2.设 ,求 矩 阵 使 得 . 解 ： 3.设 满 足 ,其 中 ,求 . 解 ： 两 端 右 乘 得 ， 所 以 即 有 4.设 是 阶 方 阵 ,且 满 足 , 利 用 定 义 证 明 :可 逆 ， 并 求 . 证 明 ： 由 于 ， 所 以 ， 故 所 以 ， 所 以 可 逆 ， 且 5. 设 是 阶 方 阵 ,且 （ 为 正 整 数 ） ， 利 用 定 义 证 明 ： 可 逆 ， 且 证 明 ： 由 于 ,所 以 可 逆 ， 且 6. 设 是 3阶 方 阵 ， 且 ,求 (1) ； （ 2） ； （ 3） . 解 ： （ 1） ； （ 2） 由 于 ， 所 以 （ 3） 由 于 ， 所 以 分 块 矩 阵 及 其 运 算 部 分 习 题 解 答 1.将 ,进 行 适 当 分 块 ， 并 计 算 . 解 ： 令 其 中 , (分 块 方 法 不 唯 一 ) 2. ,都 是 阶 方 阵 ， 其 中 为 矩 阵 ， 为 零 矩 阵 ， 为 矩 阵 ， 为 矩 阵 ， 求 ,及 . 解 ： ； , 3.设 阶 矩 阵 和 阶 矩 阵 都 可 逆 ， 求 （ 1） ； （ 2） . 解 ： （ 1） 因 为 , 所 以 ； （ 2） 因 为 所 以 4. 利 用 分 块 矩 阵 求 下 列 矩 阵 的 逆 矩 阵 （ 1） ， 求 ； （ 2） ， 求 . 解 ： (1),由 于 ， 所 以 都 可 逆 ， 且 ， 所 以 . （ 2） ,由 于 ， 所 以 都 可 逆 ， 且 ， 所 以 . 第 二 章 自 测 题 与 答 案 一 判 断 题 （ 每 题 3分 ， 共 15分 ） 1.是 阶 方 阵 ， 如 果 ,且 , 则 ； （ 错 ） 2. 是 阶 方 阵 ,则 ； （ 错 ） 3.是 阶 方 阵 ,且 可 逆 ， ， 则 ； （ 错 ） 4. 都 是 阶 方 阵 ， 则 ； （ 错 ） 5.都 是 阶 方 阵 ， 满 足 ,且 可 逆 ， 则 . （ 对 ） 二 .填 空 题 （ 每 题 4分 ， 共 20分 ） 1.=（ 1， 1， 2） ,则 ， = , =； 2.已 知 ， ， 且 , 则 =. 3.， ， 则 ； 4.设 ,则 ； 5.是 3阶 方 阵 ,是 2阶 方 阵 ,且 ,， 则 ； 三 .矩 阵 计 算 （ 10分 ） ： 设 ， ,求 （ 1） ， （ 2） ； （ 3） . 解 ： （ 1） ； 四 .(10分 )已 知 ， 都 是 3阶 方 阵 ,且 ， ,求 及 . 解 ： ， 所 以 ， 即 所 以 ： . 五 .如 果 ,则 称 矩 阵 与 可 交 换 ,求 与 矩 阵 可 交 换 的 矩 阵 具 有 的 形 式 .（ 10 分 ） ； 解 ： , 则 的 充 分 必 要 条 件 是 ， 设 由 有 所 以 ， 即 （ 其 中 为 任 意 数 .（ 书 上 答 案 有 错 ） ） 六 . 求 矩 阵 的 伴 随 矩 阵 和 逆 矩 阵 （ 10分 ） . ,所 以 七 .（ 8分 ） 设 其 中 ， 求 . 解 ： 两 边 右 乘 有 所 以 , 八 .（ 7分 ） 设 是 阶 方 阵 ,且 满 足 , 利 用 定 义 证 明 :可 逆 ， 并 求 . 解 ： 由 于 ， 所 以 所 以 ， 所 以 可 逆 ， 并 且 . 九 .（ 10分 ） 设 实 矩 阵 ,满 足 ,证 明 . *试 将 结 论 推 广 到 是 阶 方 阵 的 情 况 . 证 明 ： ， 则 由 于 ， 所 以 的 所 有 元 素 都 为 0， 即 有 又 是 实 矩 阵 ， 所 以 ， 即 . 推 广 结 论 ： 如 果 阶 实 方 阵 满 足 ,则 . 第 三 章 矩 阵 的 初 等 变 换 与 线 性 方 程 组 初 等 变 换 与 初 等 矩 阵 部 分 习 题 答 案 1.先 用 初 等 行 变 换 化 下 列 矩 阵 为 行 最 简 形 ， 再 用 初 等 列 变 换 将 其 化 为 等 价 标 准 形 （ 1） ； 解 ： 行 最 简 形 为 又 所 以 等 价 标 准 形 为 （ 2） ； 行 最 简 形 为 ； ， 所 以 等 价 标 准 形 为 . (3)； 解 ： 行 最 简 形 和 等 价 标 准 形 都 是 （ 4） . 解 ： 行 最 简 形 为 ： 等 价 标 准 形 为 ： 2. , 求 : (1)； (2) . 解 ： 由 于 ,所 以 左 乘 相 当 于 交 换 的 1 ,2 两 行 ， 右 乘 相 当 于 的 第 一 列 乘 2 加 到 第 二 列 ， 所 以 右 乘 相 当 于 交 换 的 1 ,2 两 列 ， 左 乘 相 当 于 的 第 三 列 各 元 素 乘 以 2 ， 所 以 3.用 初 等 行 变 换 求 下 列 矩 阵 的 逆 矩 阵 . （ 1） ； 解 ： 所 以 （ 2） 解 ： 所 以 4. 设 ， 且 ， 求 解 ： ,因 为 所 以 可 逆 ， 所 以 所 以 矩 阵 的 秩 部 分 知 识 习 题 解 答 1. 求 下 列 矩 阵 的 秩 . （ 1） ； 解 ： 所 以 . （ 2） . 解 ： 所 以 2. 已 知 ， 讨 论 为 何 值 时 （ 1） ;(2) ;(3). 解 ： （ 1） 当 时 ， ， （ 2） 当 时 ， ， （ 3） 当 且 ， 时 ， ， 所 以 . 3. ， 讨 论 取 何 值 时 ， 可 使 (1); (2). 解 ： 所 以 ： 当 ， 即 或 时 ， 当 ， 即 且 时 ， . 4.设 是 矩 阵 ， 证 明 ： . 证 明 ： 设 ， 则 对 进 行 初 等 变 换 可 化 为 等 价 标 准 形 对 进 行 初 等 变 换 可 化 为 等 价 标 准 形 ， 对 的 前 行 和 前 列 进 行 与 化 为 时 相 同 的 初 等 变 换 ， 则 化 为 ,再 对 的 后 行 和 后 列 进 行 与 化 为 时 相 同 的 初 等 变 换 ， 则 化 为 ， 所 以 上 面 过 程 用 矩 阵 乘 积 形 式 写 出 即 为 ： 设 ， 则 存 在 阶 可 逆 矩 阵 及 阶 可 逆 矩 阵 ， 使 得 令 则 由 于 ， 可 逆 ， 所 以 都 可 逆 ， 所 以 即 . 5.设 是 矩 阵 ， 证 明 ： 当 且 仅 当 存 在 维 非 零 列 向 量 和 维 非 零 行 向 量 ,使 得 .（ 提 示 ： 使 用 的 等 价 标 准 形 ） 证 明 ： 如 果 ， 则 存 在 阶 可 逆 矩 阵 及 阶 可 逆 矩 阵 ， 使 得 令 则 是 维 非 零 列 向 量 ， 为 维 非 零 行 向 量 ， 且 . 如 果 存 在 维 非 零 列 向 量 和 维 非 零 行 向 量 ,使 得 ， 设 ， ， 则 由 于 为 维 非 零 列 向 量 ， 为 维 非 零 行 向 量 ， 所 以 存 在 某 个 ， 所 以 又 ,所 以 . 线 性 方 程 组 的 解 部 分 习 题 解 答 1.用 初 等 行 变 换 求 解 下 列 线 性 方 程 组 （ 1） ； 解 ： 方 程 组 无 解 . （ 2） ； 解 ： 所 以 ， （ 是 自 由 未 知 量 ） 即 ， 所 以 ， （ 为 任 意 数 ） （ 3） ； 解 ： ， 方 程 组 有 唯 一 解 ： （ 4） . 解 ： 方 程 组 有 唯 一 解 ： 2.用 初 等 行 变 换 求 解 下 列 齐 次 线 性 方 程 组 （ 1） ； 解 ： 方 程 组 有 非 零 解 .且 （ 是 自 由 未 知 量 ） 通 解 ： ， 其 中 为 任 意 常 数 . （ 2） 解 ： 所 以 （ 是 自 由 未 知 量 ） 通 解 ： ， 其 中 为 任 意 常 数 . 3.讨 论 取 何 值 时 ， 下 面 线 性 方 程 组 ： （ 1） 有 惟 一 解 ； （ 2） 没 有 解 ； （ 3） 有 无 穷 多 个 解 ？ 并 在 有 解 时 求 解 . 解 ： ， 所 以 且 方 程 组 有 唯 一 解 当 时 ， 方 程 组 有 无 穷 多 解 . 此 时 （ 是 自 由 未 知 量 ） 通 解 ， 其 中 为 任 意 常 数 . 当 时 ， 方 程 组 无 解 . 第 三 章 自 测 题 答 案 一 .判 断 题 （ 每 题 3分 ， 共 15分 ） 1.方 程 个 数 小 于 未 知 量 个 数 的 齐 次 线 性 方 程 组 必 有 非 零 解 . （ 对 ） 2.在 秩 为 的 矩 阵 中 ， 所 有 阶 子 式 都 不 为 零 . （ 错 ） 3.设 是 矩 阵 ， 是 阶 方 阵 ， 是 阶 方 阵 ， . （ 错 ） 4.是 矩 阵 ， 且 ， 则 非 齐 次 线 性 方 程 组 有 无 穷 多 解 . （ 错 ） 5.是 矩 阵 ， 线 性 方 程 组 满 足 ， 用 初 等 行 变 换 将 化 为 行 阶 梯 形 矩 阵 ， 则 的 最 后 一 列 对 应 的 元 素 为 方 程 组 的 解 . （ 错 ） 二 .填 空 题 （ 每 题 4分 ， 共 20分 ） ： 1.的 行 最 简 形 矩 阵 为 2.,则 ； 3.设 是 阶 方 阵 ， ,是 的 伴 随 矩 阵 ， 则 4. 矩 阵 的 乘 积 5.分 别 为 矩 阵 ， ， ， ,则 与 的 关 系 为 ， 与 的 关 系 为 . 三 .求 下 列 矩 阵 的 秩 （ 第 一 题 5分 ， 第 二 题 10分 ， 共 15分 ） 1.； 解 ： 2. 解 ： 所 以 ： 当 且 时 ， ； 当 时 ， ， ； 当 时 ， ， . 四 .用 初 等 行 变 换 求 解 下 列 线 性 方 程 组 （ 每 题 10分 ， 共 20分 ） 1.； 解 ： 所 以 ， 通 解 为 ： ， 其 中 为 任 意 常 数 . 2. 解 ： ， 所 以 方 程 组 只 有 零 解 . 五 . (10分 )讨 论 取 何 值 时 ,下 面 线 性 方 程 组 有 解 , 并 在 有 解 的 情 况 下 求 其 通 解 . . 时 ， 方 程 无 解 时 ， 方 程 有 无 穷 多 解 ， 此 时 ， ， 方 程 组 的 通 解 为 为 任 意 数 ） 时 ， 方 程 有 唯 一 解 ， 此 时 ； 六 （ 10分 ） 设 ， 且 ， 求 . 解 ： 方 程 两 端 同 时 右 乘 ， 得 ,即 由 于 可 逆 ， 所 以 所 以 七 .（ 10分 ） 设 是 秩 为 1的 3阶 方 阵 ， 证 明 :存 在 不 全 为 零 的 数 和 不 全 为 零 的 数 ， 使 得 ； 并 求 解 ： ， 则 存 在 3阶 可 逆 矩 阵 和 ， 使 得 令 ， 则 第 四 章 向 量 组 的 线 性 相 关 性 向 量 组 及 其 线 性 关 系 部 分 习 题 答 案 1.设 ， 求 向 量 ， 使 得 . 解 ： 2.设 ,问 ： 是 否 能 由 线 性 表 示 ？ 如 能 表 示 ， 判 断 表 示 的 方 法 是 否 唯 一 ？ 解 ： 设 则 增 广 矩 阵 为 对 进 行 初 等 行 变 换 有 所 以 方 程 组 有 唯 一 解 ， 即 能 由 线 性 表 示 ， 且 表 示 方 法 唯 一 ， 即 3 .设 可 由 唯 一 的 线 性 表 示 ， 求 满 足 的 条 件 . 解 ： 设 ,方 程 组 的 系 数 矩 阵 为 3阶 方 阵 ， 所 以 有 唯 一 解 得 充 分 必 要 条 件 是 , 充 分 必 要 条 件 是 ,即 而 ， 所 以 当 且 时 能 由 唯 一 线 性 表 示 . 4 设 是 一 组 维 向 量 ， ， 证 明 向 量 组 与 向 量 组 等 价 . 解 ： 由 已 知 ， 所 以 向 量 组 可 由 向 量 组 线 性 表 示 ， 又 已 知 条 件 给 出 可 由 线 性 表 示 ， 所 以 两 向 量 组 等 价 . 5 .设 ， 讨 论 ： （ 1） 为 何 值 时 ， 不 能 由 线 性 表 示 ？ （ 2） 为 何 值 时 ， 能 由 唯 一 的 线 性 表 示 ？ （ 3） 为 何 值 时 ， 能 由 线 性 表 示 ， 但 表 示 方 法 不 唯 一 ？ 解 ： 设 （ 1） 时 ， 方 程 无 解 ， 不 能 由 线 性 表 示 . （ 2） 时 ， 方 程 有 唯 一 解 ， 此 时 能 由 唯 一 的 线 性 表 示 ； （ 3） 时 ， 方 程 有 无 穷 多 解 ， 此 时 ， 能 由 线 性 表 示 ， 但 表 示 方 法 不 唯 一 . 6.判 断 下 列 向 量 组 是 线 性 相 关 还 是 线 性 无 关 ？ （ 1） ； 解 ： 设 则 所 以 方 程 组 只 有 零 解 ： ， 所 以 线 性 无 关 . （ 2） . 设 则 所 以 （ 为 自 由 未 知 量 ） ， 所 以 方 程 组 有 非 零 解 ， 线 性 相 关 . 7. 是 一 组 维 向 量 ， ， 证 明 ： 如 果 线 性 无 关 ， 则 也 线 性 无 关 . 证 明 ： 设 则 即 由 于 线 性 无 关 ， 所 以 ， 即 有 所 以 也 线 性 无 关 . *8. 设 线 性 无 关 ， 且 ， 讨 论 为 何 值 时 线 性 无 关 ， 为 何 值 时 线 性 相 关 . 解 ： 设 ， 则 即 有 由 于 线 性 无 关 ， 所 以 ， 该 齐 次 线 性 方 程 组 的 系 数 矩 阵 为 ， 当 时 ， 方 程 组 只 有 零 解 ， 此 时 线 性 无 关 ； 当 时 ， 方 程 组 有 非 零 解 ， 此 时 线 性 无 关 . 向 量 组 的 秩 与 极 大 线 性 无 关 组 部 分 习 题 答 案 1.求 下 面 向 量 组 的 秩 和 一 个 极 大 线 性 无 关 组 ， 并 用 其 线 性 表 示 向 量 组 中 其 余 向 量 . . 解 ： 所 以 为 该 向 量 组 的 一 个 极 大 线 性 无 关 组 ， 且 . 2.求 下 列 矩 阵 的 秩 和 列 向 量 组 的 极 大 线 性 无 关 组 ， 并 用 其 表 示 向 量 组 中 其 余 向 量 . （ 1） ； 解 ： 设 ， 所 以 为 向 量 组 的 一 个 极 大 线 性 无 关 组 ， 且 . (2) . 解 ： 设 ， 所 以 为 向 量 组 的 一 个 极 大 线 性 无 关 组 ， 且 ， ， . 3.确 定 ， 使 矩 阵 的 秩 为 2， 然 后 求 此 时 的 列 向 量 组 的 一 个 极 大 线 性 无 关 组 . 并 用 所 的 求 极 大 线 性 无 关 组 表 示 其 余 列 向 量 . 解 ： 令. 所 以 时 矩 阵 的 秩 为 2.此 时 ， ，是 列 向 量 组 的 一 个 极 大 线 性 无 关 组 ； 且 . 4. 证 明 ： 向 量 组 与 等 价 的 充 分 必 要 条 件 是 向 量 组 与 秩 相 同 . 证 明 ： 如 果 向 量 组 与 等 价 ， 等 价 的 向 量 组 秩 相 同 ， 所 以 向 量 组 与 秩 相 同 . 反 之 ， 如 果 向 量 组 与 秩 相 同 ， 设 两 个 向 量 组 的 秩 都 为 ， 不 妨 设 是 的 一 个 极 大 线 性 无 关 组 ， 则 是 中 个 线 性 无 关 向 量 ， 又 得 秩 也 为 ， 所 以 中 任 意 个 向 量 都 线 性 相 关 ， 所 以 也 是 的 一 个 极 大 线 性 无 关 组 .所 以 向 量 组 与 向 量 组 都 与 其 极 大 线 性 无 关 组 等 价 ， 由 等 价 的 对 称 性 和 传 递 性 知 ： 向 量 组 与 向 量 组 等 价 . 5.证 明 ： （ 1） 线 性 无 关 ， 如 果 不 能 由 线 性 表 示 ， 则 也 线 性 无 关 ； （ 2） 向 量 组 的 秩 为 ， 则 中 任 何 个 线 性 无 关 向 量 都 是 该 向 量 组 的 一 个 极 大 线 性 无 关 组 . 证 明 ： （ 1） 设 ， 如 果 上 式 中 ， 则 ， 与 不 能 由 线 性 表 示 矛 盾 ， 所 以 上 式 中 .将 代 入 ， 则 有 ， 由 于 线 性 无 关 ， 所 以 ， 因 此 齐 次 线 性 方 程 组 只 有 零 解 ， 即 线 性 无 关 . （ 2） 任 取 中 任 何 个 线 性 无 关 向 量 ， 如 果 不 是 的 极 大 线 性 无 关 组 ， 则 存 在 中 向 量 ， 使 得 不 能 由 线 性 表 示 ， 由 （ 1） 知 线 性 无 关 ， 与 向 量 组 的 秩 为 矛 盾 ， 所 以 中 任 何 个 线 性 无 关 向 量 都 是 该 向 量 组 的 一 个 极 大 线 性 无 关 组 . 线 性 方 程 组 解 的 结 构 部 分 习 题 答 案 1 求 下 列 齐 次 线 性 方 程 组 的 基 础 解 系 和 通 解 . （ 1） ； 解 ： 所 以 ， 基 础 解 系 为 ， 通 解 为 （ 为 任 意 数 ） . (2). 解 ： 所 以 ， 所 以 通 解 为 ， 其 中 为 任 意 常 数 . 基 础 解 系 为 . 2. 解 下 列 线 性 方 程 组 ， 用 导 出 组 的 基 础 解 系 表 出 线 性 方 程 组 的 通 解 . （ 1） ； 解 ： ， 所 以 ， 通 解 （ 其 中 为 任 意 常 数 .） （ 2） . 解 ： 所 以 ， 通 解 ， 其 中 为 任 意 常 数 . 3.设 都 是 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 解 向 量 ， 是 个 数 ， 证 明 ： （ 1） 是 的 解 的 充 分 必 要 条 件 是 ； （ 2） 是 的 导 出 组 的 解 的 充 分 必 要 条 件 是 . 证 明 ： 都 是 的 解 向 量 ， 所 以 ， （ 1） 是 的 解 当 且 仅 当 ， 而 是 非 零 向 量 ， 所 以 当 且 仅 当 ； （ 2） 是 的 解 当 且 仅 当 ， 而 是 非 零 向 量 ， 所 以 当 且 仅 当 . 4.设 是 矩 阵 ， 且 ， 已 知 是 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 解 向 量 ， 且 ， 求 的 通 解 . 解 ： 是 矩 阵 ， 且 ， 所 以 导 出 组 的 基 础 解 系 含 1个 向 量 ， 由 于 是 导 出 组 的 一 个 非 零 解 ， 所 以 是 的 一 个 基 础 解 系 .可 以 取 的 一 个 特 解 为 ， 所 以 的 通 解 为 ： （ 其 中 为 任 意 常 数 .） . *5. 设 为 矩 阵 ， 为 矩 阵 ， 且 .证 明 ： . 证 明 ： 设 ， 其 中 都 是 的 列 向 量 ， 则 由 分 块 矩 阵 乘 法 有 ， 又 ， 即 ， 所 以 即 的 每 个 列 向 量 都 是 齐 次 线 性 方 程 组 的 解 向 量 ， 所 以 可 由 的 基 础 解 系 线 性 表 示 ， 而 的 基 础 解 系 含 个 向 量 所 以 向 量 组 的 秩 不 超 过 ， 即 . 向 量 空 间 部 分 习 题 答 案 1.证 明 ： 构 成 向 量 空 间 的 充 分 必 要 条 件 是 . 证 明 ： 显 然 是 非 空 集 合 ， 构 成 向 量 空 间 的 充 分 必 要 条 件 是 任 意 ， 都 有 ， 且 任 意 都 有 . 而 ， ， 当 且 仅 当 而 所 以 构 成 向 量 空 间 的 充 分 必 要 条 件 是 ， 即 有 构 成 向 量 空 间 的 充 分 必 要 条 件 是 . 2.求 的 基 到 ， ， 的 过 渡 矩 阵 . 解 ： 设 所 求 过 渡 矩 阵 为 ， 则 第 四 章 自 测 题 与 答 案 一 .判 断 题 （ 每 题 3分 ， 共 15分 ） 1.向 量 组 线 性 相 关 ， 则 其 中 任 何 一 个 向 量 都 可 以 由 其 余 向 量 线 性 表 示 . （ 错 ） 2.有 零 解 ， 所 以 线 性 无 关 . （ 错 ） 3.如 果 可 以 由 线 性 表 示 ， 则 可 以 由 线 性 表 示 . （ 对 ） 4.方 程 组 有 解 的 时 ,解 是 唯 一 的 充 要 条 件 是 它 的 导 出 组 只 有 零 解 .（ 对 ） 5.等 价 的 向 量 组 含 向 量 个 数 相 同 . （ 错 ） 二 .填 空 题 （ 每 题 4分 ， 共 16分 ） 1.线 性 相 关 ， 则 = 或 ； 2.， 且 ， 则 ； 3.， 可 由 线 性 表 示 ， 则 与 的 关 系 为 ； 4 . 是 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 两 个 线 性 无 关 解 ， 则 也 是 的 解 的 充 分 必 要 条 件 为 . 三 .（ 10分 ） 设 ， ， 讨 论 （ 1） 为 何 值 时 ， 不 能 由 线 性 表 示 ？ （ 2） 为 何 值 时 ， 能 由 唯 一 的 线 性 表 示 ？ （ 3） 为 何 值 时 ， 能 由 线 性 表 示 ， 但 表 示 方 法 不 唯 一 ？ 解 ： 设 则 （ 1） 时 ， ， 方 程 组 无 解 ， 所 以 不 能 由 线 性 表 示 ； （ 2） ， 且 时 ， ,方 程 组 有 唯 一 解 ， 所 以 能 由 唯 一 线 性 表 示 ； （ 3） 当 时 ， ,方 程 组 有 无 穷 多 解 ， 所 以 能 由 线 性 表 示 ， 且 表 示 方 法 不 唯 一 . 四 （ 10分 ） 求 向 量 组 ， 的 极 大 无 关 组 和 秩 ， 并 用 极 大 无 关 组 表 示 向 量 组 中 其 余 向 量 . 解 ： 为 一 个 极 大 线 性 无 关 组 ； 秩 为 3且 五 .（ 10分 ） 求 齐 次 线 性 方 程 组 的 基 础 解 系 和 通 解 . 解 ： 所 以 ， 基 础 解 系 ； 通 解 （ 为 任 意 数 ） . 六 （ 10分 ） 设 矩 阵 的 秩 ， 是 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 个 线 性 无 关 的 解 向 量 ， （ 1） 证 明 线 性 无 关 ； （ 2） 求 导 出 组 的 基 础 解 系 ， 及 的 通 解 . 证 明 ： 设 ， 则 由 于 线 性 无 关 ， 有 ， 所 以 线 性 无 关 . （ 2） 由 于 ， 所 以 是 的 个 线 性 无 关 解 ， 所 以 为 的 基 础 解 系 ； 为 的 通 解 . 七 .（ 10分 ） 设 向 量 可 由 向 量 组 线 性 表 示 ， 证 明 ： 线 性 无 关 的 充 分 必 要 条 件 是 由 线 性 表 示 的 表 示 方 法 唯 一 . 证 明 ： 向 量 可 由 向 量 组 线 性 表 示 ， 则 存 在 数 ， 使 得 必 要 性 ： 设 还 存 在 数 使 得 ， 则 由 于 线 性 无 关 ， 所 以 即 ， 所 以 由 线 性 表 示 的 表 示 方 法 唯 一 . 充 分 性 ： 设 ， 则 ， 由 于 由 线 性 表 示 的 表 示 方 法 唯 一 ， 所 以 ， 所 以 ， 即 有 线 性 无 关 . 八 . （ 10分 ） 讨 论 取 何 值 时 ， 线 性 方 程 组 ； （ 1） 无 解 ； （ 2） 有 唯 一 解 ； （ 3） 有 无 穷 多 解 ， 并 求 方 程 组 的 通 解 . 解 ： （ 1） 时 方 程 组 无 解 ； （ 2） 所 以 时 方 程 组 有 唯 一 解 ； （ 3） 时 , ， 方 程 组 有 无 穷 多 解 ， 通 解 为 （ 为 任 意 数 ） 九 （ 9 分 ） 设 的 列 向 量 组 是 齐 次 线 性 方 程 组 的 基 础 解 系 ， 证 明 ： 任 意 阶 可 逆 矩 阵 ， 的 列 向 量 组 也 是 的 基 础 解 系 . 证 明 ： 令 ， 则 有 ,即 可 由 线 性 表 示 ， 所 以 都 是 的 解 向 量 ， 又 可 逆 ， 知 ， 所 以 也 由 线 性 表 示 ， 向 量 组 与 等 价 . 是 齐 次 线 性 方 程 组 的 基 础 解 系 ， 所 以 线 性 无 关 ， 而 与 等 价 ， 两 向 量 组 秩 相 同 ， 都 为 与 ， 所 以 为 的 个 线 性 无 关 解 ， 而 含 向 量 的 个 数 与 基 础 解 系 含 向 量 个 数 相 同 ， 所 以 也 是 齐 次 线 性 方 程 组 的 基 础 解 系 ， 即 的 列 向 量 组 也 是 的 基 础 解 系 . 第 四 章 自 测 题 与 答 案 一 .判 断 题 （ 每 题 3分 ， 共 15分 ） 1.向 量 组 线 性 相 关 ， 则 其 中 任 何 一 个 向 量 都 可 以 由 其 余 向 量 线 性 表 示 . （ 错 ） 2.有 零 解 ， 所 以 线 性 无 关 . （ 错 ） 3.如 果 可 以 由 线 性 表 示 ， 则 可 以 由 线 性 表 示 . （ 对 ） 4.方 程 组 有 解 的 时 ,解 是 唯 一 的 充 要 条 件 是 它 的 导 出 组 只 有 零 解 .（ 对 ） 5.等 价 的 向 量 组 含 向 量 个 数 相 同 . （ 错 ） 二 .填 空 题 （ 每 题 4分 ， 共 16分 ） 1.线 性 相 关 ， 则 = 或 ； 2.， 且 ， 则 ； 3.， 可 由 线 性 表 示 ， 则 与 的 关 系 为 ； 4 . 是 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 两 个 线 性 无 关 解 ， 则 也 是 的 解 的 充 分 必 要 条 件 为 . 三 .（ 10分 ） 设 ， ， 讨 论 （ 1） 为 何 值 时 ， 不 能 由 线 性 表 示 ？ （ 2） 为 何 值 时 ， 能 由 唯 一 的 线 性 表 示 ？ （ 3） 为 何 值 时 ， 能 由 线 性 表 示 ， 但 表 示 方 法 不 唯 一 ？ 解 ： 设 则 （ 1） 时 ， ， 方 程 组 无 解 ， 所 以 不 能 由 线 性 表 示 ； （ 2） ， 且 时 ， ,方 程 组 有 唯 一 解 ， 所 以 能 由 唯 一 线 性 表 示 ； （ 3） 当 时 ， ,方 程 组 有 无 穷 多 解 ， 所 以 能 由 线 性 表 示 ， 且 表 示 方 法 不 唯 一 . 四 （ 10分 ） 求 向 量 组 ， 的 极 大 无 关 组 和 秩 ， 并 用 极 大 无 关 组 表 示 向 量 组 中 其 余 向 量 . 解 ： 为 一 个 极 大 线 性 无 关 组 ； 秩 为 3且 五 .（ 10分 ） 求 齐 次 线 性 方 程 组 的 基 础 解 系 和 通 解 . 解 ： 所 以 ， 基 础 解 系 ； 通 解 （ 为 任 意 数 ） . 六 （ 10分 ） 设 矩 阵 的 秩 ， 是 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 个 线 性 无 关 的 解 向 量 ， （ 1） 证 明 线 性 无 关 ； （ 2） 求 导 出 组 的 基 础 解 系 ， 及 的 通 解 . 证 明 ： 设 ， 则 由 于 线 性 无 关 ， 有 ， 所 以 线 性 无 关 . （ 2） 由 于 ， 所 以 是 的 个 线 性 无 关 解 ， 所 以 为 的 基 础 解 系 ； 为 的 通 解 . 七 .（ 10分 ） 设 向 量 可 由 向 量 组 线 性 表 示 ， 证 明 ： 线 性 无 关 的 充 分 必 要 条 件 是 由 线 性 表 示 的 表 示 方 法 唯 一 . 证 明 ： 向 量 可 由 向 量 组 线 性 表 示 ， 则 存 在 数 ， 使 得 必 要 性 ： 设 还 存 在 数 使 得 ， 则 由 于 线 性 无 关 ， 所 以 即 ， 所 以 由 线 性 表 示 的 表 示 方 法 唯 一 . 充 分 性 ： 设 ， 则 ， 由 于 由 线 性 表 示 的 表 示 方 法 唯 一 ， 所 以 ， 所 以 ， 即 有 线 性 无 关 . 八 . （ 10分 ） 讨 论 取 何 值 时 ， 线 性 方 程 组 ； （ 1） 无 解 ； （ 2） 有 唯 一 解 ； （ 3） 有 无 穷 多 解 ， 并 求 方 程 组 的 通 解 . 解 ： （ 1） 时 方 程 组 无 解 ； （ 2） 所 以 时 方 程 组 有 唯 一 解 ； （ 3） 时 , ， 方 程 组 有 无 穷 多 解 ， 通 解 为 （ 为 任 意 数 ） 九 （ 9 分 ） 设 的 列 向 量 组 是 齐 次 线 性 方 程 组 的 基 础 解 系 ， 证 明 ： 任 意 阶 可 逆 矩 阵 ， 的 列 向 量 组 也 是 的 基 础 解 系 . 证 明 ： 令 ， 则 有 ,即 可 由 线 性 表 示 ， 所 以 都 是 的 解 向 量 ， 又 可 逆 ， 知 ， 所 以 也 由 线 性 表 示 ， 向 量 组 与 等 价 . 是 齐 次 线 性 方 程 组 的 基 础 解 系 ， 所 以 线 性 无 关 ， 而 与 等 价 ， 两 向 量 组 秩 相 同 ， 都 为 与 ， 所 以 为 的 个 线 性 无 关 解 ， 而 含 向 量 的 个 数 与 基 础 解 系 含 向 量 个 数 相 同 ， 所 以 也 是 齐 次 线 性 方 程 组 的 基 础 解 系 ， 即 的 列 向 量 组 也 是 的 基 础 解 系 . 第 五 章 相 似 矩 阵 及 二 次 型 向 量 内 积 、 长 度 及 正 交 性 习 题 答 案1.设 ,求 的 内 积 及 夹 角 . 解 ： ， 所 以 夹 角 为 . 2. 设 （ 1） 求 使 得 正 交 ； （ 2） 求 一 个 单 位 向 量 ， 使 两 两 正 交 .解 ： （ 1） 正 交 ， 则 ， 所 以 （ 2） 设 ， 使 得 两 两 正 交 ， 所 以即 ， 解 得 （ 其 中 为 任 意 常 数 ） 取 为 的 单 位 向 量 即 可 ， 所 以 .3.判 断 下 列 矩 阵 是 否 是 正 交 矩 阵 （ 1） ；解 ： 因 为 ， 所 以 是 正 交 矩 阵 . （ 2） .解 ： 显 然 矩 阵 的 2,3两 列 都 不 是 单 位 向 量 ， 所 以 不 是 正 交 矩 阵 . 4.设 , 是 的 一 组 基 ,用 施 密 特 (Schimidt)正 交 化 方 法 将 这 组 基 化 为 标 准 正 交 基 .解 ： 先 正 交 化 ： 取 , , ,单 位 化 得 ： , . 方 阵 的 特 征 值 与 特 征 向 量 习 题 答 案 1.设 ， . 问 是 否 是 的 特 征 向 量 ？ 如 果 是 ， 它 们 分 别 属 于 哪 个 特 征 值 ? ， 即 是 的 属 于 特 征 值 的 特 征 向 量 ， 即 是 的 属 于 特 征 值 的 特 征 向 量 ； ； 即 是 的 属 于 特 征 值 的 特 征 向 量 . 2.求 下 列 矩 阵 的 特 征 值 和 特 征 向 量 （ 1） ； （ 2） ；解 ： 由 得 特 征 值对 于 特 征 值 ， 解 齐 次 线 性 方 程 组 ， ， 得 基 础 解 系 ，所 以 属 于 特 征 值 2 的 特 征 向 量 为 （ 不 全 为 零 ） 对 于 特 征 值 ， 解 齐 次 线 性 方 程 组， 得 基 础 解 系 ， 所 以 属 于 特 征 值 的 特 征 向 量 为 （ 为 非 零 数 ）（ 3） ； 解 ：由 得 特 征 值 对 特 征 值 解 线 性 方 程 组 ， 得 基 础 解 系 ， 所 以 属 于 特 征 值 的 特 征 向 量 为（ 为 非 零 数 ） 对 特 征 值 ， 解 线 性 方 程 组 ， 得 基 础 解 系 ， 所 以 属 于 特 征 值 的 特 征 向 量 为（ 为 非 零 数 ） （ 4） .解 ： ， 由 得 特 征 值 ， 对 特 征 值 ， 解 线 性 方 程 组 ， 得 基 础 解 系 ， 所 以 属 于 特 征 值 的 特 征 向 量 为（ 为 非 零 数 ） 对 特 征 值 ， 解 线 性 方 程 组 ， 得 基 础 解 系 ， 所 以 属 于 特 征 值 的 特 征 向 量 为（ 为 非 零 数 ） 3. 设 3阶 方 阵 有 特 征 值 ， 求 （ 1） 的 特 征 值 ； （ 2） 的 特 征 值 ；（ 3） 的 特 征 值 . 解 ： （ 1） 设 ， ， 的 特 征 值 为 ， ， .（ 2） 的 特 征 值 为 （ 3） 设 ， ， 的 特 征 值 为 ， ， .4. 已 知 3 阶 方 阵 的 特 征 值 为 ， 求 (1 )； （ 2 ） ； (3 )的 特 征 值 ； （ 4 ） (其 中 为 的 伴 随 矩 阵 ).解 ： (1 )； （ 2 ） 设 ， ， 的 特 征 值 为 ， ， ， 所 以 ；（ 3） 的 特 征 值 为 ； （ 4） ， 所 以5.设 阶 矩 阵 满 足 ， 证 明 的 特 征 值 只 能 是 或 . 证 明 ： 设 是 任 一 个 的 特 征 值 ， 是 的 属 于 特 征 值 的 特 征 向 量 ，则 ,.由 于 , 即 有 ， 所 以 ， 又 因 为 ,故 ， 即 或 . 相 似 矩 阵 与 对 角 化 习 题 答 案 1.求 下 列 矩 阵 的 特 征 值 和 特 征 向 量 ， 并 判 断 是 否 可 对 角 化 ， 如 可 对 角化 ， 求 可 逆 矩 阵 ， 使 得 是 对 角 矩 阵 . （ 1） ； 解 ： ， 由 得 特 征 值 ， ， . 对 特 征 值 ， 解 线 性 方 程 组 ， 得 基 础 解 系 ， 所 以 属 于 特 征 值 的 特 征 向 量 为（ 为 非 零 数 ） 对 特 征 值 ， 解 线 性 方 程 组 ， 得 基 础 解 系 ， 所 以 属 于 特 征 值 的 特 征 向 量 为（ 为 非 零 数 ） 对 特 征 值 ， 解 线 性 方 程 组 ， 得 基 础 解 系 ， 所 以 属 于 特 征 值 的 特 征 向 量 为（ 为 非 零 数 ） 由 于 有 三 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 ， 所 以 可 对 角 化 .取 ， 则 （ 2） ；解 ： , 由 得 特 征 值 ， 对 解 方 程 组 ， 得 基 础 解 系 ： ， 所 以 属 于 特 征 值 的 特 征 向 量 为 （ 为 非 零数 ） 解 方 程 组 得 基 础 解 系 ： ， ， 所 以 属 于 特 征 值 的 特 征 向 量 为 （ 不 全 为 零 ）有 三 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 ， 所 以 可 对 角 化 . 取 ， 则 .（ 3） . 解 ： ,由 得 特 征 值 ， 对 解 方 程 组 ， 得 基 础 解 系 ： ， 所 以 属 于 特 征 值 的 特 征 向 量 为 （ 为 非 零数 ） . 解 方 程 组 得 基 础 解 系 ， 所 以 属 于 特 征 值 的 特 征 向 量 为 （ 为 非 零 数 ） . 只 有 两 线 性 无 关 的 特 征 向 量 ， 所 以 不 对 角 化 . 2.已 知 4阶 矩 阵 相 似 ， 的 特 征 值 为 ， 求 (1)的 特 征 值 ； （ 2） .解 ： (1)由 于 相 似 矩 阵 有 相 同 的 特 征 值 ， 所 以 的 特 征 值 为 （ 2）3 .设 矩 阵 与 相 似 求 . 解 ： 由 于 相 似 ， 所 以 它 们 的 行 列 式 和 迹 相 同 ， 即 ， 解 得4.设 与 相 似 ， 与 相 似 ， 证 明 与 相 似 . 证 明 ： 因 为 与 相 似 ， 与 相 似 ， 所 以 存 在 可 逆 矩 阵 与 ,使 得 ,所 以 可 逆 ， 且 5.对 下 列 矩 阵 ,求 正 交 矩 阵 ， 使 得 为 对 角 形 矩 阵 .(1)； 解 ：由 得 特 征 值 ， . 对 特 征 值 ， 解 线 性 方 程 组 ， 得 基 础 解 系 ，对 特 征 值 ， 解 线 性 方 程 组 ， 得 基 础 解 系 ， 将 标 准 正 交 化 ， 得 的 两 个 线 性 正 交 的 特 征 向 量 ， 取 ， 则 .(2)； 解 ： ,由由 得 特 征 值 ， 对 解 方 程 组 ， 得 基 础 解 系 ： ，解 方 程 组 得 基 础 解 系 ： ， ， 有 三 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 ， 所 以 可 对 角 化 .将 进 行 施 密 特 正 交 化 ， 再 将 单 位 化 ， 得 到 的 一 组 标 准 正 交 特 征 向 量 取 则 .(3) . 解 : . 得 特 征 值 ， .对 特 征 值 ， 解 ， 得 基 础 解 系 把 它 正 交 化 ,得 再 单 位 化 ,得 为 属 于 1的 正 交 单 位 向 量 .对 特 征 值 ， 解 ,得 基 础 解 系 把 它 单 位 化 ,得 .令 ，则 . 6.设 是 阶 实 对 称 矩 阵 ， 且 的 特 征 值 为 ， 分 别 是 属 于 特 征 值 的 特 征 向 量 .（ 1） 求 属 于 特 征 值 的 特 征 向 量 ； （ 2） 求 出 矩 阵 . 解 ： （ 1） 设 属 于 特 征 值 的 特 征 向 量 为 ， 由 于 实 对 称 矩 阵 的 属 于 不 同 特 征 值 的 特 征 向 量 彼 此 正 交 ， 有 ， ， 解 得 . 令 ， 则 ，所 以 二 次 型 及 其 标 准 形 习 题 答 案1.用 配 方 法 化 下 列 二 次 型 为 标 准 形 ， 并 判 断 是 否 正 定 . （ 1） ；解 ： 其 中（ 2） ； 解 ：令 ， 则 2. 取 何 值 时 ,下 列 二 次 型 正 定 .（ 1） ； 解 ：所 以 ， 当 时 ， 该 二 次 型 的 标 准 形 中 正 惯 性 指 数 等 于 秩 ， 此 时 ， 二 次 型 正 定 .（ 2） . 解 ： 该 二 次 型 对 应 的 矩 阵 为的 顺 序 主 子 式 为 ， ， 该 二 次 型 正 定 的 充 分 必 要 条 件 是 的 顺 序 主 子 式 都 大 于 零 ， 所 以3.用 正 交 替 换 化 二 次 型 为 标 准 形 . 解 ： 对 应 的 矩 阵 为 ；解 ： , 由 得 特 征 值 ，对 解 方 程 组 ， 得 基 础 解 系 ： ， 解 方 程 组 得 基 础 解 系 ： ， ，有 三 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 ， 所 以 可 对 角 化 . 将 进 行 施 密 特 正 交 化 ， 再 将 单 位 化 ， 得 到 的 一 组 标 准 正 交 特 征 向 量 取 则 .令 正 交 变 换 为 ， 则 第 五 章 自 测 题 与 答 案 第 五 章 自 测 题 答 案一 .1.错 ； 2.错 ； 3.错 ； 4.对 ； 5.错 . 二 .1. ； 2.； 20； 3. 4. ； （ 5） . 三 .1.； 2.； 3. 四 . 与 相 似 ， 即 ， 即 ； 都 是 的 特 征 值 ， 也 是 的 根 ， 所 以 ， ， 解 得 . 五 .证 明 ： 设 是 的 特 征 值 ， 是 的 属 于 特 征 值 的 特 征 向 量 ， 则 ， 且 ，