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第 六 章 关 系 数 据 理 论 第 六 章 讲 解 关 系 数 据 理 论 。 这 是 关 系 数 据 库 的 又 一 个 重 点 。 学 习 本 章 的 目 的 有 两 个 。 一 个 是 理 论 方 面 的 ， 本 章 用 更 加 形 式 化 的 关 系 数 据 理论 来 描 述 和 研 究 关 系 模 型 。 另 一 个 是 实 践 方 面 的 ， 关 系 数 据 理 论 是 我 们 进 行 数 据 库 设 计 的 有 力 工 具 。 因 此 ， 人 们 也 把 关 系 数 据 理 论 中 的 规 范 化理 论 称 为 数 据 库 设 计 理 论 ， 有 的 书 把 它 放 在 数 据 库 设 计 部 分 介 绍 以 强 调 它 对 数 据 库 设 计 的 指 导 作 用 。 一 、 基 本 知 识 点 本 章 讲 解 关 系 数 据 理 论 ， 内 容 理 论 性 较 强 ， 分 为 基 本 要 求 部 分( 概 论 6.1 6.3)和 高 级 部 分 概 论 6.4)。 前 者 是 计 算 机 大 学 本 科 学 生 应 该 掌 握 的 内 容 ； 后 者 是 研 究 生 应 该 学 习 掌 握 的 内 容 。 需 要 了 解 的 :什 么 是 一 个 “ 不 好 ” 的 数 据 库 模 式 ； 什 么 是 模 式 的 插 入 异 常 和 删 除 异 常 ； 规 范 化 理 论 的 重 要 意 义 。 需 要 牢 固 掌 握 的 :关 系 的 形 式 化 定 义 ； 数 据 依 赖 的 基 本 概 念 (函 数 依 赖 、 平 凡 函 数 依 赖 、 非 平 凡 的 函 数 依 赖 、 部 分 函 数 依 赖 、 完 全 函 数 依赖 、 传 递 函 数 依 赖 的 概 念 ， 码 、 候 选 码 、 外 码 的 概 念 和 定 义 ， 多 值 依 赖 的 概 念 )； 范 式 的 概 念 ； 从 lNF到 4NF的 定 义 ； 规 范 化 的 含 义 和 作 用 。 需 要 举 一 反 三 的 :四 个 范 式 的 理 解 与 应 用 ， 各 个 级 别 范 式 中 存 在 的 问 题 (插 入 异 常 、 删 除 异 常 、 数 据 冗 余 )和 解 决 方 法 ； 能 够 根 据 应 用 语义 ， 完 整 地 写 出 关 系 模 式 的 数 据 依 赖 集 合 ， 并 能 根 据 数 据 依 赖 分 析 某 一 个 关 系 模 式 属 于 第 几 范 式 。 难 点 :各 个 级 别 范 式 的 关 系 及 其 证 明 。 二 、 习 题 解 答 和 解 析 1.理 解 并 给 出 下 列 术 语 的 定 义 ： 函 数 依 赖 、 部 分 函 数 依 赖 、 完 全 函 数 依 赖 、 传 递 依 赖 、 候 选 码 、主 码 、 外 码 、 全 码 (All-key)、 lNF、 2NF、 3NF、 BCNF、 多 值 依 赖 、 4NF。 解 析 解 答 本 题 不 能 仅 仅 把 概 论 上 的 定 义 写 下 来 。 关 键 是 真 正 理 解 和运 用 这 些 概 念 。 答 函 数 依 赖 :设 R(U)是 一 个 关 系 模 式 ,U是 R的 属 性 集 合 ,X和 Y是 U的 子 集 。 对 于 R(U)的 任 意 一 个 可 能 的 关 系 r,如 果 r中 不 存 在 两 个 元 组 ， 它 们 在 X上 的 属 性 值 相 同 ， 而 在 Y上 的 属 性 值 不 同 ， 则 称 “ X函 数 确 定Y” 或 “ Y函 数 依 赖 于 X” ， 记 作 X Y。 解 析 (1) 函 数 依 赖 是 最 基 本 的 一 种 数 据 依 赖 ， 也 是 最 重 要 的 一 种 数 据 依 赖 。 (2) 函 数 依 赖 是 属 性 之 间 的 一 种 联 系 ， 体 现 在 属 性 值 是 否 相 等 。 由 上 面 的 定 义 可 以 知 道 ， 如 果 X Y， 则 r中 任 意 两 个 元 组 ， 若 它 们 在 X上 的属 性 值 相 同 ， 那 么 在 Y上 的 属 性 值 一 定 也 相 同 。 (3) 要 从 属 性 间 实 际 存 在 的 语 义 来 确 定 他 们 之 间 的 函 数 依 赖 ， 即 函数 依 赖 反 映 了 (描 述 了 )现 实 世 界 的 一 种 语 义 。 (4) 函 数 依 赖 不 是 指 关 系 模 式 R在 某 个 时 刻 的 关 系 (值 )满 足 的 约 束条 件 ， 而 是 指 R任 何 时 刻 的 一 切 关 系 均 要 满 足 的 约 束 条 件 。 答 完 全 函 数 依 赖 、 部 分 函 数 依 赖 :在 R(U)中 ， 如 果 X Y， 并 且 对 于 X 的 任 何 一 个 真 子 集 X ， 都 有 X Y， 则 称 Y对 X完 全 函 数 依 赖 ， 记 作 : 若 X Y， 但 Y不 完 全 函 数 依 赖 于 X,则 称 Y对 X部 分 函 数 依 赖 ， 记 作 : 传 递 依 赖 :在 R(U)中 ， 如 果 X Y， (Y X)， Y X， Y Z,则 称 Z对 X传 递 函 数 依 赖 。 候 选 码 、 主 码 :设 K为 R U,F 中 的 属 性 或 属 性 组 合 ， 若 则 K为 R的 候 选 码 (Candidate key)。 若 候 选 码 多 于 一 个 ， 则 选 定 其 中 的一 个 为 主 码 (Primary key)。 解 析 1) 这 里 我 们 用 函 数 依 赖 来 严 格 定 义 码 的 概 念 。 在 第 二 章 中 我 们 只 是 描 述 性 地 定 义 码 (可 以 复 习 2.2.1): 若 关 系 中 的 某 一 属 性 组 的 值 能 惟一 地 标 识 一 个 元 组 ， 则 称 该 属 性 组 为 候 选 码 (Candidate key)。 2) 因 为 码 有 了 严 格 定 义 ， 在 学 习 了 概 论 5.3数 据 依 赖 的 公 理 系统 后 就 可 以 从 R U,F 的 函 数 依 赖 集 F出 发 ， 用 算 法 来 求 候 选 码 。 答 外 码 : 关 系 模 式 R中 属 性 或 属 性 组 X并 非 R的 码 ， 但 X是 另 一 个 关 系 模 式 的 码 ， 则 称 X是 R的 外 部 码 (Foreign key)， 也 称 外 码 。 全 码 :整 个 属 性 组 是 码 ， 称 为 全 码 (All-key)。 答 lNF:如 果 一 个 关 系 模 式 R的 所 有 属 性 都 是 不 可 分 的 基 本 数 据 项 ， 则 R lNF。 解 析 第 一 范 式 是 对 关 系 模 式 的 最 起 码 的 要 求 。 不 满 足 第 一 范 式 的 数 据 库模 式 不 能 称 为 关 系 数 据 库 。 答 2NF:若 关 系 模 式 R lNF， 并 且 每 一 个 非 主 属 性 都 完 全 函 数 依 赖 于 R 的 码 ， 则 R 2NF。 3NF:关 系 模 式 R U,F 中 若 不 存 在 这 样 的 码 X,属 性 组 Y及 非 主 属 性 Z(Z Y)使 得 X Y， (Y X)Y Z成 立 ， 则 称 R U,F 3NF。 BCNF:关 系 模 式 R U,F lNF。 若 X Y且 Y X时 X必 含 有 码 ， 则 R U,F BCNF。 解 析 读 者 要 真 正 理 解 这 些 范 式 的 内 涵 。 各 种 范 式 之 间 的 联 系 :5NF 4NF BCNF 3NF 2NF 1NF( 概 论 上 图 5.2)。 能 够 理 解 为 什 么 有 这 种 包 含 关 系 。 答 多 值 依 赖 :设 R(U)是 属 性 集 U上 的 一 个 关 系 模 式 。 X,Y,Z是 U的 子 集 ， 并 且 Z=U-X-Y。 关 系 模 式 R(U)中 多 值 依 赖 X Y成 立 ， 当 且 仅 当 对 R(U)的 任 一 关 系 r,给 定 的 一 对 (x,z)值 ， 有 一 组 Y的 值 ， 这 组 值 仅 仅 决 定 于 x 值 而 与 z值 无 关 。 4NF:关 系 模 式 R U,F 1NF,如 果 对 于 R的 每 个 非 平 凡 多 值 依 赖 X Y(Y X),X都 含 有 码 ， 则 称 R U,F 4NF。 解 析 对 于 多 值 依 赖 的 定 义 有 多 种 。 可 以 对 比 不 同 的 定 义 来 理 解 多 值 依赖 ， 选 择 自 己 容 易 理 解 的 一 种 定 义 来 掌 握 多 值 依 赖 概 念 。 2.建 立 一 个 关 于 系 、 学 生 、 班 级 、 学 会 等 诸 信 息 的 关 系 数 据 库 。 描 述 学 生 的 属 性 有 :学 号 、 姓 名 、 出 生 年 月 、 系 名 、 班 号 、 宿 舍区 。 描 述 班 级 的 属 性 有 :班 号 、 专 业 名 、 系 名 、 人 数 、 入 校 年 份 。 描 述 系 的 属 性 有 :系 名 、 系 号 、 系 办 公 室 地 点 、 人 数 。 描 述 学 会 的 属 性 有 :学 会 名 、 成 立 年 份 、 地 点 、 人 数 。 有 关 语 义 如 下 : 一 个 系 有 若 干 专 业 ， 每 个 专 业 每 年 只 招 一 个 班 ， 每 个 班 有 若 干 学 生 。 一 个 系 的 学 生 住 在 同 一 宿 舍 区 。 每 个 学 生 可 参 加若 干 学 会 ， 每 个 学 会 有 若 干 学 生 。 学 生 参 加 某 学 会 有 一 个 入 会 年 份 。 请 给 出 关 系 模 式 ， 写 出 每 个 关 系 模 式 的 极 小 函 数 依 赖 集 ， 指 出 是否 存 在 传 递 函 数 依 赖 ， 对 于 函 数 依 赖 左 部 是 多 属 性 的 情 况 讨 论 函 数 依 赖 是 完 全 函 数 依 赖 ， 还 是 部 分 函 数 依 赖 。 指 出 各 关 系 的 候 选 码 、 外 部 码 ， 有 没 有 全 码 存 在 ? 答 关 系 模 式 :学 生 S(S#， SN， SB， DN， C#， SA) 班 级 C(C#， CS， DN， CNUM， CDATE) 系 D(D#， DN， DA， DNUM) 学 会 P(PN， DATEl， PA， PNUM) 学 生 -学 会 SP(S#， PN， DATE2) 其 中 ， S#-学 号 ， SN-姓 名 ， SB-出 生 年 月 ， SA-宿 舍 区 C#-班 号 ， CS-专 业 名 ， CNUM-班 级 人 数 ， CDATE-入 校 年 份 D#-系 号 ， DN-系 名 ， DA-系 办 公 室 地 点 ， DNUM-系 人 数 PN-学 会 名 ， DATEl-成 立 年 月 ， PA-地 点 ， PNUM-学 会 人 数 ， DATE2-入 会 年 份 每 个 关 系 模 式 的 极 小 函 数 依 赖 集 : S: S# SN， S# SB， S# C#， C DN， DN SA C: C# CS， C# CNUM， C# CDATE， CS DN， (CS， CDATE) C# /*因 为 每 个 专 业 每 年 只 招 一 个 班 */ D: D# DN， DN D#， D# DA， D# DNUM /*按 照 实 际 情 况 ， 系 名 和 系 号 是 一 一 对 应的 */ P: PN DATE1， PN PA， PN PNUM SP: (S ， PN) DATE2 S中 存 在 传 递 函 数 依 赖 : S# DN， S# SA， C# SA /*因 为 S# C#， C# DN， DN SA*/ C中 存 在 传 递 函 数 依 赖 :C# DN /*因 为 C# CS， CS DN*/ (S#， PN) DATE2 和 (CS， CDATE) C#均 为 SP中 的 函 数 依 赖 ， 是 完全 函 数 依 赖 。 关 系 候 选 码 外 部 码 全 码 S S# C#， DN 无 C C#， (CS， CDATE) DN 无 D D# 和 DN 无 无 P PN 无 无 SP (S#， PN) S#， PN 无 解 析读 者 应 该 根 据 题 目 中 给 出 的 有 关 语 义 写 出 关 系 模 式 中 的 数 据 依 赖 ， 有 些 依 赖 可 以 按 照 实 际 情 况 写 出 ， 也 许 题 目 中 并 没 有 明 显 指 出 。 例 如 ，按 照 实 际 情 况 ， 系 名 和 系 号 是 一 一 对 应 的 ， 因 此 有 D# DN， DN D#。 3*.试 由 Armostrong公 理 系 统 推 导 出 下 面 三 条 推 理 规 则 : (1) 合 并 规 则 :若 X Z， X Y,则 有 X YZ (2) 伪 传 递 规 则 :由 X Y， WX Z有 XW Z (3) 分 解 规 则 :X Y， Z Y， 有 X Z 证 明 (1) 已 知 X Z， 由 增 广 律 知 XY YZ， 又 因 为 X Y， 可 得XX XY YZ， 最 后 根 据 传 递 律 得 X YZ。 (因 为 XX等 于 X) (2) 已 知 X Y， 据 增 广 律 得 XW WY， 因 为 WY Z， 所 以 XW WY Z，通 过 传 递 律 可 知 XW Z。 (3) 已 知 Z Y,根 据 自 反 律 知 Y Z,又 因 为 X Y,所 以 由 传 递 律 可 得 X Z。 5.试 举 出 3个 多 值 依 赖 的 实 例 。 答 (l) 关 系 模 式 MSC(M， S， C)中 ， M表 示 专 业 ， S表 示 学 生 ， C表 示 该专 业 的 必 修 课 。 假 设 每 个 专 业 有 多 个 学 生 ， 有 一 组 必 修 课 。 设 同 专 业 内 所 有 学 生 选 修 的 必 修 课 相 同 ， 实 例 关 系 如 下 。 按 照 语 义 对 于 M的 每 一 个值 M i， S有 一 个 完 整 的 集 合 与 之 对 应 而 不 问 C取 何 值 ， 所 以 M S。 由 于C与 S的 完 全 对 称 性 ， 必 然 有 M C成 立 。 M S C M1 S1 C1 M1 S1 C2 M1 S2 C1 M1 S2 C2 (2) 关 系 模 式 ISA(I， S， A)中 ， I表 示 学 生 兴 趣 小 组 ， S表 示 学 生 ， A表 示 某 兴 趣 小 组 的 活 动 项 目 。 假 设 每 个 兴 趣 小 组 有 多 个 学 生 ， 有 若 干活 动 项 目 。 每 个 学 生 必 须 参 加 所 在 兴 趣 小 组 的 所 有 活 动 项 目 ， 每 个 活 动 项 目 要 求 该 兴 趣 小 组 的 所 有 学 生 参 加 。 按 照 语 义 有 I S， I A成 立 。 (3) 关 系 模 式 RDP(R， D， P)中 ， R表 示 医 院 的 病 房 ， D表 示 责 任 医 务人 员 ,P表 示 病 人 。 假 设 每 个 病 房 住 有 多 个 病 人 ， 有 多 个 责 任 医 务 人 员 负 责 医 治 和 护 理 该 病 房 的 所 有 病 人 。 按 照 语 义 有 R D， R P成 立 。 12.下 面 的 结 论 哪 些 是 正 确 的 ， 哪 些 是 错 误 的 ? 对 于 错 误 的 结 论 请给 出 理 由 或 给 出 一 个 反 例 说 明 之 。 答 (1) 任 何 一 个 二 目 关 系 都 是 属 于 3NF的 。 (2) 任 何 一 个 二 目 关 系 都 是 属 于 BCNF的 。 (3) 任 何 一 个 二 目 关 系 都 是 属 于 4NF的 。 R(X， Y)如 果 X Y即 X、 Y之 间 存 在 平 凡 的 多 值 依 赖 ， R属 于 4NF。 * (4) 当 且 仅 当 函 数 依 赖 A B在 R上 成 立 ， 关 系 R(A， B， C)等 于 其 投 影 R1(A， B)和 R2(A， C)的 连 接 。 当 A B在 R上 成 立 ， 关 系 R(A， B， C)等 于 其 投 影 R1(A， B)和 R2(A， C) 的 连 接 。 反 之 则 不 然 。 正 确 的 应 该 是 : 当 且 仅 当 多 值 依 赖 A B在 R上 成 立 ， 关 系 R(A， B， C)等 于 其 投 影R1(A， B)和 R2(A， C)的 连 接 。 (5) 若 R.A R.B， R.B R.C， 则 R.A R.C (6) 若 R.A R.B， R.A R.C， 则 R.A R.(B， C) (7) 若 R.B R.A， R.C R.A， 则 R.(B， C) R.A (8) 若 R.(B， C) R.A， 则 R.B R.A， R.C R.A 反 例 :关 系 模 式 SC(S#， C#， G)， (S#， C#) G， 但 是 S# G， C# G。 补 充 习 题 13.设 关 系 模 式 R(A, B, C, D)， F是 R上 成 立 的 FD集 ， F AB CD， A D 。 试 说 明 R不 是 2NF模 式 的 理 由 。 试 把 R分 解 成 2NF模 式 集 。答 : 从 已 知 FD集 F， 可 知 R的 候 选 键 是 AB。 另 外 ， AB D是 一 个 局 部 依 赖 ， 因 此 R不 是 2NF模 式 。 此 时 R应 分 解 成 =AD， ABC, 是 2NF模 式 集 。(注 ： =AD， ABC表 示 分 解 结 果 由 两 个 尚 未 命 名 的 关 系 模 式 组 成 ； 其 中 ， 第 一 个 关 系 模 式 的 属 性 集 为 (A,D)， AD是 其 简 单 记 法 ， 该 关 系 模式 有 待 命 名 ； 第 二 个 关 系 模 式 的 属 性 集 为 (A,B,C)， 该 关 系 模 式 也 有 待 命 名 。 这 种 记 法 后 面 还 要 用 到 。 ) 14.设 关 系 模 式 R(A, B, C)， F是 R上 成 立 的 FD集 ， F C B，B A 。 试 说 明 R不 是 3NF模 式 的 理 由 。 试 把 R分 解 成 3NF模 式 集 。 答 : 从 已 知 FD集 F， 可 知 R的 候 选 键 是 C。 从 C B和 B A， 可 知 C A是 一 个 传 递 依 赖 ， 因 此 R不 是 3NF模 式 。 此 时 R应 分 解 成 CB， BA ， 是 3NF模 式 集 。 15.设 有 一 个 记 录 各 个 球 队 队 员 每 场 比 赛 进 球 数 的 关 系 模 式 R(队 员 编 号 ， 比 赛 场 次 ， 进 球 数 ， 球 队 名 ， 队 长 名 ) 如 果 规 定 每 个 队 员 只 能 属 于 一 个 球 队 ， 每 个 球 队 只 有 一 个 队长 。 试 写 出 关 系 模 式 R的 基 本 FD和 关 键 码 。 说 明 R不 是 2NF模 式 的 理 由 ， 并 把 R分 解 成 2NF模 式 集 。 进 而 把 R分 解 成 3NF模 式 集 ， 并 说 明 理 由 。解 : (1) 根 据 每 个 队 员 只 能 属 于 一 个 球 队 ， 可 写 出 FD： 队 员 编 号 球队 名 ； 根 据 每 个 球 队 只 有 一 个 队 长 ， 可 写 出 FD： 球 队 名 队 长 名 ； “ 每 个 队 员 每 场 比 赛 只 有 一 个 进 球 数 ” ， 这 条 规 则 也 是 成 立 的 ， 因 此 还 可 写 FD: ( 队 员 编 号 ， 比 赛 场 次 ) 进 球 数 。 从 上 述 三 个 FD可 知 道 ， R的 码 为 (队 员 编 号 ， 比 赛 场 次 )。 (2) 从 (l)可 知 ， R中 存 在 下 面 两 个 FD: ( 队 员 编 号 ， 比 赛 场 次 ) ( 球 队 名 ， 队 长 名 ) 队 员 编 号 ( 球 队 名 ， 队 长 名 ) 显 然 ， 其 中 第 一 个 FD是 一 个 局 部 依 赖 ， 因 此 R不 是 2NF模 式 。 对 R应 该 进 行 分 解 ， 由 第 二 个 FD的 属 性 可 构 成 一 个 模 式 ， 即 R1(队 员 编 号 ， 球 队 名 ， 队 长 名 )； 另 一 个 模 式 由 R的 属 性 集 去 掉 第 二 个 FD右 边 的 属 性 组 成 ， 即 R2(队 员 编 号 ， 比 赛 场 次 ， 进 球 数 )。 (注 ： 请 参 考 讲 稿 中 的 逐 次 分 解 法 。 ) R1和 R2都 是 2NF模 式 ， 因 此 R1， R2 (3) R2(队 员 编 号 ， 比 赛 场 次 ， 进 球 数 )中 ， FD是 (队 员 编 号 ， 比 赛场 次 ) 进 球 数 ， 码 为 (队 员 编 号 ， 比 赛 场 次 )， 可 见 R2已 是 3NF模 式 。 R1(队 员 编 号 ， 球 队 名 ， 队 长 名 )中 ， FD有 两 个 : 队 员 编 号 球 队 名 球 队 名 队 长 名 码 为 队 员 编 号 ， 可 见 存 在 传 递 依 赖 ， 因 此 R1不 是 3NF模 式 。 对 R1应 分 解 成 两 个 模 式 :R11(队 员 编 号 ， 球 队 名 )， R12(球 队名 ， 队 长 名 )。 这 两 个 模 式 都 是 3NF模 式 。 因 此 ， R分 解 成 3NF模 式 集 时 ， = R11， R12， R2 。 16.设 有 关 系 模 式 R(职 工 名 ， 项 目 名 ， 工 资 ， 部 门 名 ， 部 门 经 理 ) 如 果 规 定 每 个 职 工 可 参 加 多 个 项 目 ， 各 领 一 份 工 资 ； 每 个 项 目 只 属 于 一 个 部 门 管 理 ； 每 个 部 门 只 有 一 个 经 理 。 试 写 出 关 系 模 式 R的 基 本 FD和 关 键 码 。 说 明 R不 是 2NF模 式 的 理 由 ， 并 把 R分 解 成 2NF模 式 集 。 进 而 把 R分 解 成 3NF模 式 集 ， 并 说 明 理 由 。解 : (l) R的 基 本 FD有 三 个 ： (职 工 名 ， 项 目 名 ) 工 资 项 目 名 部 门 名 部 门 名 部 门 经 理 码 为 (职 工 名 ， 项 目 名 )。 (2) 根 据 (l)， R中 存 在 下 列 两 个 FD： (职 工 名 ， 项 目 名 ) (部 门 名 ， 部 门 经 理 ) 项 目 名 (部 门 名 ， 部 门 经 理 ) 其 中 前 一 个 FD是 一 个 局 部 依 赖 ， 因 此 R不 是 2NF模 式 。 R应 分 解 成 两 个 模 式 :R1(项 目 名 ， 部 门 名 ， 部 门 经 理 ) R2(职 工 名 ， 项 目 名 ， 工 资 ) R1和 R2都 是 2NF模 式 。 (3) R2已 是 3NF模 式 。 在 R1中 ， 由 于 存 在 两 个 FD: 项 目 名 部 门 名 部 门 名 部 门 经 理 即 存 在 一 个 传 递 依 赖 ， 因 此 R1不 是 3NF模 式 。 对 R1应 分 解 成 两 个 模 式 :R11(项 目 名 ， 部 门 名 )， R12(部 门 名 ， 部 门经 理 )。 这 两 个 模 式 都 是 3NF模 式 。 因 此 ， R分 解 成 3NF模 式 集 时 ， R11， R12， R2 。 17.为 什 么 要 进 行 关 系 模 式 的 分 解 ？ 分 解 的 依 据 是 什 么 ？答 ： 由 于 数 据 之 间 存 在 着 联 系 和 约 束 ， 在 关 系 模 式 的 中 可 能 会 存 在 数 据冗 余 和 操 作 异 常 现 象 ， 因 此 需 把 关 系 模 式 进 行 分 解 ， 以 消 除 冗 余 和 异 常 现 象 。分 解 的 依 据 是 数 据 依 赖 和 模 式 的 标 准 （ 范 式 ） 。 18.对 给 定 的 关 系 模 式 R(U， F)， U=A， B， C， F=A B， 如 下 的 两 个 分 解 ： (1) 1=AB， BC(2) 2=AB， AC 判 这 两 个 分 解 否 无 损 。解 (1) 根 据 定 理 判 断 本 题 (注 ： 由 于 仅 仅 将 原 关 系 模 式 分 解 为 两 个 关 系 模 式 ， 故 可 用 定 理 判断 。 ) 因 AB BC=B AB-BC=A BC-AB=C故 B A F+ B C F+ 故 1为 有 损 连 接 。 (2) 根 据 定 理 判 断 本 题因 AB AC=A AB-AC=BAC-AB=C 故 A B F+B C F+故 2为 无 损 连 接 。 19.对 给 定 的 关 系 模 式 R(U,F),U=A,B,C,D,E,P,F= A B,C P,E A,CE D,如 下 的 分 解 ： = R1(A,B,E)， R2(C,D,E,P) (1) 求 R的 候 选 关 键 字 ， 并 判 分 解 是 否 无 损 连 接 ；(2) R1、 R2属 于 几 范 式 。 解 (1) 候 选 关 键 字 为 CE 因 (CE)F+ = U 故 有 CE U， 并 且 在 CE中 不 存 在 一 个 真 子 集 能 决 定 R的 全 体 属 性 U，故 CE为 R的 候 选 关 键 字 。 根 据 定 理 判 断 本 题 分 解 是 否 无 损 。因 ABE CDEP = E ABE- CDEP = ABCDEP-ABE=CDP 因 E A， A B (已 知 )故 有 E B (传 递 律 ) 因 E A， E B故 有 E AB (合 并 律 ) 因 E AB F+故 故 为 无 损 连 接 。 (2) R1、 R2属 于 几 范 式 ？ R1 2NF 因 E A， A B故 E B， 存 在 传 递 依 赖 故 R1 3NF R2 1NF 因 CE D， C P故 CE能 惟 一 地 确 定 R2中 的 每 一 个 元 组 ， 故 为 候 选 关 键 字 。 因 CE是 候 选 关 键 字 ， 而 C P， 所 以 P部 分 函 数 依 赖 于 CE故 R2 2NF。 20. 已 知 关 系 模 式 R(A,B,C) F=B C,C B,C A,A B,A C,BC A 求 F的 最 小 集 Fmin = ?解 1:(1) 右 端 皆 为 单 个 属 性 . (2) 去 掉 多 余 依 赖 。 (应 优 先 考 虑 去 掉 左 端 比 较 复 杂 的 函 数 依赖 .) B C (留 )C B (去 掉 ,因 为 它 被 去 掉 后 只 要 还 留 下 C A,A B,仍 可 以 导 出 C B) C A (留 ) A B (留 )A C (去 掉 ,因 为 它 被 去 掉 后 由 A B、 B C仍 可 以 导 出 A C) BC A(去 掉 ,因 为 它 被 去 掉 后 由 C A仍 可 以 导 出 BC A)于 是 ， F min = B C , C A , A B . 解 2： (1) 右 端 皆 为 单 个 属 性 .(2) 去 掉 多 余 依 赖 。 这 次 我 们 采 用 另 外 一 种 顺 序 . B C C B (留 )C A (去 ) A B (去 )A C (留 ) BC A(留 )于 是 得 到 ， H= B C , C B , A C,BC A. H不 是 最 小 集 ， 因 为 ： H- BC A B A 仍 等 价 于 H； H- BC A C A 仍 等 价 于 H.故 可 得 ： P1= B C,C B,A C,B A P2= B C,C B,A C,C A H和 P1是 等 价 的 ， 因 为 B H+ A,故 B A在 H+ 中 ， 而 H中 其 余 几 个 函 数 依 赖 显 然 也 都 在 H+中 ； 同 理 可 证 H 的 每 一 个 函 数 依 赖 也 都 在 P1+ 中 ； 因 此 ， H和 P1等 价 。同 理 ， H和 P2是 等 价 的 。 P2已 经 是 最 小 集 。P1仍 需 继 续 化 简 ， 怎 样 化 简 ， 请 读 者 自 己 考 虑 。 这 个 例 子 说 明 了 ， 在 求 一 个 函 数 依 赖 集 的 最 小 集 时 ， 由 于 对 函数 依 赖 的 处 置 顺 序 不 同 ， 所 得 到 的 结 果 也 不 同 ； 最 小 集 的 形 式 也 不 是 唯 一 的 ！ 21. 证 明 :若 R 3NF,则 每 一 个 非 主 属 性 既 不 部 分 依 赖 于 码 也 不 传递 依 赖 于 码 。 ( 注 ： 证 明 过 程 可 以 用 反 证 法 来 完 成 ， 让 我 来 试 证 。 ) 证 明 ：(1 ) 每 一 非 主 属 性 都 不 传 递 依 赖 于 码 是 3 NF定 义 所 要 求 的 ， 因 而 也 是 显 然 的 。(2 ) 每 一 非 主 属 性 都 不 部 分 依 赖 于 码 。 事 实 上 ， 若 存 在 一 非 主 属 性 A部 分 依 赖 于 码 X,则 必 有 X的 一 个 真 子 集X X,且 X A, 于 是 有 XX, X X, XA, A X. 这 与 3 NF定 义 相 矛 盾 。证 毕 。 通 过 这 个 证 明 过 程 知 道 ， 一 个 3NF的 关 系 模 式 必 然 是 2NF的 ， 因 为 它 的 每一 非 主 属 性 都 不 部 分 依 赖 于 码 。 22. 证 明 : BCNF必 然 是 3NF. 证 明 ： 也 就 是 要 证 明 ： 在 BCNF情 况 下 ， 不 存 在 这 样 的 码 X,属 性 组Y,以 及 非 主 属 性 A(A Y),使 得 X Y,Y X,Y A成 立 。事 实 上 ,若 存 在 这 样 的 码 X,属 性 组 Y,以 及 非 主 属 性 A(A Y),使 得 X Y,Y X,Y A成 立 的 话 ， 由 BCNF定 义 可 知 ， Y为 码 或 者 Y包 含 码 ， 则 必 有Y X,与 上 述 假 设 矛 盾 。 于 是 ， BCNF必 是 3NF. 23.关 系 R(A， B， C， D， E)满 足 下 列 函 数 依 赖 ：F=A C， C D， B C， DE C， CE A (1) 给 出 关 系 R的 候 选 关 键 字 ；(2) 判 =R1(A,D)， R2(A,B)， R3(B,C)， R4(C,D,E)， R5(A,E) 是 否 无 损 连 接 分 解 ；(3) 将 R分 解 为 BCNF， 并 具 有 无 损 连 接 性 。 解(1) 从 函 数 依 赖 集 F中 看 ， 候 选 关 键 字 至 少 包 含 BE， 因 为 BE不 依 赖 于 谁 ， 而 (BE)+=ABCDE， 所 以 ， BE是 R的 候 选 关 键 字 。(2) 构 造 一 个 二 维 表 ， 如 下 图 所 示 。 A B C D E R1(A,D)R2(A,B) R3(B,C) a1a1 b31 b12a2 a2 b13b23 a3 a4b24 b34 b15b25 b35 R4(C,D,E)R5(A,E) b41a1 b42b52 a3b53 a4b54 a5a5 根 据 A C， 对 上 表 进 行 处 理 ， 由 于 属 性 列 A上 第 1,2， 5行 相 同 ， 但 属 性 列 C上 对 应 的 1,2， 5行 上 无 ai元 素 ， 所 以 ， 只 能 将 b13,b23,b53改为 行 号 最 小 值 b13。 又 根 据 C D将 属 性 列 D上 b34改 为 a4,修 改 后 的 表 如 处 图 所 示 ： A B C D E R1(A,D)R2(A,B) R3(B,C)R4(C,D,E) R5(A,E) a1a1 b31b41 a1 b12a2 a2b42 b52 b13b13 a3a3 b13 a4b24 a4a4 b54 b15b25 b35a5 a5 根 据 B C， 对 上 表 进 行 处 理 ， 由 于 属 性 列 B上 第 2,3行 相 同 ， 但 属 性 列 C上 对 应 的 3行 为 a3元 素 ， 所 以 ， 只 能 将 第 2行 b13改 为 a3。 又 根 据DE C， CE A不 能 修 改 此 表 ,所 以 修 改 后 的 表 如 下 图 所 示 ： A B C D E R1(A,D)R2(A,B) R3(B,C)R4(C,D,E) R5(A,E) a1a1 b31b41 a1 b12a2 a2b42 b52 b13a3 a3a3 b13 a4b24 a4a4 b54 b15b25 b35a5 a5 根 据 A C， 对 上 表 进 行 处 理 ， 由 于 属 性 列 A上 第 1,2， 5行 相 同 ， 但 属 性 列 C上 对 应 的 1,2， 5行 上 有 a3元 素 ， 所 以 ， 只 能 将 第 1,5行 b13改为 a3。 又 根 据 C D将 属 性 列 D上 b24,b54改 为 a4， 修 改 后 的 表 如 下 图 所 示 ： A B C D E R1(A,D)R2(A,B) R3(B,C)R4(C,D,E) a1a1 b31b41 b12a2 a2b42 a3a3 a3a3 a4a4 a4a4 b15b25 b35a5 R5(A,E) a1 b52 a3 a4 a5 根 据 CE A， 对 上 表 进 行 处 理 ， 由 于 属 性 列 CE上 第 4， 5行 相 同 ， 但 属 性 列 A上 对 应 的 5行 为 a1元 素 ， 所 以 ， 将 第 4行 b41改 为 a1。 修 改 后 的表 如 下 图 所 示 ： A B C D E R1(A,D)R2(A,B) R3(B,C)R4(C,D,E) R5(A,E) a1a1 b31a1 a1 b12a2 a2b42 b52 a3a3 a3a3 a3 a4a4 a4a4 a4 b15b25 b35a5 a5 继 续 扫 描 F不 能 修 改 此 表 ， 由 于 找 不 到 一 行 全 为 a,所 以 该 分 解 是 有 损 的 。(3) 考 虑 A C， 将 R(A,B,C,D,E)分 解 为 两 个 子 模 式 R1(A,C)和 R2(A,B,D,E)。 此 时 ， R1 BCNF。继 续 分 解 R2， 考 虑 B D， 将 R2(A,B,D,E)分 解 为 两 个 子 模 式 R21(B,D) 和 R22(A,B,E)， 此 时 ， R21和 R22均 属 于 BCNF。 所 以 R分 解 为 BCNF， 并 具有 无 损 连 接 性 的 分 解 如 下 ： =R1(A,C)， R21(B,D)， R22(A,B,E) 24.关 系 规 范 化 一 般 应 遵 循 的 原 则 是 什 么 ？ 答 ： 关 系 规 范 化 一 般 应 遵 循 的 原 则 如 下 ：(1) 将 关 系 模 式 进 行 无 损 连 接 分 解 ， 在 关 系 模 式 分 解 的 过 程 中 ， 数 据 不 能 丢 失 或 增 加 ， 要 保 证 数 据 的 完 整 性 ；(2) 合 理 地 选 择 规 范 化 的 程 度 。 在 规 范 化 时 ， 既 要 考 虑 到 低 级 范 式 造 成 的 冗 余 度 高 ， 数 据 的 不 一 致 性 ， 又 要 考 虑 到 高 级 范 式 查 询 效 率 低 的矛 盾 ； (3) 正 确 性 和 可 实 现 性 原 则 。 25.设 一 关 系 为 ： 学 生 (学 号 ， 姓 名 ， 年 龄 ， 所 在 系 ， 出 生 日 期 )， 判 断 此 关 系 属 性 组 属 于 第 几 范 式 。 为 什 么 ？答 属 于 3NF。 因 为 该 关 系 模 式 存 在 的 函 数 依 赖 是 ： 学 号 姓 名 ， 学 号 年 龄 ， 学 号 所 在 系 ， 学 号 出 生 日 期不 再 有 其 它 的 函 数 依 赖 ， 所 以 该 模 式 是 属 于 2NF。 又 因 为 所 有 的 非 主 属 性 对 码 (学 号 )非 传 递 依 赖 ， 所 以 该 关 系 模 式 是 3NF。 26.设 有 关 系 模 式 R(A,B,C,D,E),R的 函 数 依 赖 集 F=A D,E D,D B， BC D,CD A， 求 (1) R的 候 选 关 键 字 ；(3) 将 R分 解 为 3NF。 解 ：(1) 设 U =(ABCDE)， 因 (CE)F+ = ABCDE， 而 (C)F +=C， (E)F +=BDE， 故 R的 侯 选 关 键 字 为 CE(2) 求 出 最 小 函 数 依 赖 集 F F =A D， E D， D B， BC D， CD A将 R分 解 为 3NF： =AD， DE， BD， BCD， ACD 27.设 有 如 下 图 所 示 的 学 生 关 系 S 学 生 号 学 生名 年龄 性别 系号 系 名 100001200001 200002300001 300004300005 王 婧张 露 黎 明远 王 烨张 露 樊 建喜 1819 2021 2019 女女 男男 女男 12 23 33 通 信 工程 电 子 工程 电 子 工程 计 算 机计 算 机 计 算 机 试 问 S是 否 属 于 3NF？ 为 什 么 ？ 若 不 是 ， 它 属 于 几 范 式 ？ 并 将 其 规 范 化 为 3NF。 解 ： S不 属 于 3NF， 它 属 于 2NF。因 R的 候 选 关 键 字 为 “学生号” ， 而 ： 学 生 号 系 号 ， 系 号 系 名 ， 系 号 学 生 号故 学 生 号 系 名 ， 即 存 在 非 主 属 性 “ 系 名 ” 对 候 选 关 键 字 “ 学 生 号 ” 的 传 递 依 赖 。 可 将 S分 解 成 ：S1(学 生 号 ， 学 生 名 ， 年 龄 ， 性 别 ， 系 号 ) 3NF； S2(系 号 ， 系 名 ) 3NF；分 解 后 的 S1与 S2如 下 图 所 示 ： S1： 学 生 号 学 生 名 年 龄 性 别 系 号 100001200001 200002300001 300004300005 王 婧张 露 黎 明 远王 烨 张 露樊 建 喜 1819 2021 2019 女女 男男 女男 12 23 33 S2： 系 号 系 名 12 3 通 信 工 程电 子 工 程 计 算 机