电磁场与电磁波复习试卷及答案.pdf

电 磁 场 与 电 磁 波 试 题 （ 1） 参 考 答 案 二 、 简 答 题 （ 每 小 题 5 分 ， 共 2 0 分 ） 1 1 答 ： 意 义 ： 随 时 间 变 化 的 磁 场 可 以 产 生 电 场 。 （ 3 分 ） 其 积 分 形 式 为 ： （ 2 分 ） 1 2 答 ： 在 静 电 场 中 ， 在 给 定 的 边 界 条 件 下 ， 拉 普 拉 斯 方 程 或 泊 松 方 程 的 解 是 唯 一 的 ， 这 一 定 理 称 为 唯 一 性 定 理 。 （ 3 分 ） 它 的 意 义 ： 给 出 了 定 解 的 充 要 条 件 ： 既 满 足 方 程 又 满 足 边 界 条 件 的 解 是 正 确 的 。 1 3 答 ： 电 磁 波 包 络 或 能 量 的 传 播 速 度 称 为 群 速 。 （ 3 分 ） 群 速 与 相 速 的 关 系 式 为 ： （ 2 分 ） 1 4 答 ： 位 移 电 流 ： 位 移 电 流 产 生 磁 效 应 代 表 了 变 化 的 电 场 能 够 产 生 磁 场 ， 使 麦 克 斯 韦 能 够 预 言 电 磁 场 以 波 的 形 式 传 播 ， 为 现 代 通 信 打 下 理 论 基 础 。 三 、 计 算 题 （ 每 小 题 1 0 分 ， 共 3 0 分 ） 15 按 要 求 完 成 下 列 题 目 （ 1） 判 断 矢 量 函 数 是 否 是 某 区 域 的 磁 通 量 密 度 ？ （ 2） 如 果 是 ， 求 相 应 的 电 流 分 布 。 解 ： （ 1） 根 据 散 度 的 表 达 式 （ 3分 ） 将 矢 量 函 数 代 入 ， 显 然 有 （ 1 分 ） 故 ： 该 矢 量 函 数 为 某 区 域 的 磁 通 量 密 度 。 （ 1分 ） （ 2） 电 流 分 布 为 ： 16 矢 量 ， ， 求 （ 1 ） （ 2 ） 解 ： （ 1 ） （ 5 分 ） （ 2 ） （ 5 分 ） 17 在 无 源 的 自 由 空 间 中 ， 电 场 强 度 复 矢 量 的 表 达 式 为 （ 1 ） 试 写 出 其 时 间 表 达 式 ； （ 2 ） 说 明 电 磁 波 的 传 播 方 向 ； 解 ： （ 1） 该 电 场 的 时 间 表 达 式 为 ： （ 3分 ） （ 2 分 ） （ 2） 由 于 相 位 因 子 为 ， 其 等 相 位 面 在 xoy平 面 ， 传 播 方 向 为 z轴 方 向 。 （ 5分 ） 四 、 应 用 题 （ 每 小 题 1 0 分 ， 共 3 0 分 ） 1 8 均 匀 带 电 导 体 球 ， 半 径 为 ， 带 电 量 为 。 试 求 （ 1） 球 内 任 一 点 的 电 场 （ 2） 球 外 任 一 点 的 电 位 移 矢 量 解 ： （ 1） 导 体 内 部 没 有 电 荷 分 布 ， 电 荷 均 匀 分 布 在 导 体 表 面 ， 由 高 斯 定 理 可 知 在 球 内 处 处 有 ： （ 3 分 ） 故 球 内 任 意 一 点 的 电 位 移 矢 量 均 为 零 ， 即 （ 1分 ） （ 1分 ） （ 2） 由 于 电 荷 均 匀 分 布 在 的 导 体 球 面 上 ， 故 在 的 球 面 上 的 电 位 移 矢 量 的 大 小 处 处 相 等 ， 方 向 为 径 向 ， 即 ， 由 高 斯 定 理 有 （ 3 分 ） 即 （ 1 分 ） 整 理 可 得 ： （ 1分 ） 19 设 无 限 长 直 导 线 与 矩 形 回 路 共 面 ， （ 如 图 1所 示 ） ， 求 （ 1） 判 断 通 过 矩 形 回 路 中 的 磁 感 应 强 度 的 方 向 （ 在 图 中 标 出 ） ； （ 2） 设 矩 形 回 路 的 法 向 为 穿 出 纸 面 ， 求 通 过 矩 形 回 路 中 的 磁 通 量 。 解 ： 建 立 如 图 坐 标 （ 1） 通 过 矩 形 回 路 中 的 磁 感 应 强 度 的 方 向 为 穿 入 纸 面 ， 即 为 方 向 。 （ 5分 ） （ 2） 在 平 面 上 离 直 导 线 距 离 为 处 的 磁 感 应 强 度 可 由 下 式 求 出 ： （ 3 分 ） 即 ： （ 1 分 ） 通 过 矩 形 回 路 中 的 磁 通 量 （ 1 分 ） 无 穷 远图 2 图 1 2 0 解 ： （ 1） 由 于 所 求 区 域 无 源 ， 电 位 函 数 必 然 满 足 拉 普 拉 斯 方 程 。 设 ： 电 位 函 数 为 ， 则 其 满 足 的 方 程 为 ： （ 3分 ） （ 2） 利 用 分 离 变 量 法 ： （ 2分 ） 根 据 边 界 条 件 ， 的 通 解 可 写 为 ： （ 1分 ） 再 由 边 界 条 件 ： 求 得 （ 1分 ） 槽 内 的 电 位 分 布 为 五 、 综 合 题 （ 1 0 分 ） (1) 21 解 ： （ 1 ） （ 2 分 ） （ 2 分 ） （ 1 分 ） (2 ) 区 域 1中 反 射 波 电 场 方 向 为 （ 3分 ） 磁 场 的 方 向 为 （ 2分 ） 电 磁 场 与 电 磁 波 试 题 （ 2） 参 考 答 案 二 、 简 述 题 （ 每 小 题 5 分 ， 共 2 0 分 ） 1 1 答 ： 磁 通 连 续 性 原 理 是 指 ： 磁 感 应 强 度 沿 任 一 闭 合 曲 面 的 积 分 等 于 零 ， 或 者 是 从 闭 合 曲 面 S穿 出 去 的 通 量 等 于 由 S外 流 入 S内 的 通 量 。 （ 3 分 ） 其 数 学 表 达 式 为 ： （ 2 分 ） 1 2 答 ： 当 一 个 矢 量 场 的 两 类 源 (标 量 源 和 矢 量 源 )在 空 间 的 分 布 确 定 时 ， 该 矢 量 场 就 唯 一 地 确 定 了 ， 这 一 规 律 称 为 亥 姆 霍 兹 定 理 。 （ 3分 ） 亥 姆 霍 兹 定 理 告 诉 我 们 ， 研 究 任 意 一 个 矢 量 场 （ 如 电 场 、 磁 场 等 ） ， 需 要 从 散 度 和 旋 度 两 个 方 面 去 研 究 ， 或 者 是 从 矢 量 场 的 通 量 和 环 量 两 个 方 面 去 研 究 。 （ 2分 ） 1 3 答 ： 其 物 理 意 义 ： 随 时 间 变 化 的 磁 场 可 以 产 生 电 场 。 （ 3 分 ） 方 程 的 微 分 形 式 ： （ 2分 ） 1 4 答 ： 电 磁 波 的 电 场 强 度 矢 量 的 方 向 随 时 间 变 化 所 描 绘 的 轨 迹 称 为 极 化 。 （ 2 分 ） 极 化 可 以 分 为 ： 线 极 化 、 圆 极 化 、 椭 圆 极 化 。 （ 3 分 ） 三 、 计 算 题 （ 每 小 题 1 0 分 ， 共 3 0 分 ） 15 矢 量 函 数 ， 试 求 （ 1） （ 2） 解 ： （ 1） （ 2） 16 矢 量 ， ， 求 （ 1 ） （ 2 ） 求 出 两 矢 量 的 夹 角 解 ： （ 1） （ 2 ） 根 据 （ 2 分 ） （ 2分 ） 所 以 （ 1分 ） 17 解 ： （ 1 ） （ 2 ） （ 2 分 ） 所 以 （ 3 分 ） 四 、 应 用 题 （ 每 小 题 1 0 分 ， 共 3 0 分 ） 18 放 在 坐 标 原 点 的 点 电 荷 在 空 间 任 一 点 处 产 生 的 电 场 强 度 表 达 式 为 （ 1 ） 求 出 电 力 线 方 程 ； （ 2 ） 画 出 电 力 线 。 解 :（ 1 ） （ 2分 ） 由 力 线 方 程 得 （ 2 分 ） 对 上 式 积 分 得 （ 1 分 ） 式 中 ， 为 任 意 常 数 。 （ 2 ） 电 力 线 图 1 8 -2 所 示 。 （ 注 ： 电 力 线 正 确 ， 但 没 有 标 方 向 得 3 分 ） 图 1 图 1 8 -2 19 设 点 电 荷 位 于 金 属 直 角 劈 上 方 ， 如 图 1所 示 ， 求 （ 1） 画 出 镜 像 电 荷 所 在 的 位 置 （ 2） 直 角 劈 内 任 意 一 点 处 的 电 位 表 达 式 解 ： （ 1） 镜 像 电 荷 所 在 的 位 置 如 图 19-1所 示 。 （ 注 ： 画 对 一 个 镜 像 得 2 分 ， 三 个 全 对 得 5 分 ） 图 1 9 -1图 1 9 -2 （ 2 ） 如 图 1 9 -2 所 示 任 一 点 处 的 电 位 为 （ 3分 ） 其 中 ， （ 2分 ） 2 0 设 时 变 电 磁 场 的 电 场 强 度 和 磁 场 强 度 分 别 为 ： （ 1） 写 出 电 场 强 度 和 磁 场 强 度 的 复 数 表 达 式 （ 2） 证 明 其 坡 印 廷 矢 量 的 平 均 值 为 ： 解 ： （ 1） 电 场 强 度 的 复 数 表 达 式 （ 3分 ） 电 场 强 度 的 复 数 表 达 式 （ 2分 ） （ 2） 根 据 得 （ 2分 ） （ 3分 ） 五 、 综 合 题 （ 共 1 0 分 ） 21 设 沿 方 向 传 播 的 均 匀 平 面 电 磁 波 垂 直 入 射 到 理 想 导 体 ， 如 图 2所 示 ， 该 电 磁 波 电 场 只 有 分 量 即 区 域 1 区 域 2 图 2 (2) 求 出 反 射 波 电 场 的 表 达 式 ； (3) 求 出 区 域 1 媒 质 的 波 阻 抗 。 解 ： （ 1 ） 设 反 射 波 电 场 区 域 1 中 的 总 电 场 为 （ 2 分 ） 根 据 导 体 表 面 电 场 的 切 向 分 量 等 于 零 的 边 界 条 件 得 （ 2 分 ） 因 此 ， 反 射 波 电 场 的 表 达 式 为 （ 1 分 ） （ 2 ） 媒 质 1 的 波 阻 抗 （ 3 分 ） 因 而 得 （ 2 分 ） 电 磁 场 与 电 磁 波 试 题 （ 3） 参 考 答 案 二 、 简 述 题 （ 每 小 题 5 分 ， 共 2 0 分 ） 1 1 答 ： 它 表 明 时 变 场 中 的 磁 场 是 由 传 导 电 流 和 位 移 电 流 共 同 产 生 （ 3 分 ） 。 该 方 程 的 积 分 形 式 为 （ 2 分 ） 1 2 答 ： 与 传 播 方 向 垂 直 的 平 面 称 为 横 向 平 面 ； （ 1 分 ） 电 磁 场 的 分 量 都 在 横 向 平 面 中 ， 则 称 这 种 波 称 为 平 面 波 ； （ 2 分 ） 在 其 横 向 平 面 中 场 值 的 大 小 和 方 向 都 不 变 的 平 面 波 为 均 匀 平 面 波 。 （ 2 分 ） 1 3 答 ： 静 电 场 为 无 旋 场 ， 故 沿 任 何 闭 合 路 径 的 积 分 为 零 ； 或 指 出 静 电 场 为 有 势 场 、 保 守 场 静 电 场 的 两 个 基 本 方 程 积 分 形 式 ： 或 微 分 形 式 两 者 写 出 一 组 即 可 ， 每 个 方 程 1 分 。 1 4 答 ： （ 3 分 ） 它 表 示 求 解 区 域 的 电 位 分 布 仅 决 定 于 当 地 的 电 荷 分 布 。 （ 2 分 ） 三 、 计 算 题 （ 每 小 题 1 0 分 ， 共 3 0 分 ） 15 用 球 坐 标 表 示 的 场 ， 求 （ 1） 在 直 角 坐 标 中 点 （ -3， 4， 5） 处 的 ； （ 2） 在 直 角 坐 标 中 点 （ -3， 4， 5） 处 的 分 量 解 ： （ 1） 在 直 角 坐 标 中 点 （ -3， 4， 5） 在 球 坐 标 中 的 矢 径 大 小 为 ： （ 2分 ） 故 该 处 的 电 场 大 小 为 ： （ 3分 ） （ 2） 将 球 坐 标 中 的 场 表 示 为 （ 2分 ） 故 （ 2分 ） 将 ， 代 入 上 式 即 得 ： （ 1分 ） 1 6 矢 量 函 数 ， 试 求 （ 1 ） （ 2 ） 若 在 平 面 上 有 一 边 长 为 2 的 正 方 形 ， 且 正 方 形 的 中 心 在 坐 标 原 点 ， 试 求 该 矢 量 穿 过 此 正 方 形 的 通 量 。 解 ： （ 1 ） （ 3 分 ） （ 2 分 ） （ 2 ） 平 面 上 面 元 矢 量 为 （ 2 分 ） 穿 过 此 正 方 形 的 通 量 为 （ 3 分 ） 17 已 知 某 二 维 标 量 场 ， 求 （ 1） 标 量 函 数 的 梯 度 ； （ 2 ） 求 出 通 过 点 处 梯 度 的 大 小 。 解 ： （ 1 ） 对 于 二 维 标 量 场 （ 3 分 ） （ 2 分 ） （ 2 ） 任 意 点 处 的 梯 度 大 小 为 （ 2 分 ） 则 在 点 处 梯 度 的 大 小 为 ： （ 3 分 ） 四 、 应 用 题 （ 每 小 题 1 0 分 ， 共 3 0 分 ） 1 8 在 无 源 的 自 由 空 间 中 ， 电 场 强 度 复 矢 量 的 表 达 式 为 （ 3 ） 试 写 出 其 时 间 表 达 式 ； （ 4 ） 判 断 其 属 于 什 么 极 化 。 解 ： （ 1） 该 电 场 的 时 间 表 达 式 为 ： (2分 ) （ 3分 ） (2) 该 波 为 线 极 化 （ 5分 ） 19 两 点 电 荷 ， 位 于 轴 上 处 ， 位 于 轴 上 处 ， 求 空 间 点 处 的 （ 1 ） 电 位 ； （ 2 ） 求 出 该 点 处 的 电 场 强 度 矢 量 。 解 ： （ 1 ） 空 间 任 意 一 点 处 的 电 位 为 ： （ 3 分 ） 将 ， ， 代 入 上 式 得 空 间 点 处 的 电 位 为 ： （ 2 分 ） （ 2 ） 空 间 任 意 一 点 处 的 电 场 强 度 为 （ 2 分 ） 其 中 ， ， 将 ， ， 代 入 上 式 （ 2 分 ） 空 间 点 处 的 电 场 强 度 （ 1 分 ） 2 0 如 图 1所 示 的 二 维 区 域 ， 上 部 保 持 电 位 为 ， 其 余 三 面 电 位 为 零 ， （ 1） 写 出 电 位 满 足 的 方 程 和 电 位 函 数 的 边 界 条 件 图 1 （ 2） 求 槽 内 的 电 位 分 布 解 ： （ 1） 设 ： 电 位 函 数 为 ， 则 其 满 足 的 方 程 为 ： （ 3分 ） （ 2分 ） （ 2） 利 用 分 离 变 量 法 ： （ 2分 ） 根 据 边 界 条 件 ， 的 通 解 可 写 为 ： 再 由 边 界 条 件 ： 求 得 （ 2分 ） 槽 内 的 电 位 分 布 为 ： （ 1分 ） 五 、 综 合 题 （ 1 0 分 ） 21 设 沿 方 向 传 播 的 均 匀 平 面 电 磁 波 垂 直 入 射 到 理 想 导 体 ， 如 图 2所 示 ， 该 电 磁 波 为 沿 方 向 的 线 极 化 ， 设 电 场 强 度 幅 度 为 ， 传 播 常 数 为 。 (4) 试 写 出 均 匀 平 面 电 磁 波 入 射 波 电 场 的 表 达 式 ； 区 域 1 区 域 2 图 2 (5) 求 出 反 射 系 数 。 解 ： a ) 由 题 意 ： （ 5分 ） （ 2） 设 反 射 系 数 为 ， （ 2分 ） 由 导 体 表 面 处 总 电 场 切 向 分 量 为 零 可 得 ： 故 反 射 系 数 （ 3分 ） 电 磁 场 与 电 磁 波 试 题 （ 4） 参 考 答 案 二 、 简 述 题 （ 每 小 题 5 分 ， 共 2 0 分 ） 1 1 答 ： 恒 定 磁 场 是 连 续 的 场 或 无 散 场 ， 即 磁 感 应 强 度 沿 任 一 闭 合 曲 面 的 积 分 等 于 零 。 产 生 恒 定 磁 场 的 源 是 矢 量 源 。 (3 分 ） 两 个 基 本 方 程 ： （ 1 分 ） （ 1 分 ） (写 出 微 分 形 式 也 对 ) 1 2 答 ： 设 理 想 导 体 内 部 电 位 为 ， 空 气 媒 质 中 电 位 为 。 由 于 理 想 导 体 表 面 电 场 的 切 向 分 量 等 于 零 ， 或 者 说 电 场 垂 直 于 理 想 导 体 表 面 ， 因 此 有 （ 3 分 ） （ 2 分 ） 1 3 答 ： 静 电 平 衡 状 态 下 ， 带 电 导 体 是 等 位 体 ， 导 体 表 面 为 等 位 面 ； （ 2 分 ） 导 体 内 部 电 场 强 度 等 于 零 ， 在 导 体 表 面 只 有 电 场 的 法 向 分 量 。 （ 3 分 ） 1 4 答 ： 在 导 电 媒 质 中 ， 电 磁 波 的 传 播 速 度 随 频 率 变 化 的 现 象 称 为 色 散 。 （ 3 分 ） 色 散 将 使 信 号 产 生 失 真 ， 从 而 影 响 通 信 质 量 。 （ 2 分 ） 三 、 计 算 题 （ 每 小 题 1 0 分 ， 共 3 0 分 ） 1 5 标 量 场 ， 在 点 处 （ 1） 求 出 其 梯 度 的 大 小 （ 2） 求 梯 度 的 方 向 解 ： （ 1） （ 2分 ） （ 2分 ） 梯 度 的 大 小 ： （ 1分 ） （ 2） 梯 度 的 方 向 （ 3 分 ） （ 2 分 ） 16 矢 量 ， ， 求 （ 1 ） （ 2 ） 解 ： （ 1） 根 据 （ 3 分 ） 所 以 （ 2 分 ） （ 2 ） （ 2 分 ） （ 3 分 ） 1 7 矢 量 场 的 表 达 式 为 （ 1 ） 求 矢 量 场 的 散 度 。 （ 2 ） 在 点 处 计 算 矢 量 场 的 大 小 。 解 ： （ 1 ） （ 2 ） 在 点 处 矢 量 （ 2 分 ） 所 以 矢 量 场 在 点 处 的 大 小 为 （ 3 分 ） 四 、 应 用 题 （ 每 小 题 1 0 分 ， 共 3 0 分 ） 1 8 一 个 点 电 荷 位 于 处 ， 另 一 个 点 电 荷 位 于 处 ， 其 中 。 求 （ 1 ） 求 出 空 间 任 一 点 处 电 位 的 表 达 式 ； （ 2 ） 求 出 电 场 强 度 为 零 的 点 。 解 ： （ 1 ） 建 立 如 图 1 8 -1 所 示 坐 标 图 1 8 -1 空 间 任 一 点 的 电 位 （ 3 分 ） 其 中 ， （ 1 分 ） （ 1 分 ） （ 2 ） 根 据 分 析 可 知 ， 电 场 等 于 零 的 位 置 只 能 位 于 两 电 荷 的 连 线 上 的 的 左 侧 ， （ 2 分 ） 设 位 于 处 ， 则 在 此 处 电 场 强 度 的 大 小 为 （ 2 分 ） 令 上 式 等 于 零 得 求 得 （ 1 分 ） 19 真 空 中 均 匀 带 电 球 体 ， 其 电 荷 密 度 为 ， 半 径 为 ， 试 求 （ 1） 球 内 任 一 点 的 电 位 移 矢 量 （ 2） 球 外 任 一 点 的 电 场 强 度 解 ： （ 1） 作 半 径 为 的 高 斯 球 面 ， 在 高 斯 球 面 上 电 位 移 矢 量 的 大 小 不 变 ， （ 2分 ） 根 据 高 斯 定 理 ， 有 （ 2 分 ） （ 1 分 ） （ 2） 当 时 ， 作 半 径 为 的 高 斯 球 面 ， 根 据 高 斯 定 理 ， 有 （ 2分 ） （ 2分 ） 电 场 强 度 为 （ 1分 ） 2 0 无 限 长 直 线 电 流 垂 直 于 磁 导 率 分 别 为 的 两 种 磁 介 质 的 交 界 面 ， 如 图 1所 示 。 试 （ 1） 写 出 两 磁 介 质 的 交 界 面 上 磁 感 应 强 度 满 足 的 方 程 （ 2） 求 两 种 媒 质 中 的 磁 感 应 强 度 。 图 1 解 ： （ 1） 磁 感 应 强 度 的 法 向 分 量 连 续 （ 2分 ） 根 据 磁 场 强 度 的 切 向 分 量 连 续 ， 即 （ 1分 ） 因 而 ， 有 （ 2 分 ） （ 2 ） 由 电 流 在 区 域 1 和 区 域 2 中 所 产 生 的 磁 场 均 为 ， 也 即 是 分 界 面 的 切 向 分 量 ， 再 根 据 磁 场 强 度 的 切 向 分 量 连 续 ， 可 知 区 域 1 和 区 域 2 中 的 磁 场 强 度 相 等 。 （ 2 分 ） 由 安 培 定 律 得 （ 1 分 ） 因 而 区 域 1 和 区 域 2 中 的 磁 感 应 强 度 分 别 为 （ 1 分 ） （ 1 分 ） 五 、 综 合 题 （ 1 0 分 ） 2 1 设 沿 方 向 传 播 的 均 匀 平 面 电 磁 波 垂 直 入 射 到 理 想 导 体 ， 如 图 2所 示 ， 入 射 波 电 场 的 表 达 式 为 （ 1） 试 画 出 入 射 波 磁 场 的 方 向 （ 2） 求 出 反 射 波 电 场 表 达 式 。 解 ： （ 1） 入 射 波 磁 场 的 方 向 如 图 21-1所 示 。 （ 2） 设 反 射 波 电 场 图 2 1 -1图 2 区 域 1 中 的 总 电 场 为 （ 2 分 ） 根 据 导 体 表 面 电 场 的 切 向 分 量 等 于 零 的 边 界 条 件 得 （ 2 分 ） 因 此 ， 设 反 射 波 电 场 为 （ 1 分 ）