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习 题 二（A）三、解答题 1一颗骰子抛两次，以X表示两次中所得的最小点数 (1) 试求X的分布律； (2) 写出X的分布函数 解: (1)X123456pi分析：这里的概率均为古典概型下的概率，所有可能性结果共36种，如果X=1，则表明两次中至少有一点数为1，其余一个1至6点均可，共有（这里指任选某次点数为1，6为另一次有6种结果均可取，减1即减去两次均为1的情形，因为多算了一次）或种，故,其他结果类似可得. (2) 2某种抽奖活动规则是这样的：袋中放红色球及白色球各5只，抽奖者交纳一元钱后得到一次抽奖的机会，然后从袋中一次取出5只球，若5只球同色，则获奖100元，否则无奖，以X表示某抽奖者在一次抽取中净赢钱数，求X的分布律解：X-199pi注意，这里X指的是赢钱数，X取0-1或100-1，显然. 3设随机变量X的分布律为为常数，试求常数a 解：因为，所以. 4设随机变量X的分布律为X-123pi1/41/21/4 (1) 求X的分布函数； (2) 求， 解： (1) ， (2) 、 , . 5设随机变量的分布律为求： (1) PX = 偶数 (2) PX 5 (3) PX = 3的倍数 解：(1) ， (2) ， (3) . 6. 某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为0.5t的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计） (1) 求某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率 (2) 求某一天中午12时至下午5时至少收到一次紧急呼救的概率 解： (1) . (2) . 7. 某人进行射击，每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中2次的概率 解：设射击的次数为X，由题意知,由于上面二项分布的概率计算比较麻烦，而且X近似服从泊松分布P(l)（其中l=4000.02），所以PX2，查表泊松分布函数表得：PX2 8. 设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号现进行5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率 解：设X为事件A在5次独立重复实验中出现的次数，则指示灯发出信号的概率 . 9. 设顾客在某银行窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从参数为5指数分布某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开他一个月要到银行5次，以Y表示他未等到服务而离开窗口的次数写出Y的分布律，并求PY 1 解：因为X服从参数为5的指数分布，则，,则. 10设随机变量的概率密度为，试求： (1) 系数a； (2) X落在区间内的概率 解：(1) 由归一性知：，所以. (2) . 11设连续随机变量的分布函数为试求： (1) 系数A；(2) X落在区间(0.3，0.7)内的概率；(3) X的概率密度 解 （1）由F(x)在x=1的连续性可得，即A=1.（2）. （3）X的概率密度. 12设随机变量X服从(0，5)上的均匀分布，求x的方程有实根的概率 解：因为X服从（0，5）上的均匀分布，所以 若方程有实根，则，即，得或，所以有实根的概率为 13设XN(3，4) (1) 求 (2) 确定c使得 (3) 设d满足，问d至多为多少? 解: (1) 因为 所以 . (2) ，则， 经查表得，即，得；由概率密度关于x=3对称也容易看出。 (3) ，则，即，经查表知，故，即. 14设随机变量X服从正态分布，若，试求 解： 所以 ，；由对称性更容易解出. 15设随机变量X服从正态分布，试问：随着s的增大，概率P|X m | 1时，所以；（2）， 当时，为不可能事件，则， 当时，则， 当时，则，根据得 ；（3），当时，当时，所以 ； 7设随机变量X服从参数为1/2的指数分布，试证和都服从区间(0，1)上的均匀分布 (1) 证明：由题意知。，当时，即，当时，当时，故有，可以看出服从区间（0，1）均匀分布； （2） 当时， 当时， 当时， 由以上结果，易知，可以看出服从区间（0，1）均匀分布.15
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